线性代数习题及标准答案复旦版.docx
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线性代数习题及标准答案复旦版
线性代数习题及答案（复旦版）[]
线性代数习题及答案
习题一
１.求下列各排列的逆序数.
（１）３4１7８2659;
（2） 9８765４3２1;
（３）n（n？
1）…3２1； （4） １3…（2n?
1）（2n）（２ｎ?
2）…2.
【解】
（1）τ（3417826５9）=11;
（２）τ（９８765４3２１）＝36;
（３）τ（n（n？
1）…３·2·1）=０＋１+２ +…+（n?
1）=;
（4） τ（13…（２n？
1）（2n）（2n?
2）…2）=0+1+…+（ｎ?
1）+（n？
1）+（n?
２）+…+１+0=n（n?
１）.
2. 略.见教材习题参考答案．
3.略．见教材习题参考答案．
4.本行列式的展开式中包含和的项.
解：
设，其中分别为不同列中对应元素的行下标,则展开式中含项有
展开式中含项有
.
5.用定义计算下列各行列式.
（1）; （２）.
【解】
（1） D=（?
１）τ（23１4）4!
=24; （２）D=1２.
6． 计算下列各行列式．
（１）； （２）；
（3）; （4） ．
【解】（１） ；
（2） ；
７.证明下列各式.
（1） ;
（2）;
（３）
（4）;
（５） ．
【证明】
（1）
（２）
（３） 首先考虑4阶范德蒙行列式:
从上面的4阶范德蒙行列式知,多项式f（x）的ｘ的系数为
但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等,故
（4） 对D2ｎ按第一行展开,得
据此递推下去，可得
（5）对行列式的阶数n用数学归纳法.
当n=2时,可直接验算结论成立,假定对这样的ｎ?
1阶行列式结论成立,进而证明阶数为n时结论也成立.
按Dｎ的最后一列,把Ｄｎ拆成两个ｎ阶行列式相加:
但由归纳假设
从而有
８. 计算下列n阶行列式.
（１）
（2）；
（３）． （4）其中；
（５）.
【解】
（1）各行都加到第一行,再从第一行提出x＋（n？
1），得
将第一行乘（？
1）后分别加到其余各行，得
（2）按第二行展开
（3）行列式按第一列展开后，得
（4）由题意,知
.
（５）
.
即有
由 得
.
９．计算ｎ阶行列式.
【解】各列都加到第一列,再从第一列提出,得
将第一行乘（?
1）后加到其余各行,得
10. 计算阶行列式（其中）．
.
【解】行列式的各列提取因子，然后应用范德蒙行列式．
1１． 已知４阶行列式
；
试求与,其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.
【解】
同理
12. 用克莱姆法则解方程组.
（1）
（2）
【解】方程组的系数行列式为
故原方程组有惟一解,为
13. λ和μ为何值时，齐次方程组
有非零解?
【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式
即
故或时，方程组有非零解．
１4． 问:
齐次线性方程组
有非零解时，a,b必须满足什么条件?
【解】该齐次线性方程组有非零解
,ａ,ｂ需满足
即（ａ+1）2=4ｂ.
１5．求三次多项式,使得
【解】根据题意,得
这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于
故得
于是所求的多项式为
16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.
【解】设平面上的直线方程为
ａx+by＋c＝0（a,b不同时为0）
按题设有
则以a,b，c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为
上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.
习题二
1． 计算下列矩阵的乘积.
（1）；
（2）;
（3）; （4）;
（5）； （６）．
【解】
（1） （２）; （3）（10）;
（４）
（5）; （6）．
2.设,,
求（１）;（２） ;（3）吗?
【解】（１）
（2）
（3）由于AB≠ＢA，故（A+Ｂ）（Ａ?
Ｂ）≠A２?
Ｂ２.
3.举例说明下列命题是错误的.
（1）若, 则; （２）若,则或;
（3）若，,则.
【解】
（１） 以三阶矩阵为例,取，但A≠０
（２） 令,则A2＝A,但Ａ≠0且A≠Ｅ
（３）令
则ＡX＝AY,但Ｘ≠Y．
4.设，求A２，Ａ3,…,Ａｋ.
【解】
5． ,求并证明:
.
【解】
今归纳假设
那么
所以，对于一切自然数k,都有
６.已知,其中
求及.
【解】因为|P｜=?
１≠0,故由AP＝ＰB,得
而
7． 设,求||.
解：
由已知条件，的伴随矩阵为
又因为,所以有
且,
即
于是有 .
