线性代数习题及标准答案复旦版.docx

1、线性代数习题及标准答案复旦版线性代数习题及答案（复旦版） 线性代数习题及答案习题一. 求下列各排列的逆序数. () 472659; (2)976531; () n(n？1)31； (4)3(2n?1)(2n)(?2）2.【解】 （1) (34178269)=11; (） (7653)36; （) (n(n？1)21)= +（n?1)=; (4)(13(n？1)(2n）(2n?2）2)=0+1+(?1)+(n？1)+（n?)+0=n（n?).2.略.见教材习题参考答案3. 略见教材习题参考答案4. 本行列式的展开式中包含和的项. 解： 设 ，其中分别为不同列中对应元素的行下标,则展开式中含项有

2、展开式中含项有.5. 用定义计算下列各行列式. （1); （).【解】(1)D=(?)(234)4!=24; (） D=1.6计算下列各行列式 (）； () ； （3); (4）【解】(）；(2）； . 证明下列各式. (1); (2) ; （) (4） ; ()【证明】(1) () ()首先考虑4阶范德蒙行列式:从上面的4阶范德蒙行列式知,多项式f(x）的的系数为但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等,故(4)对D2按第一行展开,得据此递推下去，可得 (5) 对行列式的阶数n用数学归纳法. 当n=2时,可直接验算结论成立,假定对这样的?1阶行列式结论成立,进而证明阶数为n时

3、结论也成立. 按D的最后一列,把拆成两个阶行列式相加:但由归纳假设从而有 .计算下列n阶行列式. () (2) ； （)(4）其中 ； （).【解】(1) 各行都加到第一行,再从第一行提出x(n？1），得将第一行乘（？1)后分别加到其余各行，得(2) 按第二行展开(3) 行列式按第一列展开后，得（4）由题意,知 .() .即有 由 得. 计算阶行列式. 【解】各列都加到第一列,再从第一列提出,得将第一行乘（?1）后加到其余各行,得10.计算阶行列式(其中).【解】行列式的各列提取因子，然后应用范德蒙行列式1已知阶行列式；试求与,其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.【解】同理12.用克莱

4、姆法则解方程组. (1) （2)【解】方程组的系数行列式为故原方程组有惟一解,为 13.和为何值时，齐次方程组 有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式 即故或时，方程组有非零解4问:齐次线性方程组 有非零解时，a,b必须满足什么条件?【解】该齐次线性方程组有非零解 ,需满足即(+1）2=4.5 求三次多项式,使得 【解】根据题意,得这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于故得于是所求的多项式为16.求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为x+byc0 (a,b不同时为0)按题设有则以a,b，c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条

5、件为上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.习题 二1计算下列矩阵的乘积. (1)； (2） ; （3） ; (4) ; (5) ； (） 【解】（1) (); (3) (10）;()(5）; （6) 2. 设,求();(）;（3) 吗?【解】() (2） (3) 由于ABA，故（A+）(?)A?.3. 举例说明下列命题是错误的.（1） 若,则; （) 若, 则或;(3） 若，, 则.【解】（)以三阶矩阵为例,取，但A()令,则A2A,但0且A() 令则XAY,但Y4. 设， 求A，3,.【解】5 , 求并证明:.【解】今归纳假设那么所以，对于一切自然数k,都有. 已知,其中求及.【解】因为

6、|P= ?0,故由APB,得而 7设,求|. 解：由已知条件，的伴随矩阵为又因为,所以有,且,即 于是有 .8. 已知线性变换 利用矩阵乘法求从到的线性变换【解】已知从而由到的线性变换为9. 设，为阶方阵,且为对称阵，证明：也是对称阵.【证明】因为n阶方阵A为对称阵,即A,所以 （AB)BBAB,故也为对称阵.10. 设A，B为n阶对称方阵,证明:B为对称阵的充分必要条件是ABBA.【证明】已知A=A，B=B，若AB是对称阵,即(AB)=AB.则 B（AB）AA,反之，因AB=BA,则(B)AA=,所以，AB为对称阵.11. A为n阶对称矩阵，为n阶反对称矩阵,证明:(1）2是对称矩阵(2)

