版初三中考模拟河北数学第五章 四边形.docx
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版初三中考模拟河北数学第五章四边形
第五章 四边形
阶段检测·教师专用
一、选择题（每小题3分,共30分）
1.（2018宁波中考）已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为（ ）
A.6B.7C.8D.9
2.（2017山东临沂中考）在△ABC中,点D是边BC上的点（与B,C两点不重合）,过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是（ ）
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形
C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
3.（2017衡水模拟）如图,在长方形ABCD中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG为等腰直角三角形,则EF的长为（ ）
A.10B.10
C.12D.12
4.（2018河北模拟）如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥DC,BC∶CD=3∶2,AB=EC,则∠EAF=（ ）
A.50°B.60°C.70°D.80°
5.如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为（ ）
A.3cmB.4cm
C.5cmD.8cm
6.（2018唐山模拟）如图,矩形ABCD中,BC=2AB,对角线相交与O点,过C点作CE⊥BD交BD于E点,H为BC中点,连接AH交BD于G点,交EC的延长线于F点,下列4个结论:
①EH=AB;②∠ABG=∠HEC;③△ABG≌△HEC;④CF=BD.正确的结论是（ ）
A.①②④B.①④
C.③④D.①③④
7.（2018河北模拟）如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠ABC=60°,AB=2BC,CE平分∠BCD,交BD于点F,交AB于点E,连接OE,下列结论:
①∠ACD=30°;②S▱ABCD=AC·BC;③OE∶AC=1∶4;④S△OCF=2S△OEF.其中,正确的有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.（2017石家庄一模）如图,▱ABCD中,E为BC边上一点,以AE为边作正方形AEFG,若∠BAE=40°,∠CEF=15°,则∠D的度数是（ ）
A.65°B.55°C.70°D.75°
9.（2017保定徐水模拟）如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在对角线BD上,且BE=6,连接AE并延长交DC于点F,则CF等于（ ）
A.2B.3C.4D.5
10.（2018廊坊模拟）如图所示,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=2,E,F两点分别从A,B两点同时出发,以相同的速度分别向终点B,C移动,连接EF,在移动的过程中,EF的最小值为（ ）
A.1B.
C.
D.
二、填空题（每小题3分,共24分）
11.（2018泰州中考）如图,▱ABCD中,AC、BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为 .
12.（2017廊坊模拟）如图,菱形ABCD的边长是4cm,E是AB的中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为 cm2.
13.（2018邯郸模拟）如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,点F在BE上,AF=AB,连接BD、FD,若∠BAF=58°,则∠BDF的度数为 .
14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为 .
15.（2018沧州模拟）如图,菱形ABCD的周长为8cm,高AE长为
cm,对角线AC和BD相交于点O,则对角线AC长和BD长之比为 .
16.（2017廊坊模拟）一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形,则新菜地的面积是 m2.
17.如图所示,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°,则∠E= °.
18.（2018河北模拟）如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为 .
三、解答题（共46分）
19.（6分）（2017河北模拟）某同学要证明命题“平行四边形的对边相等”是正确的,他画出了图形,并写出了如下已知和不完整的求证.
已知:
如图,四边形ABCD是平行四边形.
求证:
AB=CD, .
（1）补全求证部分;
（2）请你写出证明过程.
20.（6分）如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.
（1）求证:
四边形AECF是平行四边形;
（2）若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.
21.（7分）（2018包头中考）如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=AD,连接BD,点E在AB上,且∠BDE=15°,DE=4
CD=2
.（本题中的计算过程和结果均保留根号）
（1）求BE的长;
（2）求四边形DEBC的面积.
22.（6分）（2017唐山迁安一模）在一个多边形中,一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.
（1）如果这个多边形是五边形,请求出这个外角的度数;
（2）是否存在符合题意的其他多边形?
如果存在,请求出边数及这个外角的度数;如果不存在,请说明理由.
23.（7分）（2018广西中考）如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
（1）求证:
▱ABCD是菱形;
（2）若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.
24.（7分）（2017唐山模拟）如图,在▱ABCD中,点E、F分别是BC,AD上的点,且BE=DF,对角线AC⊥AB.
（1）求证:
四边形AECF是平行四边形;
（2）当E为BC的中点时,求证:
四边形AECF是菱形.
25.（7分）（2018石家庄模拟）在图1到图3中,点O是正方形ABCD对角线AC的中点,△MPN为直角三角形,∠MPN=90°.正方形ABCD保持不动,△MPN沿射线AC向右平移,平移过程中P点始终在射线AC上,且保持PM垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F.
（1）如图1,当点P与点O重合时,OE与OF的数量关系为 ;
（2）如图2,当P在线段OC上时,猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系?
并对你的猜想结果给予证明;
（3）如图3,当点P在AC的延长线上时,OE与OF的数量关系为 ;位置关系为 .
第五章·阶段检测·答案精解精析
一、选择题
1.D 正多边形的一个外角等于40°,且外角和为360°,则这个正多边形的边数是:
360°÷40°=9.故选D.
