连续性：
任意两个实数之间仍有无数个实数存在，实数与数轴上的点是一一对应
这一点和有理数是有区别的：
虽然任意两个有理数之间也有无数个有理数存在但它们不连续即在这两个有理数之间还有无数个无理数存在.即有理数在数轴上只具有稠密性，而不具备连续性.
Ⅱ．实数集合对有理数集合来说在有关概念及运算性质，运算律方面具有继承性及连续性.
如：
实数的绝对值、相反数的意义与有理数的绝对值、相反数意义一致；运算性质方面有理数具有的，实数也都具有：
象幂的运算性质，加、减、乘、除、乘方的运算顺序，运算符号方面的性质，等.运算律也完全一致：
实数a，b，c满足下列运算律：
a+b=b+a（加法交换律）
（a+b）+c=a+（b+c）（加法结合律）
a·b=b·a（乘法交换律）
（a·b）·c=a·（b·c）（乘法结合律）
a·（b+c）=ab+ac（分配律）
Ⅲ．实数集合在运算及性质方面有新的扩展：
在实数集合内，不仅可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且可以进行除了负数开偶次方之外的开方运算.即运算结果总是实数.相应地因式分解，解方程等也随之加深，另外分数指数幂被定义等等.
如因式分解：
x2-2（在实数范围内）
（四）实数范围内的相反数、绝对值定义：
Ⅰ．相反数定义：
只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0.
Ⅱ．绝对值定义：
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
绝对值的几何意义：
一个实数a的绝对值是数轴上表示a的点与原点的距离.
（五）实数的运算
实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.
既然都化为有理数，那就依有理数运算法则去运算.
有的情况，结果并没有要求精确度而要求准确值，那将有新的法则作为依据，如
由近似计算理论，最后一步参与运算的数要比结果的精确度多取一位或多取一个有效数字（用四舍五入法取得）
例3．计算：
（六）实数大小的比较
法则：
正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.在数轴上，右边的数要比左边的大.
具体方法：
算术平方根法：
都化为算术平方根后比较被开方数.
平方法：
两个正数，比较平方后的结果.
倒数法：
当两个数的大小不可比较时，可以比较这两个数的倒数.
还有其它方法如：
比差法，比商法等.
例4．比较下列各数的大小：
（这是用近似数代替无理数后再比大小）
2．练习题：
A组
Ⅰ．判断题：
（1）无理数都是无限小数（）
（2）无限小数都是无理数（）
（3）带根号的数都是无理数（）
（4）无理数都是带根号的数（）
（5）任意实数都可以用数轴上的一个点来表示（）
（6）有理数和数轴上的点是一一对应的（）
（7）无理数一定是无限不循环小数（）
（8）最小的实数和最大的实数都不存在（）
Ⅱ．填空题：
（1）如果实数a>b，当a、b为正实数时，|a|_____|b|；当a、b为负实数时，|a|_____|b|.
（4）实数a、b、c在数轴上对应的位置如下：
（7）如果a、b是有理数，A是无理数，当______时，aA+b是有理数；当______时，aA+b是无理数；当_______时，aA+b的值为0.
Ⅲ．选择题：
1．下列说法中正确的是（）
（A）无理数是开方开不尽的数
（B）无限小数不能化成分数
（C）无限不循环小数是无理数
（D）一个负数的立方根是无理数
（A）m是完全平方数（B）m是负有理数
（C）m是一个完全平方数的相反数（D）m是一个负实数
3．在实数范围内，0，-7，8，（-5）2，π有平方根的有（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
（A）分数（B）偶数（C）无理数（D）有理数
5．算术平方根比原数大的数是（）
（A）正实数（B）负实数（C）大于0而小于1的数（D）不存在
6．下列各数中有理数的个数是（）
（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个
Ⅳ．计算题：
B组
答案：
A组
Ⅰ．判断题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
结果
√
×
×
×
√
×
√
√
Ⅱ．填空题：
Ⅲ．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
选项
C
C
D
C
C
D
Ⅳ．计算题：
解：
1．原式≈3.162+2.33-3.142-0.5≈1.85
2．原式≈（-4）×2.646+2×2.449-0.01≈-5.70
B组
科目：
数学年级：
初二教师：
黄五洲
2002—2003第一学期第三周
八年级数学课上学期第三周（几何部分）
教学进度
一．主要内容：
1．三角形中，边与角之间的不等关系
2．线段的垂直平分线
3．练习题及答案
二．重点内容分析与讲解
1．三角形中，边与角之间的不等关系
我们学习了等腰三角形的性质定理及判定定理，这两个定理介绍的是三角形中边与角各自之间相等关系的转化，那就是，在一个三角形中等边对等角；在一个三角形中等角对等边，我们还学习过边与边，角与角之间的不等关系，如：
三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，本次课我们将学习三角形边与角之间的不等关系.