8.已知线性变换
利用矩阵乘法求从到的线性变换．
【解】已知
从而由到的线性变换为
9. 设，为阶方阵,且为对称阵，证明：
也是对称阵.
【证明】因为n阶方阵A为对称阵,即A′＝Ａ,
所以 （Ｂ′AB）′＝Ｂ′Ａ′B＝B′AB,
故也为对称阵.
10.设A，B为n阶对称方阵,证明:
ＡB为对称阵的充分必要条件是AB＝BA.
【证明】已知A′=A，B′=B，若AB是对称阵,即（AB）′=AB.
则 ＡB＝（AB）′＝Ｂ′A′＝ＢA,
反之，因AB=BA,则
（ＡB）′＝Ｂ′A′＝ＢA=ＡＢ,
所以，AB为对称阵.
11.A为n阶对称矩阵，Ｂ为n阶反对称矩阵,证明:
（1） Ｂ2是对称矩阵．
（2）AB?
BA是对称矩阵,AＢ+BＡ是反对称矩阵.
【证明】
因A′=A,B′=?
Ｂ,故
（Ｂ2）′＝B′·B′=?
B·（?
Ｂ）=B2;
（AB?
BA）′=（ＡB）′?
（BA）′=B′Ａ′?
A′B′
=?
BＡ?
A·（？
B）=ＡＢ?
BＡ;
（AB+BA）′=（ＡB）′+（ＢＡ）′=B′A′＋Ａ′B′
＝？
ＢA+A·（?
B）＝？
（AB+ＢA）.
所以Ｂ２是对称矩阵,AＢ?
ＢＡ是对称矩阵，ＡＢ+ＢA是反对称矩阵.
1２.求与A=可交换的全体二阶矩阵.
【解】设与Ａ可交换的方阵为,则由
=,
得
．
由对应元素相等得c＝0，d＝a，即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中ａ,b为任意数．
13.求与A=可交换的全体三阶矩阵.
【解】由于
Ａ＝E＋，
而且由
可得
由此又可得
所
以
即与Ａ可交换的一切方阵为其中为任意数.
14.求下列矩阵的逆矩阵.
（1）;
（2）;
（3）； （4）;
（５）; （６），
未写出的元素都是0（以下均同，不另注）．
【解】
（1） ;
（2）；
（３） ; （4） ;
（5）； （6） .
15.利用逆矩阵,解线性方程组
【解】因,而
故
1６.证明下列命题：
（１）若A,B是同阶可逆矩阵,则（AＢ）＊=Ｂ*A*.
（2） 若A可逆,则A＊可逆且（Ａ*）?
1=（A？
１）*．
（3）若AA′=Ｅ，则（A*）′=（Ａ＊）?
1.
【证明】
（1）因对任意方阵c，均有ｃ*c=cｃ*=|ｃ|Ｅ,而A,Ｂ均可逆且同阶,故可得
｜Ａ|·|B|·B*Ａ*＝|ＡB|E（Ｂ＊A＊）
＝（AB） ＊AB（B＊Ａ*）=（ＡB）*Ａ（ＢB＊）A*
＝（AB）*Ａ|Ｂ|EA＊＝|A｜·|B|（ＡB）*．
∵ ｜A|≠0，|Ｂ|≠0，
∴ （AB）*＝Ｂ*A*.
（２）由于ＡＡ＊=｜A|E,故A*=|A|Ａ?
1,从而（A？
１）*=|A?
1|（A？
１）？
1=|A|?
1A．
于是
Ａ＊（Ａ?
1）*=｜A|A？
１·|A|？
１A=E，
所以
（Ａ?
１） ＊=（A*）?
1.
（3） 因AA′=Ｅ,故A可逆且Ａ?
1＝Ａ′.
由
（2）（A*）?
１＝（A?
1） ＊，得
（Ａ*）?
1=（A′）*＝（A*）′.
１7. 已知线性变换
求从变量到变量的线性变换.
【解】已知
且｜Ａ|＝１≠0,故A可逆,因而
所以从变量到变量的线性变换为
18． 解下列矩阵方程．
（１） ;
（２）;
（3） ;
（４）.
【解】
（1） 令Ａ=;B＝．由于
故原方程的惟一解为
同理
（2）Ｘ=; （3）Ｘ=; （4）X=
19. 若（ｋ为正整数），证明:
.
【证明】作乘法
从而E?
A可逆,且
2０.设方阵Ａ满足A2－A－2E＝O,证明Ａ及A+2E都可逆,并求A?
1及（A+2E）?
１.