2.D 若AD⊥BC,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是矩形,故A错误;若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是菱形,不一定是矩形,故B错误;若BD=CD,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是菱形,故C错误;若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形,故D正确.
3.B ∵△GEF为等腰直角三角形,∴GE=GF,∠EGF=90°,∴∠AGE+∠DGF=90°,∵∠AEG+∠AGE=90°,∴∠AEG=∠DGF,∴△AEG≌△DGF,∴AE=DG,AG=DF,∵AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,CF=4,∴AE=DG=6,AG=DF=8,∴EG=GF=10,∴EF=
EG=10
.
4.B 设BC=3x,则CD=2x,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=2x,AB∥DC.
∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴∠AEB=90°,AF⊥AB,∴∠BAF=90°.
∵AB=EC,∴EC=2x,∴BE=BC-EC=x=
AB,∴∠BAE=30°,∴∠EAF=90°-30°=60°,故选B.
5.B ∵▱ABCD的周长为26cm,∴AB+AD=13cm,OB=OD,∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,∴（OA+OD+AD）-（OA+OB+AB）=AD-AB=3cm,∴AB=5cm,AD=8cm.
∴BC=AD=8cm.
∵AC⊥AB,E是BC的中点,∴AE=
BC=4cm.
6.A ①在△BCE中,∵CE⊥BD,H为BC中点,∴BC=2EH,又BC=2AB,∴EH=AB,正确;
②由①可知,BH=HE,∴∠EBH=∠BEH,又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°,∴∠ABG=∠HEC,正确;
③由AB=BH,∠ABH=90°,得∠BAG=45°,同理:
∠DHC=45°,∴∠EHC>∠DHC=45°,∴△ABG≌△HEC,错误;
④∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F,又∠ECH=∠CDE=∠BAO,∠BAO=∠BAH+∠HAC,∴∠F=∠HAC,∴CF=BD,正确.
综上所述,正确的是①②④.故选A.
7.C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,∵CE平分∠BCD,∴∠DCE=∠BCE=60°,∴△CBE是等边三角形,∴BE=BC=CE.
∵AB=2BC,∴AE=BC=CE,∴∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CAB=30°,故①正确;
∵AC⊥BC,∴S▱ABCD=AC·BC,故②正确;
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∴AC=
BC,∵AO=OC,AE=BE,∴OE=
BC,∴
=
=
;故③错误;
∵AO=OC,AE=BE,∴OE∥BC,∴△OEF∽△BCF,∴
=2∶1,∴S△OCF∶S△OEF=
=2,∴S△OCF=2S△OEF;故④正确.
综上所述,故选C.
8.A ∵四边形AEFG是正方形,∴∠AEF=90°,
又∵∠CEF=15°,∴∠AEB=180°-90°-15°=75°,
又∵∠BAE=40°,∴∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=65°,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B=65°.
9.A ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AB=CD=6,BC=AD=8,根据勾股定理,得BD=10,∵BE=6,∴DE=BD-BE=10-6=4,易知AB∥CD,∴
=
即
=
解得DF=4,则CF=CD-DF=6-4=2.
10.D 连接DB,作DH⊥AB于H,如图,∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB=BC=CD,
而∠A=60°,∴△ABD和△BCD都是等边三角形,∴∠ADB=∠DBC=60°,AD=BD.
∵AB=2,∴在Rt△ADH中,AH=1,AD=2,∴DH=
.∵由题意可得AE=BF,∴△ADE≌△BDF,∴∠2=∠1,DE=DF,∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°,∴△DEF为等边三角形,∴EF=DE.
∴当E点运动到H点时,DE的值最小,其最小值为
∴EF的最小值为
.故选D.
二、填空题
11.答案 14
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=6,OA=OC,OB=OD,∵AC+BD=16,∴OB+OC=8,∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14,故答案为14.
12.答案 8
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=4cm,∵E是AB的中点,∴AE=BE=2cm,∵DE⊥AB,∴∠AED=90°.在Rt△ADE中,DE=
=
=2
cm,∴菱形ABCD的面积=AB·DE=4×2
=8
cm2.
13.答案 29°
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,∠ADB=45°,AB=AD,∵AF=AB,∠BAF=58°,∴AF=AD,∠DAF=90°-58°=32°,∴∠ADF=∠AFD=
×（180°-32°）=74°.
∴∠BDF=∠ADF-∠ADB=74°-45°=29°,故答案为29°.
14.答案 3
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,∴OA=OB,∵AE垂直平分OB,∴AB=AO,∴OA=AB=OB=3,∴BD=2OB=6,∴AD=
=
=3
.
15.答案 1∶
解析 ∵菱形ABCD的周长为8cm,∴AB=BC=2cm,∵高AE长为
cm,根据勾股定理,得BE=1cm.∴CE=BE=1cm,∴AC=AB=2cm.
∵OA=1cm,AC⊥BD,根据勾股定理,得OB=
cm,∴BD=2OB=2
cm.
∴AC∶BD=1∶
.
16.答案 100
解析 设原菜地的长是xm,则宽是（x-2）m,可列方程x（x-2）=120,解得x=12或x=-10（舍去）,则新菜地的面积为（12-2）2=100m2.
