高考数学试题分类汇编导数.docx

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高考数学试题分类汇编导数

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编

第十三章《导数》

一、选择题（共6题）

1．（安徽卷）若曲线

的一条切线

与直线

垂直，则

的方程为

A．

B．

C．

D．

解：

与直线

垂直的直线

为

，即

在某一点的导数为4，而

，所以

在（1，1）处导数为4，此点的切线为

，故选A

2．（江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）

≥0，则必有（C）

A．f（0）＋f

（2）<2f

（1）B.f（0）＋f

（2）≤2f

（1）

C.f（0）＋f

（2）≥2f

（1）D.f（0）＋f

（2）>2f

（1）

解：

依题意，当x

≥1时，f'（x）≥0，函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数；当x<1时，f'（x）≤0，f（x）在（－∞，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）≥f

（1），f

（2）≥f

（1），故选C

3．（全国II）过点（－1，0）作抛物线

的切线，则其中一条切线为

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

，设切点坐标为

，则切线的斜率为2

，且

于是切线方程为

，因为点（－1，0）在切线上，可解得

＝0或－4，代入可验正D正确。

选D

4.（四川卷）曲线

在点

处的切线方程是

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

曲线

，导数

，在点

处的切线的斜率为

，所以切线方程是

，选D.

5.（天津卷）函数

的定义域为开区间

，导函数

在

内的图象如图所示，则函数

在开区间

内有极小值点（　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：

函数

的定义域为开区间

，导函数

在

内的图象如图所示，函数

在开区间

内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.

6.（浙江卷）

在区间

上的最大值是

（A）-2（B）0（C）2（D）4

解：

，令

可得x＝0或2（2舍去），当－1≤x<0时，

>0，当0

<0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。

选C

二、填空题（共3题）

7.（福建卷）已知直线

与抛物线

相切，则

解析：

直线

与抛物线

相切，将y=x－1代入抛物线方程得

，∴

，a=

。

8.（湖北卷）半径为r的圆的面积S（r）＝

r2,周长C（r）=2

r，若将r看作（0，＋∞）上的变量，则（

r2）`＝2

r

，

式可以用语言叙述为：

圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R的球，若将R看作（0，＋∞）上的变量，请你写出类似于

的式子：

式可以用语言叙述为：

。

解：

V球＝

，又

故

式可填

，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

”

9.（湖南卷）曲线

和

在它们交点处的两条切线与

轴所围成的三角形面积

是.

解析：

曲线

和

在它们的交点坐标是（1，1），两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与

轴所围成的三角形的面积是

.

三、解答题（共31题）

10．（安徽卷）已知函数

在R上有定义，对任何实数

和任何实数

，都有

（Ⅰ）证明

；

（Ⅱ）证明

其中

和

均为常数；

（Ⅲ）当（Ⅱ）中的

时，设

，讨论

在

内的单调性并求极值。

证明（Ⅰ）令

，则

，∵

，∴

。

（Ⅱ）①令

，∵

，∴

，则

。

假设

时，

，则

，而

，∴

，即

成立。

②令

，∵

，∴

，

假设

时，

，则

，而

，∴

，即

成立。

∴

成立。

（Ⅲ）当

时，

，

令

，得

；

当

时，

，∴

是单调递减函数；

当

时，

，∴

是单调递增函数；

所以当

时，函数

在

内取得极小值，极小值为

11.（安徽卷）设函数

，已知

是奇函数。

（Ⅰ）求

、

的值。

（Ⅱ）求

的单调区间与极值。

解析：

（Ⅰ）∵

，∴

。

从而

＝

是一个奇函数，所以

得

，由奇函数定义得

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，从而

，由此可知，

和

是函数

是单调递增区间；

是函数

是单调递减区间；

在

时，取得极大值，极大值为

，

在

时，取得极小值，极小值为

。

12．（北京卷）已知函数

在点

处取得极大值

，其导函数

的图象经过点

，

，如图所示.求：

（Ⅰ）

的值；

（Ⅱ）

的值.

解析：

解法一：

（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上

在（1,2）上

在

上

故

在

上递增,在（1,2）上递减,因此

在

处取得极大值,所以

.

（Ⅱ）

由

得

解得

解法二:

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）设

又

所以

由

即

得

所以

.