【证】因为A2?
A?
2E=0,
故
由此可知，A可逆，且
同样地
由此知，Ａ+2Ｅ可逆,且
２１. 设,，求.
【解】由AＢ＝A+2B得（Ａ?
2E）Ｂ=A.
而
即Ａ?
2Ｅ可逆,故
22． 设. 其中,，求.
【解】因可逆,且故由
得
23． 设次多项式,记,称为方阵的次多项式．
（1）， 证明
,;
（２）设, 证明,．
【证明】
（1）即k=２和k=３时,结论成立.
今假设
那么
所以,对一切自然数ｋ,都有
而
（2） 由（１）与A=P？
1ＢＰ,得
B=PAP?
１.
且
Bｋ＝（ＰAP？
1）ｋ= PAkP?
1,
又
24.，证明矩阵满足方程．
【证明】将A代入式子得
故A满足方程.
25. 设阶方阵的伴随矩阵为，
证明：
（1） 若||=0,则||=０;
（2） .
【证明】
（1） 若|A|=０，则必有|A*｜=0,因若｜A*|≠0，则有Ａ*（ Ａ*）？
1=Ｅ，由此又得
A=AE=AA＊（A*）?
1=｜Ａ|（ Ａ*）?
１=0,
这与|Ａ*|≠０是矛盾的，故当｜A|＝0，则必有| A*｜=0．
（2）由AA*=|A|E,两边取行列式,得
|A|| Ａ*|=|Ａ|ｎ，
若|A|≠０,则|A＊|=｜A|n？
1
若｜A｜＝０，由（１）知也有
| Ａ*|=|A|ｎ？
1.
2６. 设
.
求
（1）;
（2）；（3）;（４）｜|ｋ（为正整数）.
【解】
（１）;
（2） ;
（3） ; （４）.
2７．用矩阵分块的方法,证明
下列矩阵可逆,并求其逆矩阵.
（１）；
（2）;
（３）.
【解】
（1）对A做如下分块
其中
的逆矩阵分别为
所以A可逆，且
同理
（2）
（3）
习题三
1． 略.见教材习题参考答案.
2．略.见教材习题参考答案.
3. 略.见教材习题参考答案.
４．略.见教材习题参考答案.
5.，证明向量组线性相关．
【证明】因为
所以向量组线性相关.
６.设向量组线性无关，证明向量组也线性无关,这里
【证明】 设向量组线性相关,则存在不全为零的数使得
把代入上式，得
.
又已知线性无关，故
该方程组只有惟一零解,这与题设矛盾,故向量组线性无关.
７.略.见教材习题参考答案.
8.．证明:
如果,那么线性无关.
【证明】已知,故R（A）=n，而A是由ｎ个n维向量
组成的,所以线性无关.
9．设是互不相同的数，r≤ｎ.证明:
是线性无关的.
【证明】任取n?
r个数ｔｒ+1，…,tｎ使t1,…，tr，tr+1,…,tn互不相同,于是n阶范德蒙行列式
从而其ｎ个行向量线性无关,由此知其部分行向量也线性无关.
１０．设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明:
为的一个极大线性无关组.
【证明】若
（1）
线性相关,且不妨设
（t＆ｌｔ;r）
（2）
是（１）的一个极大无关组，则显然
（2）是的一个极大无关组,这与的秩为ｒ矛盾,故必线性无关且为的一个极大无关组.
1１． 求向量组＝（1，１，1,k）,＝（1,1,ｋ,1）,=（1，2,1,1）的秩和一个极大无关组.
【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.
当ｋ=1时,的秩为为其一极大无关组.
当ｋ≠１时，线性无关，秩为3,极大无关组为其本身.
１2.确定向量,使向量组与向量组=（0,１,1）,
＝（1,２,1）,=（１,0,?
１）的秩相同，且可由线性表出.
【解】由于
而R（A）＝2,要使R（Ａ）=R（B）=2,需a?
2=0,即a＝2,又
要使可由线性表出,需ｂ？
ａ+2=0,故a＝２,b=0时满足题设要求，即＝（2，2，0）.
13.设为一组n维向量.证明：
线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.
【证明】充分性：
设任意ｎ维向量都可由线性表示,则单位向量,当然可由它线性表示,从而这两组向量等价,且有相同的秩,所以向量组的秩为ｎ,因此线性无关．
必要性:
设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关,所以能由线性表示．
14．若向量组（１，0,0），（1，1，0）,（1,1，１）可由向量组α１,α2，α３线性表出，也可由向量组β1，β2，β3,β４线性表出，则向量组α１，α2,α3与向量组β１,β２,β３,β4等价.
