算法分析与设计.docx

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算法分析与设计

1.利用数组实现原始信息与处理结果的对应存储。

编程统计身高（单位为厘米）。

统计分150——154；155——159；160——164；165——169；170——174；175——179及低于是150、高于是179共八档次进行。

考虑关系式身高/5-29与数组小标的对应关系

#include

intmain（）

{

inti,sg,a[8];

for（i=0;i<=7;i=i+1）

a[i]=0;

printf（"inputheightdatauntilinput-1\n"）;

scanf（"%d",&sg）;

while（sg!

=-1）

{if（sg>179）a[7]=a[7]+1;

elseif（sg<150）a[0]=a[0]+1;

elsea[sg/5-29]=a[sg/5-29]+1;

scanf（"%d",&sg）;

}

for（i=0;i<=7;i=i+1）

printf（"%dfieldthenumberofpeople：

%d\n",i+1,a[i]）;

return0;

}

2.二维趣味矩阵的应用

练习：

编程打印形如下规律的n*n方阵。

例如下图：

使左对角线和右对角线上的元素为0,它们上方的元素为1,左方的元素为2,下方元素为3,右方元素为4,下图是一个符合条件的阶矩阵。

01110

20104

22044

20304

03330

主对角线元素i=j；

副对角线元素:

下标下界为1时i+j=n+1，

下标下界为0时i+j=n-1；

主上三角◥元素:

i<=j；

主下三角◣元素:

i>=j；

次上三角◤元素：

下标下界为1时i+j<=n+1，

下标下界为0时i+j<=n-1；

次下三角◢元素：

下标下界为1时i+j>=n+1，

下标下界为0时i+j>=n-1；

#include

intmain（）

{inti,j,a[100][100],n;

scanf（"%d",&n）;

for（i=1;i<=n;i=i+1）

for（j=1;j<=n;j=j+1）

{if（i==j||i+j==n+1）a[i][j]=0;

if（i+j

if（i+jj）a[i][j]=2;

if（i+j>n+1&&i>j）a[i][j]=3;

if（i+j>n+1&&i

for（i=1;i<=n;i=i+1）

{

printf（"\n"）;

for（j=1;j<=n;j=j+1）

printf（"%4d",a[i][j]）;

printf（"\n"）;}

return0;}

3.算法优化技巧中算术运算的妙用。

练习：

开灯问题：

有从1到n依次编号的n个同学和n盏灯。

1号同学将所有的灯都关掉；2号同学将编号为2的倍数的灯都打开；3号同学则将编号为3的倍数的灯作相反处理（该号灯如打开的，则关掉；如关闭的，则打开）；以后的同学都将自己编号的倍数的灯，作相反处理。

问经n个同学操作后，哪些灯是打开的？

#include

intmain（）

{intn,a[1000],i,k;

printf（"inputanumber:

\n"）;

scanf（"%d",&n）;

for（i=1;i<=n;i++）

a[i]=0;

for（i=2;i<=n;i++）

{k=1;

while（i*k<=n）

{a[i*k]=1-a[i*k];

k=k+1;}

}

for（i=1;i<=n;i++）

printf（"%4d\n",a[i]）;

return0;

}

4.非数值问题的处理

练习：

警察局抓了a，b，c，d四名偷窃嫌疑犯，其中只有一人是小偷。

审问中的描述如下：

a说：

“我不是小偷。

”

b说：

“c是小偷。

”

c说：

“小偷肯定是d。

”

d说：

“c在冤枉人。

”

现在已经知道四个人中三人说的是真话，一人说的是假话，问到底谁是小偷？

提示：

将以上信息数字化，用变量x存放小偷的编号，则x的取值范围从1取到4，就假设了他们中的某人是小偷的所有情况。

四个人所说的话就可以分别写成：

a说的话：

x<>1

b说的话：

x=3

c说的话：

x=4

d说的话：

x<>4或not（x=4）

#include

intmain（）

{intx;

for（x=1;x<=4;x++）

{

if（（x!

=1）+（x==3）+（x==4）+（x!

=4）==3）

printf（"%cisathief.\n",x+64）;

}

return0;

}

运行结果：

cisathief.

