第二十七章 相似图形 三角形 课堂检测 随堂练习 有答案.docx

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第二十七章相似图形三角形课堂检测随堂练习有答案

第二十七章相似

测试1图形的相似

学习要求

1．理解相似图形、相似多边形和相似比的概念．

2．掌握相似多边形的两个基本性质．

3．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质．

课堂学习检测

一、填空题

1．________________________是相似图形．

2．对于四条线段a，b，c，d，如果____________与____________（如

），那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________．

3．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形．

4．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________．

5．相似多边形的两个基本性质是____________，____________．

6．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________．

反之亦真．即

______（a，b，c，d不为零）．

7．已知2a－3b＝0，b≠0，则a∶b＝______．

8．若

则x＝______．

9．若

则

______．

10．在一张比例尺为1∶20000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，则A，B两地实际距离为______m．

二、选择题

11．在下面的图形中，形状相似的一组是（）

12．下列图形一定是相似图形的是（）

A．任意两个菱形B．任意两个正三角形

C．两个等腰三角形D．两个矩形

13．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有（）

A．1种B．2种C．3种D．4种

三、解答题

14．已知：

如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：

（1）梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；

（2）A′B′和BC的长；

（3）D′C′∶DC．

综合、运用、诊断

15．已知：

如图，△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．△ADE与△ACB相似，

∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．

16．已知：

如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．

拓展、探究、思考

17．如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD．如图乙所示，线段EF＝10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?

最大值是多少?

答案与提示

第二十七章相似

测试1

1．形状相同的图形．

2．其中两条线段的比，另两条线段的比相等，比例线段．

3．对应角相等，对应边的比相等．

4．对应边的比，全等，

5．对应角相等，对应边的比相等．

6．两个内项之积等于两个外项之积，ad＝bc．

7．3∶2．8．

9．1．10．1000．

11．C．12．B．13．C．

14．

（1）k＝2∶3；

（2）A＇B＇＝9，BC＝8；（3）3∶2．

15．

16．相似．

17．

时，S的最大值为

测试2相似三角形

学习要求

1．理解相似三角形的有关概念，能正确找到对应角、对应边．

2．掌握相似三角形判定的基本定理．

课堂学习检测

一、填空题

1．△DEF∽△ABC表示△DEF与△ABC______，其中D点与______对应，E点与

______对应，F点与______对应；∠E＝______；DE∶AB＝______∶BC，AC∶DF＝AB∶______．

2．△DEF∽△ABC，若相似比k＝1，则△DEF______△ABC；若相似比k＝2，则

______，

______．

3．若△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k1；△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为k2，则△ABC______△A2B2C2，且相似比为______．

4．相似三角形判定的基本定理是平行于三角形____________和其他两边相交，所_____

____________与原三角形______．

5．已知：

如图，△ADE中，BC∥DE，则

①△ADE∽______；

②

③

二、解答题

6．已知：

如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式．

（1）若△ADC∽△CDB；

（2）若△ACD∽△ABC；

（3）若△BCD∽△BAC．

综合、运用、诊断

7．已知：

如图，△ABC中，AB＝20cm，BC＝15cm，AD＝12.5cm，DE∥BC．求DE的长．

8．已知：

如图，AD∥BE∥CF．

（1）求证：

（2）若AB＝4，BC＝6，DE＝5，求EF．

9．如图所示，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．求证：

PA∶PB＝PC∶PD．

拓展、探究、思考

10．已知：

如图，E是□ABCD的边AD上的一点，且

，CE交BD于点F，BF＝15cm，求DF的长．

11．已知：

如图，AD是△ABC的中线．

（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，求

；

（2）若E为AD上的一点，且

，射线CE交AB于F，求

答案与提示

测试2

1．相似，A点，B点，C点，∠B，EF，DE．

2．≌，2，

3．∽；k1k2．

4．一边的直线，构成的三角形，相似．

5．①△ABC；②AC，DE；③EC，CE．

6．

（1）

（2）

（3）

7．9.375cm．

8．

（1）提示：

过A点作直线AF＇∥DF，交直线BE于E＇，交直线CF于F＇．

（2）7.5．

9．提示：

PA∶PB＝PM∶PN，PC∶PO＝PM∶PN．

10．OF＝6cm．提示：

△DEF∽△BCF．

11．

（1）

（2）1∶2k．

测试3相似三角形的判定

学习要求

1．掌握相似三角形的判定定理．

2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算．

课堂学习检测

一、填空题

1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．

2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．

3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似．

4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．

5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．

6．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．

7．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A'C′＝2cm，A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．

8．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．

9．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．

9题图

10．如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．

10题图

二、选择题

11．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是（）

A．∠B＝∠DAC

B．∠BAC＝∠ADC

C．AC2＝DC·BC

D．AD2＝BD·BC

12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）

A．5B．8.2

C．6.4D．1.8

13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）

三、解答题

14．已知：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，

（1）图中有哪两个三角形相似?