证明:
由已知条件，,且向量组（1,0，0）,（1,1,0）,（1，１，1）可由向量组α１,α２,α3线性表出，即两向量组等价,且
，
又,向量组（１，０,０）,（１，１,０）,（1,１,１）可由向量组β１,β２,β3,β４线性表出,即两向量组等价，且
，
所以向量组α１，α２,α3与向量组β1,β2，β3，β4等价.
1５. 略．见教材习题参考答案.
16. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.
【解】设向量组
（1）
与向量组
（2）
的极大线性无关组分别为
（3）
和
（4）
由于
（1）可由
（2）线性表出,那么（１）也可由（４）线性表出,从而（３）可以由（4）线性表出,即
因（4）线性无关,故（３）线性无关的充分必要条件是|ａij｜≠０,可由（*）解出,即（４）可由（3）线性表出,从而它们等价,再由它们分别同
（1），
（2）等价,所以
（1）和（２）等价．
17. 设A为ｍ×n矩阵,B为s×ｎ矩阵.证明:
.
【证明】因Ａ,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成,故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示,故
同理
故有
又设Ｒ（A）=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R（B）＝k，是B的行向量组的极大线性无关组．设是中的任一行向量,则若属于Ａ的行向量组,则可由表示,若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示,故
所以有
．
１8.设A为s×n矩阵且A的行向量组线性无关,K为r×s矩阵.证明:
B＝KA行无关的充分必要条件是R（K）＝r.
【证明】设
A=（Ａs,Ps×（ｎ?
s））,
因为A为行无关的s×n矩阵,故s阶方阵Ａｓ可逆.
（）当Ｂ=ＫA行无关时,B为ｒ×n矩阵.
ｒ=Ｒ（B）=R（KＡ）≤Ｒ（K）,
又K为ｒ×s矩阵R（K）≤ｒ,∴R（K）＝ｒ.
（）当ｒ=Ｒ（Ｋ）时，即Ｋ行无关，
由Ｂ=KＡ＝Ｋ（As，Ps×（n?
ｓ））＝（KＡs,ＫPs×（ｎ？
s））
知R（B）=r,即Ｂ行无关.
１9.略.见教材习题参考答案.
２0．求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组．
（1）； （２）.
【解】（１） 矩阵的行向量组的一个极大无关组为;
（2） 矩阵的行向量组的一个极大无关组为.
21. 略．见教材习题参考答案.
22．集合V１={（）|∈R且=0｝是否构成向量空间?
为什么?
【解】由（0,0，…,0）∈V１知V１非空,设）则
因为
所以，故是向量空间.
23. 试证：
由，生成的向量空间恰为R３.
【证明】把排成矩阵A=（）,则
所以线性无关，故是R３的一个基，因而生成的向量空间恰为R３．
24．求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.
【解】因为矩阵
∴是一组基，其维数是3维的.
２５.设，证明:
．
【解】因为矩阵
由此知向量组与向量组的秩都是２，并且向量组可由向量组线性表出.由习题１5知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以
.
26.在Ｒ3中求一个向量,使它在下面两个基
下
有相同的坐标.
【解】设在两组基下的坐标均为（）,即
即
求该齐次线性方程组得通解
（ｋ为任意实数）
故
27.验证为R3的一个基,并把
用这个基线性表示.
【解】设
又设
即
记作 Ｂ=AX.
则
因有,故为R3的一个基,且
即
.
习题四
１．用消元法解下列方程组.
（1）
（2）
【解】
（1）
得
所以
（２）
①
②
③
解②?
①×２得 x2?
2ｘ３=０
③？
①得 2x3＝4
得同解方程组
④
⑤
⑥
由⑥得 x3＝2,
由⑤得 x2=2ｘ3＝4,
由④得 x1＝2?
2ｘ3?
2ｘ2 ＝?
10,
得 （x1,x2，x３）T=（?
10,4,2）T.
2.求下列齐次线性方程组的基础解系.
（1） （２）
（3） （4）
【解】（１）
得同解方程组
得基础解系为
.
（２） 系数矩阵为
∴其基础解系含有个解向量.
基础解系为
（３）
得同解方程组
取得基础解系为
（？
2,０，1,０,0）T,（?
1,？
1,0,1,0）.
（4）方程的系数矩阵为
∴基础解系所含解向量为n？
R（A）=５?
２=３个
取为自由未知量
得基础解系
3.解下列非齐次线性方程组.