5.数学模型的应用

练习2：

求n次二项式各项的系数：

已知二项式的展开式为：

，要求利用杨辉三角形的规律来求解此问题。

各阶多项式的系数呈杨辉三角形的规律，因此可利用杨辉三角形的规律来编程实现。

（a+b）01

（a+b）11　1

（a+b）2　1　2　1

（a+b）31　331

（a+b）414641

（a+b）5……

则求n次二项式的系数的数学模型就是求n阶杨辉三角形。

算法设计要点：

除了首尾两项系数为1外，当n>1时，（a+b）n的中间各项系数是（a+b）n-1的相应两项系数之和，如果把（a+b）n的n+1的系数列为数组c，则除了c

（1）、c（n+1）恒为1外，设（a+b）n的系数为c（i），（a+b）n-1的系数设为c’（i）。

则有：

c（i）=c’（i）+c’（i-1）

而当n=1时，只有两个系数c

（1）和c

（2）（值都为1）。

不难看出，对任何n,（a+b）n的二项式系数可由（a+b）n-1的系数求得，直到n=1时，两个系数有确定值，故可写成递归子算法。

#include

voidcoeff（inta[],intn）;

voidcoeff（inta[],intn）

{inti;

if（n==0）a[1]=1;

elseif（n==1）

{a[1]=1;

a[2]=1;}

else

{coeff（a,n-1）;

a[n+1]=1;

for（i=n;i>=2;i--）

a[i]=a[i]+a[i-1];

a[1]=1;

}

}

intmain（）

{inta[100]={0},i,n;

scanf（"%d",&n）;

coeff（a,n）;

for（i=1;i<=n+1;i=i+1）

printf（"%4d",a[i]）;

printf（"\n"）;

return0;

}

6.分治算法的应用

练习3：

求数列的最大子段和。

给定n个整数（可能为负整数）组成的序列a1,a2,...,an,求该序列连续的子段，使其和为最大。

如果该序列的所有元素都是负整数时定义其最大子段和为0。

对于此问题可采用二分法逐步分解来完成。

算法的设计思想如下：

将所给的序列a[1..n]分为长度相等的2段a[1—（n/2）]和a[（n/2）+1—n],分别求出这2段的最大子段和,则a[1.n]的最大子段和有3种情形。

1）a[1..n]的最大子段和与a[1..（n/2）]的最大子段和相同;

2）a[1..n]的最最大子段和与a[（n/2）+1..n]的最大子段和相同;

3）a[1..n]的最大子段和为a[i:

j]，且1≤i≤（n/2）,（n/2）+1≤j≤n。

情况1）和情况2）可分别递归求得。

对于情况3）,a[（n/2）]与a[（n/2）+1]一定在最大子段中，因此可以以（n/2）为中心，分次求出i：

（n/2）,（n/2）+1：

j两子段的和，并相加返回。

#include

intmaxSubSum（inta[],intleft,intright）

{

inti,j,sum=0;

if（left==right）//这是递归调用必须要有的终值情况。

{

sum=（a[left]>0?

a[left]:

0）;

}

else

{

intcenter=（left+right）/2;

intleftSum=maxSubSum（a,left,center）;//求出左序列最大子段和

intrightSum=maxSubSum（a,center+1,right）;//求出右序列最大子段和

//求跨前后两段的情况，从中间分别向两端扩展。

从中间向左扩展。

这里注意，中间往左的第一个必然包含在内。

intls=0;intlefts=0;

inttempi=center,tempj=center+1;

for（i=center;i>=left;i--）

{

lefts+=a[i];

if（lefts>ls）

ls=lefts;

}

intrs=0;intrights=0;

for（j=++center;j<=right;j++）

{

rights+=a[j];

if（rights>rs）

rs=rights;

}

sum=ls+rs;//sum保存跨前后两段情况的最大子段和求跨前后两段的情况完成

if（sum

sum=leftSum;//记住，leftSum表示前段序列的最大子段和

if（sum

sum=rightSum;//rightSum表示后段序列的最大字段和

}

returnsum;

}

voidmain（）

{inta[5]={8,-2,9,10,-4};

intd=maxSubSum（a,0,4）;

printf（"%d\n",d）;

