数学分析复旦第三版答案.docx

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数学分析复旦第三版答案

数学分析复旦第三版答案

【篇一：

复旦《数学分析》答案第四章1、2节】

题4.1微分和导数

⒈半径为

1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微

分的方法算出每只球需要用铜多少克？

（铜的密度为8.9g/cm3。

）解球体积v

?

43

?

r

3

，每只球镀铜所需要铜的质量为

2

m?

?

?

v?

4?

?

r?

r?

1.12

g。

?

0

⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。

证当x?

0时，?

y?

微。

当x?

0时，

?

y?

?

?

3

x2

在它的整个定义域中，除了x这一

?

x

2

是?

x的低阶无穷小，所以y

?

x2

在x?

0不可

?

x?

x?

o（?

x）,

所以y

?

x2

在x?

0是可微的。

习题4.2导数的意义和性质

1．设f?

（x0）存在，求下列各式的值：

⑴⑵⑶

lim

?

x?

0

f（x0?

?

x）?

f（x0）

?

x

；

lim

x?

x0

f（x）?

f（x0）

x?

x0

；

。

f（x0?

（?

?

x））?

f（x0）

（?

?

x）

?

?

f（x0）。

lim

h?

0

f（x0?

h）?

f（x0?

h）

h

解

（1）lim

⑵⑶

f（x0?

?

x）?

f（x0）

?

x

f（x）?

f（x0）

x?

x0

?

x?

0

?

?

lim

?

x?

0

x?

x0

lim?

lim

f（x0?

（x?

x0））?

f（x0）

x?

x0

x?

x0?

0

?

f（x0）。

lim

f（x0?

h）?

f（x0?

h）

h

f（x0?

h）?

f（x0）

h

h?

0

f（x0?

h）?

f（x0）

h

h?

0

?

lim

h?

0

?

lim

?

2f（x0）

。

2．⑴用定义求抛物线y?

2x2?

3x?

1的导函数；⑵求该抛物线上过点（?

1,?

2）处的切线方程；⑶求该抛物线上过点（?

2,1）处的法线方程；

⑷问该抛物线上是否有（a,b），过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？

解

（1）因为

?

y?

x

?

2（x?

?

x）?

3（x?

?

x）?

1?

（2x?

3x?

1）

?

x

f（x）?

lim

?

y?

x

?

4x?

3。

2

2

?

4x?

3?

2?

x，所以

?

x?

0

（2）由于（3）由于

f（?

1）?

?

1，切线方程为y?

?

1?

[x?

（?

1）]?

（?

2）?

?

x?

3。

f（?

2）?

?

5，法线方程为y?

?

1?

5

[x?

（?

2）]?

1?

x?

75

。

（4）抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴，即斜率为无穷大，由

（1）可

知不存在x，使得f（x）?

?

，所以这样的点（a,b）不存在。

3．设f（x）为（?

?

?

?

）上的可导函数，且在x?

0的某个邻域上成立

f（1?

sinx）?

3f（1?

sinx）?

8x?

?

（x），

其中?

（x）是当x?

0时比x高阶的无穷小。

求曲线y?

处的切线方程。

解记f（x）?

由lim

lim

f（x）x

x?

0

f（x）在（1,f

（1））

可得limf（x）?

?

2f

（1）?

0，即f

（1）?

0f（1?

sinx）?

3f（1?

sinx），

x?

0

。

?

lim

8x?

?

（x）

x

x?

0

?

8

与

，

f（x）x

x?

0

?

f（1?

sinx）?

f

（1）sinx?

?

f（1?

sinx）?

f

（1）sinx?

?

lim?

?

?

3lim?

?

4f

（1）?

?

?

x?

0x?

0sinxx?

sinxx?

?

?

得到f

（1）?

2。

于是曲线y?

f（x）在（1,f

（1））处的切线方程为y?

2（x?