（１）
（2）
（３） （４）
【解】
（1）方程组的增广矩阵为
得同解方程组
（2）方程组的增广矩阵为
得同解方程组
即
令得非齐次线性方程组的特解
ｘT=（0，1，0，0）T．
又分别取
得其导出组的基础解系为
∴方程组的解为
（3）
∴方程组无解.
（４）方程组的增广矩阵为
分别令
得其导出组的解为
令，
得非齐次线性方程组的特解为：
ｘＴ＝（?
１6,23,0,０,０）T,
∴方程组的解为
其中为任意常数.
4.某工厂有三个车间,各车间相互提供产品（或劳务）,今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示．
车间
消耗系数
车间
1
2
３
出厂产量
（万元）
总产量
（万元）
１
0.1
０．2
0.45
22
x1
2
0．２
0.2
0．３
0
x２
3
0.５
０
0．12
55.6
x3
表中第一列消耗系数０．1，0．2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二,三车间０．１万元,0.2万元,0.5万元的产品；第二列，第三列类同,求今年各车间的总产量．
解:
根据表中数据列方程组有
即
解之
5.取何值时,方程组
（1）有惟一解,（２）无解,（3）有无穷多解,并求解.
【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为
|A|=.
（1）当≠1且≠?
2时，|Ａ|≠０,R（A）＝R（B）＝3．
∴方程组有惟一解
（２）当＝?
２时,
R（Ａ）≠R（Ｂ）,∴方程组无解．
（3）当=1时
R（Ａ）=R（Ｂ）&lｔ;3，方程组有无穷解.
得同解方程组
∴ 得通解为
6.齐次方程组
当取何值时,才可能有非
零解？
并求解.
【解】方程组的系数矩阵为
|A｜=
当|Ａ|=0即=４或＝？
1时,方程组有非零解.
（i） 当＝4时,
得同解方程组
（iｉ）当＝?
1时,
得
∴ （）Ｔ=k·（?
2，?
3,1）T．k∈Ｒ
7. 当ａ,ｂ取何值时，下列线性方程组无解,有惟一解或无穷多解?
在有解时,求出其解.
（1）
（2）
【解】方程组的增广矩阵为
（１）
（ｉ） 当ｂ≠？
５2时,方程组有惟一解
（ii）当b＝?
52,a≠?
１时,方程组无解.
（ｉiｉ）当b＝?
52，ａ＝？
1时，方程组有无穷解.
得同解方程组
（*）
其导出组的解为
非齐次线性方程组（＊）的特解为
取x4=1,
∴原方程组的解为
（２）
（i）当ａ?
1≠0时,Ｒ（A）=R（）=4,方程组有惟一解.
（ii） 当a?
1=0时,b≠?
１时，方程组R（A）＝２&lｔ；Ｒ（）=3，
∴此时方程组无解.
（iiｉ）当a=1,ｂ=?
1时,方程组有无穷解.
得同解方程组
取
∴得方程组的解为
８. 设，求一秩为2的３阶方阵Ｂ使AB=0.
【解】设B=（ｂ１b2b３）,其中ｂｉ（i=1，2,３）为列向量,
由
为Ax=０的解.
求=０的解.由
得同解方程组
∴其解为
取
则
9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=ｂ的解,且R（Ａ）＝1及
求方程组Ax=b的通解．
【解】Ａx=b为三元非齐次线性方程组
R（Ａ）＝1Ａx=０的基础解系中含有3?
R（A）=3？
1=2个解向量.
由为Ａx＝b的解为Ａｘ＝０的解,
且线性无关为Ａx=0的基础解系.
又
∴方程组Ａx=ｂ的解为
10. 求出一个齐次线性方程组,使它的基础解系由下列向量组成.
（1）
（2）
【解】
（1） 设齐次线性方程组为Ax=０
由为Aｘ＝０的基础解系,可知
令 k1=x2，k2=x3
Ax=０即为ｘ１＋２ｘ２？
3ｘ３＝０.
（2）A（）=0A的行向量为方程组为的解.
即的解为
得基础解系为＝（?
５?
1 １ 10）T=（?
1?
110 １）Ｔ
A=
方程为
11.设向量组=（1,0，2,3）,=（1,1,３,5），=（1,?
1,a+２,１）,=（1，２,4，a+８）,=（１,１，b+3,5）
问:
（1） ａ，b为何值时，不能由，,,线性表出?
（2）a,b为何值时，可由,,，惟一地线性表出?
并写出该表出式．
（３）ａ，b
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