高中数学函数的极值与导数测试题含答案.docx
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高中数学函数的极值与导数测试题含答案
高中数学函数的极值与导数测试题（含答案）
选修2-21.3.2函数的极值与导数
一、选择题
1．已知函数f（x）在点x0处连续，下列命题中，正确的是（）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f（x）0，右侧f（x）0，那么f（x0）是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f（x）0，右侧f（x）0，那么f（x0）是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f（x）0，右侧f（x）0，那么f（x0）是极大值
[答案] C
[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f（x）＝x3，f（x）＝3x2，f（0）＝0，但x＝0不是f（x）的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.
2．函数y＝1＋3x－x3有（）
A．极小值－2，极大值2
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－1，极大值1
D．极小值－1，极大值3
[答案] D
[解析] y＝3－3x2＝3（1－x）（1＋x）
令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1
当x－1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，
当－11时，y0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，
当x1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，
当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.
当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.
3．设x0为f（x）的极值点，则下列说法正确的是（）
A．必有f（x0）＝0
B．f（x0）不存在
C．f（x0）＝0或f（x0）不存在
D．f（x0）存在但可能不为0
[答案] C
[解析] 如：
y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f（0）不存在．
4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．
5．对于函数f（x）＝x3－3x2，给出命题：
①f（x）是增函数，无极值；
②f（x）是减函数，无极值；
③f（x）的递增区间为（－，0），（2，＋），递减区间为（0,2）；
④f（0）＝0是极大值，f
（2）＝－4是极小值．
其中正确的命题有（）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[答案] B
[解析] f（x）＝3x2－6x＝3x（x－2），令f（x）0，得x2或x0，令f（x）0，得02，①②错误．
6．函数f（x）＝x＋1x的极值情况是（）
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2
[答案] D
[解析] f（x）＝1－1x2，令f（x）＝0，得x＝1，
函数f（x）在区间（－，－1）和（1，＋）上单调递增，在（－1,0）和（0,1）上单调递减，
当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.
7．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[答案] A
[解析] 由f（x）的图象可知，函数f（x）在区间（a，b）内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极小值点．
8．已知函数y＝x－ln（1＋x2），则函数y的极值情况是（）
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
[答案] D
[解析] ∵y＝1－11＋x2（x2＋1）
＝1－2xx2＋1＝（x－1）2x2＋1
令y＝0得x＝1，当x1时，y0，
当x1时，y0，
函数无极值，故应选D.
9．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于（1,0）点，则函数f（x）的极值是（）
A．极大值为427，极小值为0
B．极大值为0，极小值为427
C．极大值为0，极小值为－427
D．极大值为－427，极小值为0
[答案] A
[解析] 由题意得，f
（1）＝0，p＋q＝1①
f
（1）＝0，2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
f（x）＝x3－2x2＋x，f（x）＝3x2－4x＋1
＝（3x－1）（x－1），
令f（x）＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f
（1）＝0.
10．下列函数中，x＝0是极值点的是（）
A．y＝－x3B．y＝cos2x
C．y＝tanx－xD．y＝1x
[答案] B
[解析] y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，
x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右负，
x＝0是函数的极大值点．
二、填空题
11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．
[答案] 1－1
[解析] y＝2（1＋x）（1－x）（x2＋1）2，
令y0得－11，令y0得x1或x－1，
当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.
12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．
[答案] a＋42 a－42
[解析] y＝3x2－6＝3（x＋2）（x－2），
令y0，得x2或x－2，
令y0，得－22，
当x＝－2时取极大值a＋42，
当x＝2时取极小值a－42.
13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.
[答案] －3－9
[解析] y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韦达定理应有
14．已知函数f（x）＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
[答案] （－2,2）
[解析] 令f（x）＝3x2－3＝0得x＝1，
可得极大值为f（－1）＝2，极小值为f
（1）＝－2，
y＝f（x）的大致图象如图
观察图象得－22时恰有三个不同的公共点．
三、解答题
15．已知函数f（x）＝x3－3x2－9x＋11.
（1）写出函数f（x）的递减区间；
（2）讨论函数f（x）的极大值或极小值，如有试写出极值．
[解析] f（x）＝3x2－6x－9＝3（x＋1）（x－3），
令f（x）＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x变化时，f（x）的符号变化情况及f（x）的增减性如下表所示：
x（－，－1）－1（－1,3）3（3，＋）
f（x）＋0－0＋
f（x）增极大值
f（－1）减极小值
f（3）增
（1）由表可得函数的递减区间为（－1,3）；
（2）由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f（－1）＝16；当x＝3时，函数有极小值为f（3）＝－16.
16．设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f
（1）＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．
[解析] f（x）＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝1是函数的极值点，－1、1是方程f（x）＝0的根，即有
又f
（1）＝－1，则有a＋b＋c＝－1，
此时函数的表达式为f（x）＝12x3－32x.
f（x）＝32x2－32.
令f（x）＝0，得x＝1.
当x变化时，f（x），f（x）变化情况如下表：
x（－，－1）－1（－1,1）1（1，＋）
f（x）＋0－0＋
f（x）?
极大
值1?
极小
值－1?
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.
17．已知函数f（x）＝ax3＋bx2－3x在x＝1处取得极值．
（1）讨论f
（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点A（0,16）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线方程．
[解析]
（1）f（x）＝3ax2＋2bx－3，依题意，
f
（1）＝f（－1）＝0，即
解得a＝1，b＝0.
f（x）＝x3－3x，
f（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1）．
令f（x）＝0，得x1＝－1，x2＝1.
若x（－，－1）（1，＋），则f（x）＞0，故
f（x）在（－，－1）上是增函数，
f（x）在（1，＋）上是增函数．
若x（－1,1），则f（x）＜0，故
f（x）在（－1,1）上是减函数．
f（－1）＝2是极大值；f
（1）＝－2是极小值．
（2）曲线方程为y＝x3－3x.点A（0,16）不在曲线上．
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.
∵f（x0）＝3（x20－1），故切线的方程为
y－y0＝3（x20－1）（x－x0）．
注意到点A（0,16）在切线上，有
16－（x30－3x0）＝3（x20－1）（0－x0）．
化简得x30＝－8，解得x0＝－2.
切点为M（－2，－2），
切线方程为9x－y＋16＝0.
18．（2019北京文，18）设函数f（x）＝a3x3＋bx2＋cx＋d（a0），且方程f（x）－9x＝0的两个根分别为1,4.
（1）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（－，＋）内无极值点，求a的取值范围．
[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．
由f（x）＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f（x）＝ax2＋2bx＋c
∵f（x）－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.
（1）当a＝3时，由（*）式得，
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f（x）过原点，d＝0.
故f（x）＝x3－3x2＋12x.
（2）由于a0，所以“f（x）＝a3x3＋bx2＋cx＋d在（－，＋）内无极值点”等价于“f（x）＝ax2＋2bx＋c0在（－，＋）内恒成立”
由（*）式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵＝（2b）2－4ac＝9（a－1）（a－9）
解得a[1,9]，
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。
至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。
至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。
即a的取值范围[1,9]．
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：
“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
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