定理：
在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.
已知：
ΔABC中，AB＞AC
求证：
∠ACB＞∠B
分析：
如何将边的不等关系转化为角的不等关系呢？
我们应利用边与角之间的相等关系，也就是相等与不等之间是可以互相转化的.
证明：
在AB上截取AD，使AD=AC，连结CD，则∠ADC=∠ACD
∵∠ACB＞∠ACD∴∠ACB＞∠ADC
而∠ADC＞∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠ACB＞∠B（不等式的传递性）
逆定理：
在一个三角形中，如果两个角不等那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.
已知：
ΔABC中，∠ACB＞∠B
求证：
AB＞AC
证明：
在∠ACB内部作∠BCD＝∠B
CD交AB于D.则BD=DC
在ΔADC中∵AD+DC＞AC（三角形两边和大于第三边）
∴AD+DB＞AC即AB＞AC
例题一：
已知：
图中，PA⊥BC于A，AB＞AC
求证：
PB＞PC
分析：
如果想通过∠C＞∠B来证得PB＞PC，
在本题是不行的，因为没有和已知联系上
因此，要构造新的三角形来利用角的不等去证明边的不等.
证明：
在AB上截取AC’=AC，连结PC’.则由已知PA⊥BC
可知：
ΔPAC’≌ΔPAC∴PC’=PC，∠1=∠C
∵∠2＞∠C∴∠2＞∠1
∵∠1＞∠B∴∠2＞∠B
∴PB＞PC’（在一个三角形中，大角对大边）
∴PB＞PC’
例题二：
已知：
在ΔABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC
求证：
BD＞DC
分析：
BD，CD不在同一个三角形中，因此证明它们之间的不等，要确定如下策略：
通过图形变换让BD，CD组合在同一个三角形中因为已知中有角平分线这个条件，所以我们利用翻折变换.
证明：
在AB上截取AC’=AC连结C’D.则ΔAC’D≌ΔACD.延长AC
∴C’D=CD，∠1=∠2
∵∠1+∠4=180，∠2+∠3=180（平角定义）
∴∠3=∠4
∵∠3＞∠B（三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠4＞∠B
∴BD＞C’D（在一个三角形中大角对大边）
∴BD＞DC
练习1
①ΔABC中，若BC＞AB＞AC，那么∠A，∠B，∠C，有怎样的大小关系？
答：
∠A＞∠C＞∠B
②如果一个三角形中，最大边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形吗？
答：
是.
③直角三角形中哪一条边最长？
为什么？
答：
斜边最长.因为在直角三角形中，直角是最大角，因此它所对的边即斜边最长.
2.线段的垂直平分线
我们已经学过线段垂直平分线的定义就是：
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线或中垂线.现在我们学习它的性质.
定理：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
已知：
直线MN⊥AB于C，AC=BC，点P在MN上
求证：
PA=PB
证明；∵MN⊥AB
∴∠PCA＝∠PCB=90
∵AC=BC，又PC=PC∴ΔPCA≌ΔPCB（SAS）
∴PA=PB
逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点
在这条线段的垂直平分线上
已知：
如图，PA=PB
求证：
点P在AB的垂直平分线上
证明：
过点P作直线MN⊥AB于C
∵PA=PBPC⊥AB
∴AC=BC（等腰三角形底边上的高与底边中线重合）
∴MN是AB的垂直平分线
即点P在AB的垂直平分线上
用集合概念来叙述线段垂直平分线：
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.
解释：
这个概括说明了线段垂直平分线上的点都具备“和线段两端距离相等”这一性质（点的纯粹性），又说明了具备“和线段两端点距离相等”这个性质的点都在这条线
段的垂直平分线上（点的完备性）关于这个特征，和角的平分线的性质是类似的，我们可以对比记忆.
例题三：
已知：
ΔABC中，过AB，BC的垂直平分线相交于点P
求证：
PA=PB=PC
证明：
∵点P在AB的垂直平分线上（已知）
∴PA=PB
（线段垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等）
同理：
PB=PC∴PA=PB=PC
例题四：
已知：
如图，MA=MB，NA=NB
求证：
MN所在直线是AB的垂直平分线
证明：
∵NA=NB（已知）∴N在AB的垂直平分线上
同理M也在AB的垂直平分线上
但因为两点确定一条直线，
∴MN所在直线就是AB的垂直平分线
说明：
例题四告诉我们判断一条线段垂直平分线的一个新的方法就是：
有两个点和
同一条线段的两个端点的距离分别相等，那么过这两点的直线就是这条线段的垂直平分线.
练习2
①已知：
MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上两点
求证：
〈ⅰ〉ΔABC，ΔABD是等腰三角形
〈ⅱ〉∠CAD=∠CBD（分两种情况证明）
证明：
〈ⅰ〉∵C在AB的垂直平分线上（已知）
∴CA=CB
（线段垂
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