}

7．算法基本技巧的应用

练习1：

楼梯上有n阶台阶，上楼可以一步上1阶，也可以一步上2阶，编写算法计算共有多少种不同的上楼梯方法。

算法的设计思想：

此问题如果按照习惯，从前向后思考，也就是从第一阶开始，考虑怎么样走到第二阶、第三阶、第四阶……，则很难找出问题的规律；而反过来先思考“到第n阶有哪几种情况？

”，答案就简单了，只有两种情况：

1） 从第n-1阶到第n阶；

2） 从第n-2阶到第n阶。

记n阶台阶的走法数为f（n），则

  f（n）=1n=1

f（n）=2n=2

f（n-1）+f（n-2）n>2

算法可以用递归完成，下面是问题的递归算法。

intmain（）

{

intn,fn;

printf（'n='）;

scanf（"%d",&n）;

fn=f（n）;

}

intf（intx）

{

if（x==1）return

（1）;

if（x==2）return

（2）;

else

return（f（x-1）+f（x-2））;

}

8．贪婪算法应用

练习2：

问题描述：

　　今天张麻子打算去约会。

大家都知道张麻子是超级大帅哥，所以和他约会的MM也超级多，她们每个人都和张麻子订了一个约会时间。

但是今天张麻子刚打算出门的时候才发现，某几个MM的约会时间有冲突。

由于张麻子不会分身，还不能和多个MM同时约会，他只能忍痛割爱拒绝掉某些MM。

但是张麻子这个花心大萝卜还是不死心，他想知道，他最多可以和多少个MM约会。

输入：

　　输入的第一行包含一个正整数N（0

接下去N行，每行描述一个MM，格式为:

Namestarttimeendtime，表示在[starttime,endtime）这个半开区间是这个MM的约会时间，starttime

名字由大写或小写字母组成，最长不超过15个字母，保证没有两个人拥有相同的名字，所有时间采用24小时制，格式为XX:

XX，且在06:

00到23:

00之间。

输出：

　　输出的第一行是一个整数M表示张麻子最多可以和多少个MM约会。

接下来那一行就是M个MM的名字，用空格隔开。

您可以按照任意的顺序输出。

如果存在多个答案，您可以任选一个输出。

输入示例：

4

Lucy06:

0010:

00

Lily10:

0017:

00

HanMeimei16:

0021:

00

Kate11:

0013:

00

输出示例：

3

LucyKateHanMeimei

算法分析：

典型的任务选择问题，可先按完成时间排序然后贪心选择，即在可能的事件a1

编程要点：

1、谁结束时间早就选谁，因此要排序；

2、进行选择时，还要考虑前一个被选人的结束时间与后一个开始时间是否有重叠。

#include

#include

#include

#include

usingnamespacestd;

structgirl

{

charname[20];

intfirst,second;//约会的开始时间与结束时间

};

//此段函数即为sort函数对girl排序所用的排序规则，

//贪心算法为尽可能多地选择约会，因此要先对约会结束时间段按升序排列，

//但有可能结束时间相等的，则考虑谁开始早谁排在前面，否则谁结束早谁排在前面。

boolcmp（girla,girlb）

{

if（a.second==b.second）

returna.first

returna.second

}

intmain（）

{

inti,n,hour,min;

charaa;

girlgf[1000];

stringstr[1000];

scanf（"%d",&n）;

for（i=0;i

{

scanf（"%s%d%c%d",&gf[i].name,&hour,&aa,&min）;

gf[i].first=hour*60+min;

scanf（"%d%c%d",&hour,&aa,&min）;

gf[i].second=hour*60+min;

}

sort（gf,gf+n,cmp）;//对MM排序，sort为C++的函数，使用要包括头文件

//要求sort使用cmp规则来对gf结构体数组排序

str[0]=gf[0].name;

intcount=1;

girltemp=gf[0];

for（i=1;i

{

if（gf[i].first>=temp.second）

{

str[count++]=gf[i].name;

temp=gf[i];

}

}

cout<

for（i=0;i

cout<

return0;

}

9．动态规划算法求解数塔问题

有形如图4-1所示的一个数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数值和最大。

程序参考：

#include

main（）

{

intdata[50][50];//存储原始信息

intdecision[50][50];//存储决策信息

/**数组path[i][j]存储data[i][j]选择路径,

取值为0表示向左取值为1表示向右

*/

intpath[50][50];

inti,j,n;

/**输入数塔有多少行*/

printf（"pleaseinputthenumberofrows:

"）;

scanf（"%d",&n）;