17.答案 15
解析 连接AC,∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BE,AC=BD,且∠ADB=∠CAD=30°.
∴∠E=∠DAE.
又∵BD=CE,∴CE=CA,∴∠E=∠CAE.
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE,∴∠E+∠E=30°,即∠E=15°.
18.答案
+1
解析 如图,取AB的中点E,连接OD、OE、DE,∵∠MON=90°,AB=2,∴OE=AE=
AB=1.
∵BC=1,四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=1,根据勾股定理,得DE=
.
根据三角形的三边关系,OD≤OE+DE,∴当OD过点E时,等号成立,DO的值最大,最大值为
+1.
三、解答题
19.解析
（1）BC=DA.
（2）证明:
连接AC,如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC.
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA（ASA）.
∴AB=CD,BC=DA.
20.解析
（1）证明:
由折叠的性质知,∠BAE=∠MAE=
∠BAC,∠DCF=∠NCF=
∠ACD,
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACD,∴∠MAE=∠NCF,
∴AE∥CF,又∵AD∥BC,
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）∵∠B=90°,∴AC2=AB2+BC2,
∵AB=6,AC=10,∴BC=
=8,
∵AM=AB=6,AC=10,∴CM=AC-AM=4,
∵BE=EM,∴EM=8-CE.
在Rt△CEM中,CE2=EM2+CM2,
∴CE2=（8-CE）2+42,解得CE=5,
∴S四边形AECF=CE·AB=5×6=30.
21.解析
（1）在四边形ABCD中,∵AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠BAD=90°.
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=45°.
∵∠BDE=15°,
∴∠ADE=30°.
在Rt△ADE中,AE=DE×sin30=2
AD=DE·cos30°=6,
∴AB=AD=6.
∴BE=6-2
.
（2）作DF⊥BC于F.则四边形ABFD是矩形,
∴BF=AD=6,DF=AB=6,
在Rt△DFC中,FC=
=
=4
∴BC=6+4
∴S四边形DEBC=S△DEB+S△BCD=
×（6-2
）×6+
（6+4
）×6=36+6
.
22.解析 设这个外角的度数是x°,则（5-2）×180-（180-x）+x=600,
解得x=120.
答:
这个外角的度数是120°.
（2）存在.
设边数为n,这个外角的度数是x°,则（n-2）×180-（180-x）+x=600,
整理得x=570-90n,
∵0∴n=5（舍去）或n=6.
当n=6时,这个外角的度数为60°.
答:
这个多边形的边数是6,这个外角的度数为60°.
23.解析
（1）证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
∵BE=DF,
∴△AEB≌△AFD.
∴AB=AD.
∴▱ABCD是菱形.
（2）连接BD交AC于O,如图所示.
∵四边形ABCD是菱形,AC=6,
∴AC⊥BD.
∴AO=OC=
AC=
×6=3.
∵AB=5,AO=3,
∴BO=
=
=4.
∴BD=2BO=8.
∴S平行四边形ABCD=AC·BD=24.
24.解析
（1）证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵BE=DF,
∴EC=AF.
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）证明:
∵AC⊥AB,
∴∠BAC=90°.
∵E为BC的中点,
∴AE=CE.
∵四边形AECF是平行四边形,
∴四边形AECF为菱形.
25.解析
（1）解:
根据题意,得∠BAC=∠BCA=45°,AO=CO,∠AEO=∠CFO.
在△AEO和△CFO中,∵
∴△AEO≌△CFO（AAS）.
∴OE=OF.
（2）解:
OE=OF,OE⊥OF.
证明:
连接BO,如图所示.
在正方形ABCD中,∵O为AC中点,
∴BO=CO,BO⊥AC,∠BCA=∠ABO=45°.
∵PF⊥BC,∠BCO=45°,
∴∠FPC=45°,PF=FC.
在正方形ABCD中,∵∠ABC=90°,PF⊥BC,PE⊥AB,
∴∠PEB=∠PFB=90°.
∴四边形PEBF是矩形.
∴BE=PF.
∴BE=FC.
∴△OBE≌△OCF
∴OE=OF,∠BOE=∠COF.
∵∠COF+∠BOF=90°,
∴∠BOE+∠BOF=90°.
∴∠EOF=90°.
∴OE⊥OF.
（3）OE=OF（相等）,OE⊥OF（垂直）.
理由:
连接BO,如图所示.
在正方形ABCD中,∵O为AC中点,
∴BO=CO,BO⊥AC,∠BCA=∠ABO=45°.
∴∠OCF=∠OBE.
∵PF⊥BC,∠BCO=45°,
∴∠FPC=45°,PF=FC.
∵∠ABC=90°,PF⊥BC,PE⊥AB,
∴∠PEB=∠PFB=90°.
∴四边形PEBF是矩形.
∴BE=PF.
∴BE=FC.
∴△OBE≌△OCF.
∴OE=OF,∠BOE=∠COF.
∵∠COF+∠BOF=90°,
∴∠BOE+∠BOF=90°.
∴∠EOF=90°.
∴OE⊥OF.
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