1）。

4．证明：

从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反

射光必定经过它的另一个焦点。

（见图4.2.5）

证设椭圆方程为

xa

22

?

yb

22

?

1，a?

b?

0，焦点坐标为

a?

b

2

2

（?

c,0）,c?

。

假设（x0,y0）为椭圆

上任意一点，当y0斜率为tan?

?

?

bx0ay0

22

?

0时结论显然成立。

现设y0?

0，则过此点的切线

y0x0?

c

2

2

，（x0,y0）与焦点（?

c,0）连线的斜率为tan?

1?

，和

此连线与切线夹角的正切为k

x0a

22

?

tan?

1?

tan?

1?

tan?

1tan?

。

利用c2

?

a?

b

?

y0b

2

2

?

1代入计算，得到

y0

k?

x0?

c1?

y0

?

bx0ay0?

bx0

222

2

?

ay0?

bx0?

cx0b

2

2

2

22222

（a?

b）x0y0?

acy0

?

ab?

cx0b

2

2

222

cx0y0?

acy0

?

b

2

cy0

。

x0?

cay0

（x0,y0）与另一焦点（c,0）连线的斜率为tan?

2?

y0x0?

c

，此连线与切线

夹角的正切为

tan?

?

tan?

21?

tan?

tan?

2

?

?

bx0ay0

y0

22

?

y0x0?

cbx0

2

?

cx0b?

ay0?

bx0

2

2

2

22222

1?

?

2

x0?

cay0

（a?

b）x0y0?

acy0

?

cx0b?

ab

2

2

222

cx0y0?

acy0

?

b

2

cy0

?

k

。

由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。

5．证明：

双曲线xy

?

a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三

2

角形的面积恒为2a。

证假设（x0,y0）为双曲线上任意一点，则x率为yx

?

?

y0?

a

2

，过这一点的切线斜

a

22

x0

?

?

y0x0

，切线方程为

y?

y0?

?

y0x0

（x?

x0），

易得切线与两坐标轴的交点为（0,2y0）和（2x0,0）。

切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为

s?

12

（2y0）（2x0）?

2x0y0?

2a

2

。

6．求函数在不可导点处的左导数和右导数。

⑴y⑶y

?

|sinx|；

⑵y

?

?

cosx

；

?

e?

|x|；

?

f（x）?

|sinx|

⑷y?

|ln（x?

1）|.

解

（1）对y，当x?

0时，

f?

（0）?

lim

|sin?

x|?

|sin0|

?

x

|sin?

x|?

|sin0|

?

x

?

x?

0?

?

lim

sin?

x?

x?

x?

sin?

x

?

x?

0?

?

1，?

?

1，

f?

（0）?

lim

?

x?

0?

?

lim

?

x?

0?

所以x?

0是不可导点。

又由于函数y是周期为?

的函数，所有不可导点为x?

k?

（2）y

为x?

2k?

（k?

z），且f?

?

（k?

）?

?

1，?

f（x）?

f?

?

（k?

）?

1。

?

x2

?

，由

（1）可知不可导点

2

（k?

z），且经计算得到

f?

?

（2k?

）?

?

?

|x|

，f?

?

（2k?

）?

2

。

（3）y?

?

f（x）?

e

不可导点只有x?

0，且

e

?

?

x

f（0）?

lim

?

1

?

x?

0?

?

x

?

?

1，f（0）?

lim

?

e

?

x

?

1

?

x?

0?

?

x

?

1。

（4）y?

f（x）?

ln（x?

1）f?

（0）?

limf?

（0）?

lim

不可导点只有x?

0，且

?

1，?

x

?

ln（?

x?

1）

?

lim?

?

1。

?

x?

0?

?

x?

lim

?

x?

0?

|ln（?

x?

1）|?

ln1?

x

|ln（?

x?

1）|?

ln1

?

x

ln（?

x?

1）

?

x?

0?

?

x?

0?

7．讨论下列函数在x

⑴⑶

?

|x|1?

asiny?

?

?