13．（福建卷）已知

是二次函数，不等式

的解集是

且

在区间

上的最大值是12。

（I）求

的解析式；

（II）是否存在实数

使得方程

在区间

内有且只有两个不等的实数根？

若存在，求出

的取值范围；若不存在，说明理由。

本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质

的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

解：

（I）

当

即

时，

在

上单调递增，

当

即

时，

当

时，

在

上单调递减，

综上，

（II）函数

的图象与

的图象有且只有三个不

同的交点，即函数

的图象与

轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

当

时，

是增函数；

当

时，

是减函数；

当

时，

是增函数；

当

或

时，

当

充分接近0时，

当

充分大时，

要使

的图象与

轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

　　即

所以存在实数

，使得函数

与

的图象有且只有三个不同的交点，

的取值范围为

14．（福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

y=

（0

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？

最少为多少升？

本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。

满分12分。

解：

（I）当

时，汽车从甲地到乙地行驶了

小时，

要耗没

（升）。

答：

当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为

千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了

小时，设耗油量为

升，

依题意得

令

得

当

时，

是减函数；

当

时，

是增函数。

当

时，

取到极小值

因为

在

上只有一个极值，所以它是最小值。

答：

当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

15.（福建卷）已知函数f（x）=－x

+8x,g（x）=6lnx+m

（Ⅰ）求f（x）在区间[t,t+1]上的最大值h（t）;

（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？

若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

满分12分。

解：

（I）

是二次函数，且

的解集是

可设

在区间

上的最大值是

由已知，得

（II）方程

等价于方程

设

则

当

时，

是减函数；

当

时，

是增函数。

方程

在区间

内分别有惟一实数根，而在区间

内没有实数根，

所以存在惟一的自然数

使得方程

在区间

内有且只有两个不同的实数根。

16．（广东卷）设函数

分别在

处取得极小值、极大值.

平面上点

的坐标分别为

、

，该平面上动点

满足

点

是点

关于直线

的对称点.求

（

）求点

的坐标；

（

）求动点

的轨迹方程.

解:

（Ⅰ）令

解得

当

时,

当

时,

当

时,

所以,函数在

处取得极小值,在

取得极大值,故

，所以,点A、B的坐标为

.

（Ⅱ）设

，

，

，所以

，又PQ的中点在

上，所以

消去

得

17．（湖北卷）设

是函数

的一个极值点。

（Ⅰ）、求

与

的关系式（用

表示

），并求

的单调区间；

（Ⅱ）、设

，

。

若存在

使得

成立，求

的取值范围。

点评：

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：

（Ⅰ）f`（x）＝－[x2＋（a－2）x＋b－a]e3－x,

由f`（3）=0，得－[32＋（a－2）3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，则

f`（x）＝[x2＋（a－2）x－3－2a－a]e3－x＝－[x2＋（a－2）x－3－3a]e3－x＝－（x－3）（x＋a+1）e3－x.

令f`（x）＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

当a<－4时，x2>3＝x1，则在区间（－∞，3）上，f`（x）<0，f（x）为减函数；在区间（3，―a―1）上，f`（x）>0，f（x）为增函数；在区间（―a―1，＋∞）上，f`（x）<0，f（x）为减函数。

当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，―a―1）上，f`（x）<0，f（x）为减函数；在区间（―a―1，3）上，f`（x）>0，f（x）为增函数；在区间（3，＋∞）上，f`（x）<0，f（x）为减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，

而f（0）＝－（2a＋3）e3<0，f（4）＝（2a＋13）e－1>0，f（3）＝a＋6，

那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].

又

在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋

，（a2＋

）e4]，

由于（a2＋

）－（a＋6）＝a2－a＋

＝（

）2≥0，所以只须仅须

（a2＋

）－（a＋6）<1且a>0，解得0

.

故a的取值范围是（0，

）。

18．（湖北卷）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x＝1处取得极值－2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间。

解：

依题意有

而

故

解得

从而

。

令

，得

或

。

由于

在

处取得极值，故

，即

。

（1）若

，即

，则当

时，

；

当

时，

；当

时，

；

从而

的单调增区间为

；单调减区间为

（2）若

，即

，同上可得，

的单调增区间为

；单调减区间为

19．（湖南卷）已知函数

数列{

}满足:

证明:

（ⅰ）

;（ⅱ）

.

证明:

（

I）．先用数学归纳法证明

，ｎ＝1,2,3,…

（

）.当n=1时,由已知显然结论成立.

（

）.假设当n=k