（2）求证：

AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA；

（3）若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD；

（4）若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；

（5）求证：

AC·BC＝AB·CD．

15．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．

求证：

（1）OD∶OA＝OE∶OB；

（2）△ODE∽△OAB；

（3）△ABC∽△DEF．

综合、运用、诊断

16．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C．

求证：

（1）∠EAF＝∠B；

（2）AF2＝FE·FB．

17．已知：

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．

求证：

AB·CD＝BE·EC．

18．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．

求证：

AD·BC＝OB·BD．

19．如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦CF交AB于E．

求证：

CB2＝CF·CE．

拓展、探究、思考

20．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．

21．已知：

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．

22．已知：

如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．

答案与提示

测试3

1．平行于，直线，相交．

2．三组，比相等．

3．两组，相应的夹角．

4．两个，两个角对应相等．

5．△ABC∽△A＇C＇B＇，因为这两个三角形中有两对角对应相等．

6．△ABC∽△A＇B＇C＇．因为这两个三角形中有两对角对应相等．

7．△ABC∽△A＇B＇C＇，因为这两个三角形中，有两组对应边的比相等，且相应的夹角相等．

8．△ABC∽△DFE．因为这两个三角形中，三组对应边的比相等．

9．6对．10．6对．

11．D．12．D．13．A．

14．

（1）△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△ACB∽△CDB；

（2）略；

（3）

（4）

（5）提示：

AC·BC＝2S△ABC＝AB·CD．

15．提示：

（1）OD∶OA＝OF∶OC，OE∶OB＝OF∶OC；

（2）OD∶OA＝OE∶OB，∠DOE＝∠AOB，得△ODE∽△OAB；

（3）证DF∶AC＝EF∶BC＝DE∶AB．

16．略．

17．提示：

连结AE、ED，证△ABE∽△ECD．

18．提示：

关键是证明△OBC∽△ADB．

∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°．

∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC．

∴∠OBC＝90°．∴∠D＝∠OBC．

∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC．∴△ADB∽△OBC．

∴AD·BC＝OB·BD．

19．提示：

连接BF、AC，证∠CFB＝∠CBE

20．

提示：

过C作CM∥BA，交ED于M．

21．相似．提示：

由△BHA∽△AHC得

再有BA＝BD，AC＝AE．

则：

再有∠HBD＝∠HAE，得△BDH∽△AEH．

22．

提示：

可证△APE∽△ACB，则

则

测试4相似三角形应用举例

学习要求

能运用相似三角形的知识，解决简单的实际问题．

课堂学习检测

一、选择题

1．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（）

A．15mB．60mC．20mD．

2．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为（）

A．

B．

C．

D．

3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）

第3题图

A．1.5mB．1.6mC．1.86mD．2.16m

4．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为（）

第4题图

A．3.85mB．4.00mC．4.40mD．4.50m

二、填空题

5．如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．

第5题图

6．如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm．

第6题图

三、解答题

7．已知：

如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求它的边长．

8．如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm（高×宽），一学生座位到黑板的距离是5m，教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?

综合、运用、诊断

9．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?

10．（针孔成像问题）根据图中尺寸（如图，AB∥A′B′），可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?

你能说出其中的道理吗?

11．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度．（精确到0.1m）

12．

（1）已知：

如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OE⊥BC于E点，连结ED交OC于F点，作FG⊥BC于G点，求证点G是线段BC的一个三等分点．

（2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．（要求：

写出作法，保留画图痕迹，不要求证明）

答案与提示

测试4

1．A．2．B．3．A．4．C．

5．3．6．12．

7．48mm．

8．教师在黑板上写的字的大小约为7cm×6cm（高×宽）．

9．树高7.45m．

10．

11．∵EF∥AC，∴∠CAB＝∠EFD．

又∠CBA＝∠EDF＝90°，∴△ABC∽△FDE．

故教学楼的高度约为18.2m．

12．

（1）提示：

先证EF∶ED＝1∶3．

（2）略．

测试5相似三角形的性质

学习要求

掌握相似三角形的性质，解决有关的计算或证明问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．

2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角的角平分线之比等于______．

3．相似三角形的周长比等于______．

4．相似三角形的面积比等于______．

5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______．

6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．

7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．

8．同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______，面积比是______．

9．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______，面积比是______．

10．同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______，面积比是______．

11．正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______，面积比是______．

12．在比例尺1∶1000的地图上，1cm2所表示的实际面积是______．

二、选择题

13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为（）

A．9∶4B．4∶9C．3∶2D．81∶16

14．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB的面积为（）

A．18B．27C．36D．45

15．如图所示，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若

，则此三角形移动的距离AA'是（）

A．

B．

C．1D．

三、解答题

16．已知：

如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：

△AEF的面积∶四边形EMNF的面积∶四边形MBCN的面积．

综合、运用、诊断

17．已知：

如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是角平分线．

（1）求证：

AD2＝CD·AC；

（2）若AC＝a，求AD．

18．已知：

如图，□ABCD中，E是BC边上一点，且

相交于F点．

（1）求△BEF的周长与△AFD的周长之比；

（2）若△BEF的面积S△BEF＝6cm2，求△AFD的面积S△AFD．

19．已知：

如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．

（1）当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；

（2）当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．

拓展、探究、思考

20．已知：

如图所示，以线段AB上的两点C，D为顶点，作等边△PCD．

（1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB．

（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB．

21．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于O点，若S△AOD∶S△DOC＝2∶3，求S△AOB∶S△COD．

22．已知：

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：

在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．

答案与提示

测试5

1．相等，相似比．2．相似比、相似比、相似比．

3．相似比．4．相似比的平方．

5．相似比．相似比的平方．6．4∶5．

7．5∶2，25∶4．8．1∶2，1∶4．

9．

10．

11．

12．100m2．

13．C.14．C．15．A．16．1∶3∶5．

17．

（1）提示：

证△ABC∽△BCD；

（2）

18．

（1）

（2）54cm2．19．

（1）

（2）

20．

（1）CD2＝AC·DB；

（2）∠APB＝120°．21．4∶9

22．BP＝2，或

或9．

当BP＝2时，S△ABP∶S△PCD＝1∶9；

当

时，S△ABP∶S△DCP＝1∶4；

当BP＝9时，S△ABP：

S△PCD＝9∶4．