0,

1x

?

0处的可导性：

（a?

0）x?

0,x?

0;

⑵⑷

?

x2,y?

?

?

ax?

b,

a

?

?

ex2,y?

?

?

?

0,

x?

0,x?

0;x?

0,x?

0.

?

xex,

y?

?

2

?

ax,

x?

0,x?

0;

1?

a

解

（1）?

lim

x?

0

?

y?

x

|?

x|?

lim

?

x?

0

sin

1

?

lim?

|?

x|asgn（?

x）sin1?

?

0

?

?

?

x?

0x?

?

?

x

，所以函数

在x?

0可导。

（2）如果函数在x?

0可导，则必须在x?

0连续，由f（0?

）?

可得b?

0。

当b?

0时，f

?

f（0）?

b

（0）?

lim

?

x?

0?

x

2

?

x?

0?

?

0，f?

（0）?

lim

a?

x?

0?

x

?

x?

0?

?

a

，

【篇二：

复旦数学真题有答案】

?

a?

bc,y?

b?

ac,z?

c?

ab，65、已知是不完全相等的任意实数。

若

则x,y,z的值______________________。

a、都大于0；b、至少有一个大于0；c、至少有一个小于0；d、都不小于0

2

x66、已知关于x的方?

6x?

（a?

2）|x?

3|?

9?

2a?

0有两个不同的实数根，则系

数a的取值范围是_____________________________。

a、a?

0或a?

?

2；

（x?

12

b、a?

0；

1

n）1

c、a?

2或a?

0；d、a?

?

2

2x4的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式的67、在二项式

有理项的项数为_____________。

a、2；b、3；c、4；d、5

68、设1和2为平面上两个长度为1的不共线向量，且它们和的模长满足

|a1?

|a2|?

。

则（2a1?

5a2）?

（3a1?

a2）?

____________。

1a、2；

?

1

2；

b、

11c、2；

11d、2

?

69、在复平面上，满足方程zz?

z?

z?

3的复数z所对应的点构成的图形是________。

a、圆；

b、两个点；

c、线段；

d、直线

70、在如图所示的棱长均为1的正四面体abcd中，点m和n分别是边ab和cd的中点。

则线段mn的长度为__________。

1

a、2；1

c、；

b、2；

d、2

2y71、过抛物线?

2px（p?

0）的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，o为抛物线

的顶点。

则三角形△abo是一个________。

a、等边三角形；b、直角三角形；c、不等边锐角三角形；d、钝角三角形

72、设f（x）的定义域是全体实数，且f（x）的图形关于直线x?

a和x?

b对称，其中a?

b。

则f（x）是_____________。

a、一个以b?

a为周期的周期函数；c、一个非周期函数；

b、一个以2b?

2a为周期的周期函数d、以上均不对。

100

（1?

x）73、二项式的展开式中系数之比为33：

68的相邻两项是

_______________。

a、第29、30项；b、第33、34项；c、第55、56项；d、81、82项74、方|x?

3|

（x2?

8x?

15）/（x?

2）

=1有___________解。

c、三个；

d、四个。

a、一个；b、两个；

3

f（x）?

ax?

bx?

cx?

d的图像关于原点对称的充分必要条a?

075、已知，函数

件是_________。

a、b?

0；

b、b?

0,c?

0；

c、c?

d?

0；d、b?

d?

0

76、设?

an?

是正数数列，其前n项和为sn，满足：

对所有的正整数n，an与2的

sn?

an

2

等差中项等于sn与2的等比中项，则n?

?

?

4n=____________。

lim

1c、2；

1d、4

a、0；b、1；

77、四十个学生参加数学奥林匹克竞赛。

他们必须解决一个代数学问题、一个

___________。

a、5；b、6；c、7；d、8

2x

78、方程3x?

e?

0的实根______。

a、不存在；b、有一个；c、有两个；d、有

三个。

22222

79、当不等式tan（cos4?

?

x）?

4a4?