/**输入初始数据*/

for（i=1;i<=n;i++）

for（j=1;j<=i;j++）

{

/**输入数塔中的数据*/

scanf（"%d",&data[i][j]）;

/**初始决策信息与原始数塔数据相同*/

decision[i][j]=data[i][j];

/**置选择路径的初始值为0*/

path[i][j]=0;

}

/**动态规划过程的存储*/

for（i=n-1;i>=1;i=i-1）

for（j=1;j<=i;j=j+1）

{

/**左结合*/

if（decision[i+1][j]>decision[i+1][j+1]）

{

decision[i][j]=decision[i+1][j]+decision[i][j];

path[i][j]=0;

}

/**右结合*/

else

{

decision[i][j]=decision[i+1][j+1]+decision[i][j];

path[i][j]=1;

}

}

/**动态规划过程结束decision[1][1]为最大值*/

printf（"max=%d\n",decision[1][1]）;

/**根据path[i][j]找出最优解路径*/

j=1;

for（i=1;i<=n-1;i++）

{

printf（"%d->",data[i][j]）;

j=j+path[i][j];

}

printf（"%d\n",data[n][j]）;

}

10．求两个字符序列的最长公共字符子序列。

算法分析：

设A=“a0，a1，…，am-1”，

B=“b0，b1，…，bn-1”，

Z=“z0,z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。

有以下结论：

1）如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列；

2）如果am-1≠bn-1，则若zk-1≠am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是"a0,a1,…,am-2"和"b0,b1,…,bn-1"的一个最长公共子序列；

3）如果am-1≠bn-1，则若zk-1≠bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

定义c[i][j]为序列a0,a1,…,ai-2”和“b0,b1,…,bj-1”的最长公共子序列的长度，计算c[i][j]可递归地表述如下：

1）c[i][j]=0如果i=0或j=0；

2）c[i][j]=c[i-1][j-1]+1如果i,j>0,且a[i-1]=b[j-1]；

3）c[i][j]=max（c[i][j-1],c[i-1][j]）如果i,j>0,且a[i-1]≠b[j-1]。

参考程序：

#include

#include

chara[100],b[100],str[100];

intc[100][100];

intlcs_len（inti,intj）

{

intt1,t2;

if（i==0||j==0）

c[i][j]=0;

else

{

if（a[i-1]==b[j-1]）

c[i][j]=lcs_len（i-1,j-1）+1;

else

{

t1=lcs_len（i,j-1）;

t2=lcs_len（i-1,j）;

if（t1>t2）

c[i][j]=t1;

else

c[i][j]=t2;

}

}

returnc[i][j];

}

voidbuild_lcs（intk,inti,intj）

{

if（i==0||j==0）

return;

if（c[i][j]==c[i-1][j]）

build_lcs（k,i-1,j）;

else

if（c[i][j]==c[i][j-1]）

build_lcs（k,i,j-1）;

else

{

str[k-1]=a[i-1];

build_lcs（k-1,i-1,j-1）;

}

}

voidmain（）

{

intm,n,k;

printf（"Entertwostring!

\n"）;

gets（a）;

gets（b）;

m=strlen（a）;

n=strlen（b）;

k=lcs_len（n,m）;

build_lcs（k,n,m）;

puts（str）;

}

11．求最长不降子序列。

设有由n个不相同的整数组成的数列，记为:

a

（1）、a

（2）、……、a（n）且a（i）<>a（j）（i<>j）

若存在i1

请求出一个数列的最长不下降序列。

参考程序：

#include

inta[100],b[100],c[100];

main（）

{

intn,i,j,max,p;

scanf（"%d",&n）;

for（i=1;i<=n;i++）

{

scanf（"%d",&a[i]）;

b[i]=1;

c[i]=0;

}

for（i=n-1;i>=1;i--）

{

max=0;

p=0;

for（j=i+1;j<=n;j++）

if（a[i]max）

{

max=b[j];

p=j;

}

if（p!

=0）

{

b[i]=b[p]+1;

c[i]=p;

}

}

max=0;

p=0;

for（i=1;i<=n;i++）

if（b[i]>max）

{

max=b[i];

p=i;

}

printf（"maxlong=%d\n",max）;

printf（"resultis:

"）;

while（p!

=0）

{

printf（"%5d",a[p]）;

p=c[p];

}

}