最新中考数学函数经典试题集锦 精品.docx
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中考数学函数经典试题集锦
1、（2018重庆）已知：
是方程
的两个实数根，且
，抛物线
的图像经过点A（
）、B（
）.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）
设
（1）中抛物线与
轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：
抛物线
的顶点坐标为
）
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥
轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：
3的两部分，请求出P点的坐标.
[解析]
（1）解方程
得
由
，有
所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）.
将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入
.
得
解这个方程组，得
所以，抛物线的解析式为
（2）由
，令
，得
解这个方程，得
所以C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）.
过D作
轴的垂线交
轴于M.
则
，
所以，
.
（3）设P点的坐标为（
）
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为
.
那么，PH与直线BC的交点坐标为
，
PH与抛物线
的交点坐标为
.
由题意，得①
，即
解这个方程，得
或
（舍去）
②
，即
解这个方程，得
或
（舍去）
P点的坐标为
或
.
2、（2018黑龙江鸡西）某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：
加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数图象．根据图象回答下列问题：
（1）求在第一个加工过程中，油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止?
（3）加工完这批工件，机器耗油多少升?
[解析]
（1）设所求函数关系式为y=kx+b．
由图象可知过（10，100），（30，80）两点，
得
解得
∴y=-x+llO
（2）当y=10时，-x+110=10，x=100
机器运行100分钟时，第一个加工过程停止
（3）第一个加工过程停止后再加满油只需9分钟
加工完这批工件，机器耗油166升
3、（2018北京海淀）已知抛物线
的部分图象如图1所示。
图1图2
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线
的解析式；
（3）若反比例函数
的图象经过
（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及
（2）中抛物线的图象，并利用图象比较
与
的大小。
[解析]
（1）根据图象可知
且抛物线
与x轴有两个交点
所以一元二次方程
有两个不等的实数根。
所以
，且
所以
（2）因为抛物线经过点（0，-1）
把
代入
得
故所求抛物线的解析式为
（3）因为反比例函数
的图象经过抛物线
上的点（1，a）
把
代入
，得
把
代入
，得
所以
画出
的图象如图所示。
观察图象，
除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为
和
把
和
分别代入
和
可知，
和
是
的两个交点
根据图象可知：
当
或
或
时，
当
时，
当
时，
4、（2018浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：
百米）．已知AB所在抛物线的解析式为
，BC所在抛物线的解析式为
，且已知
．
（1）设
是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；
（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．
①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；
②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？
（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，
（米）．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为
．试求索道的最大悬空高度．
[解析]
（1）∵
是山坡线AB上任意一点，
∴
，
，
∴
，
∵
，∴
＝4，∴
（2）在山坡线AB上，
，
①令
，得
；令
，得
∴第一级台阶的长度为
（百米）
（厘米）
同理，令
、
，可得
、
∴第二级台阶的长度为
（百米）
（厘米）
第三级台阶的长度为
（百米）
（厘米）
②取点
，又取
，则
∵
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚
（注：
事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）
②另解：
连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图
∵这种台阶的长度不小于它的高度
∴
当其中有一级台阶的长大于它的高时，
在题设图中，作
于H
则
，又第一级台阶的长大于它的高
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚
（3）
、
、
、
由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值
索道在BC上方时，悬空高度
当
时，
∴索道的最大悬空高度为
米．
5、如图14，抛物线E：
交x轴于A、B两点，
交y轴于M点。
抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于
C、D两点。
⑴求F的解析式；
⑵在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C
N、M为顶点的四边形是平行四边形。
若存在，求点N坐标；
若不存在，请说明理由；
⑶若将抛物线E的解析式改为
，试探索问题⑵。
[解析]当y=0时，
，解得x1=－3，x2=－1，
∴A、B点坐标分别为（－3，0）、（－1，0）
当x＝0时，y＝3，∴M点坐标为（0，3），A、B、M三点关于y轴得对称点分别是D、C、M，∴D、C坐标为（3，0）、（1，0）
设F的解析式为
∴a＝1，b＝－4
∴F的解析式为
（2）存在。
假设MN∥AC，∴N点的纵坐标为3。
若在抛物线F上，当y=3时，
，则x1=0，x2=4
∴N点坐标为（4，3），∴MN=4，
由
（1）可求AC=4，∴MN=AC，∴四边形ACNM为平行四边形。
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（4，3）或（－4，3）
（3）存在。
假设MN∥AC，∴N点的纵坐标为c。
设y＝0，∴
∴
，
∴A点坐标为（
，0），B点坐标为（
，0）
∴C点坐标为（
，0），∴AC=
在抛物线E上，当y=c时，
，x1=0，x2=
∴N点坐标为（
，0）
NM=0－（
）=
，∴NM=AC，∴四边形ACMN为平行四边形。
根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为（
，c）或（
，c）。
6、（2018山东烟台）如图，已知抛物线L1:
y=x2-4的图像与x有交于A、C两点
（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；
（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：
点D在l2上；
（3）探索：
当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？
若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。
[解析]
（1）设l2的解析式为y=a（x-h）2+k
∵l2与x轴的交点A（-2,0）,C（2,0）,顶点坐标是（0，-4）,l1与l2关于x轴对称，
∴l2过A（-2,0）,C（2,0）,顶点坐标是（0，4）
∴y=ax2+4
∴0=4a+4得a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4
（2）设B（x1,y1）
∵点B在l1上
∴B（x1,x12-4）
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D（-x1,-x12+4）.
将D（-x1,-x12+4）的坐标代入l2：
y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上.
（3）设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2*S△ABC=AC*|y1|=4|y1|
a.当点B在x轴上方时，y1＞0
∴S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值
b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0
∴S=-4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，
∴当y1=-4时，S由最大值16，但他没有最小值
此时B（0,-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上.
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
此时S最大=16.
7、（2018吉林长春）某厂生产一种零件，每个成本为40元，销售单价为60元。
该厂为了鼓励客户购买，决定当一次购买零件超过100个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低0.02元，但不能低于51元。
（1）当一次购买多少个零件时，销售单价恰为51元？
（2）设一次购买零件x个时，销售单价为y元，求y与x的函数关系式。
（3）当客户一次购买500个零件时，该厂获得的利润是多少？
当客户一次购买1000个零碎件时，利润又是多少？
（利润=售价－成本）
[解析]
（1）设当一次购买x个零件时，销售单价为51元，则
（x－100）×0.02=60－51，
解得x=550。
答：
当一次购买550个零件时，销售单价为51元。
（2）当0＜x≤100时，y=60；
当100＜x≤550时，y=62－0.02x；
当x＞550时，y=51。
（3）当x=500时，利润为
（62－0.02×500）×500－40×500=6000（元）。
当x=1000时，利润为1000×（51－40）=11000（元）。
答：
当一次购买500个零件时，该厂获得利润为6000元；当一次购买1000个零件时，该厂获得利润11000元。
8、（2018吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数
的图象交于点A。
动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。
（1）求点A的坐标。
（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。
（3）在
（2）的条件下，S是否有最大值？
若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。
（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。
[解析]
（1）由
可得
∴A（4，4）。
（2）点P在y=x上，OP=t，
则点P坐标为
点Q的纵坐标为
，并且点Q在
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