?

x）?

2?

2a?

0关于x有有限个解时，a的取值是________________。

a、全体实数；法确定。

b、一个唯一的实数；c、两个不同的实数；d、无

?

xx?

y?

yx?

y?

80、方程组?

yx?

1有___________解。

a、一个；b、两个；c、三个；

d、四个。

?

（a?

1）x?

8y?

4a

?

81、设a是一个实数，则方程组?

ax?

（a?

3）y?

3a?

1解的情况为__________。

a、无论a取何值，方程组均有解；b、无论a取何值，方程组均无解；c、若方程组有解，则仅有一组解；d、方程组有可能无解。

82、在如图所示的三棱柱中，点a，bb1的中点以及b1c1的中点所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，问小部分的体积和大部分的体积比为_______。

1a、3；

4b、7；

11

c、17；

13d、23

852

f（x）?

x?

x?

x?

x?

1。

则f（x）有性质：

________。

83、设

a、对任意实数x，f（x）总是大于0；c、当x0时，f（x）?

0；

b、对任意实数x，f（x）总是小于0；d、以上均不对。

x2y2

?

?

112384、椭圆的焦点为f1和f2，点p在椭圆上，若pf1的中点在y轴上，

则|pf1|是|pf2|的____________。

a、3倍；

b、5倍；

c、7倍；

d、9倍。

85、5个不同元素ai（i=1,2,3,4,5）排成一列，规定a1不许排第一，a2不许排第二，不同的排法共有_________________。

a、64种；b、72种；c、78种；

d、84种。

2k?

1

86、设某个多边形?

的顶点在复平面中均为形式为1?

z?

z?

?

?

?

?

z的点，其

中|z|?

1。

则点z=0有性质：

___________。

a、一定是多边形?

上的点；

b、一定不是多边形?

上的点；d、恰恰为多边形?

的边界点。

c、不一定是多边形?

上的点；

87、一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等品率为0.1。

将这批衬衣逐件检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等品的概率为_____________。

a、0.271；b、0.243;c、0.1；d、0.081

x1x2x3

x2

xx3是方程x3?

x?

2?

0的三个根，x2，88、设x1，则行列式3

a、—4；b、—1；c、0；d、2

x3x1

x1x2

=_______。

ax?

a?

x（ax?

1）x

f（x）?

g（x）?

a?

0,a?

12ax?

1为__________。

89、设，则函数和

a、f（x）和g（x）均为奇函数；

b、f（x）和g（x）均为偶函数；d、f（x）是奇函数但g（x）是偶函数

c、f（x）是偶函数但g（x）是奇函数；

?

1?

?

2

90、设a=?

99

a、2a；

1?

?

2?

?

是一个二阶方阵，则100个a的乘积a100=____________。

b、2

100

a；

99

c、3a；

100

d、3a

91、三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有_____________个。

a、20；b、26；c、30；d、36

92、如图所示；正方形abcd的面积设为1，e和f分别是ab和bc的中点，则图中阴影部分的面积是________________。

1a、2；2c、3；

3b、4；2d、5

93、设a?

{a1,a2,a3}是由三个不同元素所组成的集合，且t是a的子集族满足性质：

空集和a属于t，并且t中任何两个元的交集和并集还属于t。

问所有可能的t的个数为_______。

a、29；b、33；c、43；d、59

x2y2

?

?

1

f,f1691294、设分别为椭圆的左、右焦点，且点p是椭圆上的一点。

若

9

b、4；

9c、5；

a、3；

3d、2

95、若空间三条直线两两成异面直线，则与a,b,c都相交的直线有______________。

a、0条；条。

b、1条；

c、多于1的有限条；d、无穷多

1

96、已知一个三角形的面积为4，且它的外接圆半径为1。

设a,b,c分别为这个

u?

111?

?

abc且v?

a?

?

，则u和v的关系为

三角形的三条边的边长，令

__________。

u?

vu?

v

u?

v