7、AB?BA是对称矩阵,A+B是反对称矩阵.【证明】因A=A,B= ?,故（2)BB= ?B（?)=B2;（AB?BA）=（B）?(BA）=B?AB = ?B?A(？B)=?B;（AB+BA)=(B)+()=BAB ？A+A(?B) ？（AB+A）.所以是对称矩阵,A?是对称矩阵，+A是反对称矩阵.1. 求与A=可交换的全体二阶矩阵.【解】设与可交换的方阵为,则由=,得 由对应元素相等得c0，da，即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中,b为任意数13. 求与A=可交换的全体三阶矩阵.【解】由于E，而且由可得由此又可得所 以即与可交换的一切方阵为其中为任意数.14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1)

8、 ; (2) ;（3)； (4) ;() ; () ，未写出的元素都是0(以下均同，不另注)【解】(1); (2） ；(); (4）;（5） ； (6）.15. 利用逆矩阵,解线性方程组【解】因,而故1. 证明下列命题：（) 若A,B是同阶可逆矩阵,则(A)=*A*.(2)若A可逆,则A可逆且(*)?1=(A？)*（3) 若AA=，则（A*)=()?1.【证明】(1) 因对任意方阵c，均有*c=c*=|,而A,均可逆且同阶,故可得 |B|B*|B|E(A) （AB)AB(B*)=(B） *（B)A* （AB) *|EA|A|B|(B) * A|0，|0， (AB) *A*.() 由于=A|E,

9、故A*=|A|?1,从而(A？) *=|A?1|(A？)？1=|A|?1A于是 (?1） *=A|A？|A|？A=E，所以(?）=(A*)?1.（3）因AA=,故A可逆且?1.由(2)（A*)?(A?1)，得(*)?1=（A） *(A*）.7.已知线性变换求从变量到变量的线性变换.【解】已知且|0,故A可逆,因而所以从变量到变量的线性变换为18解下列矩阵方程 （）;（); (3); () .【解】(1)令=;B由于故原方程的惟一解为同理(2) =; (3) =; (4） X=19.若 (为正整数)，证明: .【证明】作乘法从而E?A可逆,且2.设方阵满足A2A2EO,证明及A+2E都可逆,并求

10、A?1及(A+2E)?.【证】因为A2?A?2E=0,故由此可知，A可逆，且同样地由此知，+2可逆,且.设,，求.【解】由AA+2B得(?2E)=A.而即?2可逆,故22 设.其中,， 求.【解】因可逆,且故由得23设次多项式,记,称为方阵的次多项式 (1），证明 ,;(） 设,证明,【证明】(1)即k=和k=时,结论成立.今假设那么所以,对一切自然数,都有而(2） 由(）与A=P ？1,得B=PAP ?.且B（ AP ？1)=PAkP ?1,又24. ，证明矩阵满足方程【证明】将A代入式子得故A满足方程.25.设阶方阵的伴随矩阵为， 证明：（1)若|=0,则|=; (2).【证明】（1）若|

11、A|=，则必有|A*=0,因若 A*|0，则有*(*)？1=，由此又得A=AE=AA（ A*)?1=|(*）?=0, 这与| *|是矛盾的，故当A| 0，则必有|A*=0(2) 由A A*=|A|E,两边取行列式,得|A|*|=|，若|A|,则| A|=A|n？1若A，由()知也有|*|=|A|？1.2.设 .求(1） ; (2)； (3） ;（）| （为正整数).【解】(); (2);(3); (）.2 用矩阵分块的方法,证明 下列矩阵可逆,并求其逆矩阵. (）； （2); （).【解】（1) 对A做如下分块 其中的逆矩阵分别为所以A可逆，且同理(2）(3)习题 三1 略.见教材习题参考答案

12、.2 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案. 略.见教材习题参考答案.5.，证明向量组线性相关【证明】因为所以向量组线性相关. . 设向量组线性无关，证明向量组也线性无关,这里【证明】设向量组线性相关,则存在不全为零的数使得把代入上式，得.又已知线性无关，故该方程组只有惟一零解,这与题设矛盾,故向量组线性无关. 略.见教材习题参考答案.8. 证明:如果,那么线性无关. 【证明】已知,故R(A)=n，而A是由个n维向量组成的,所以线性无关.9 设是互不相同的数，r.证明:是线性无关的.【证明】任取n?r个数+1，,t使t1,，tr，tr+1,tn互不相同,于是n阶范德蒙行列式 从

13、而其个行向量线性无关,由此知其部分行向量也线性无关. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明:为的一个极大线性无关组.【证明】若 (1）线性相关,且不妨设(t;r) （2)是(）的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组,这与的秩为矛盾,故必线性无关且为的一个极大无关组.1求向量组(1，1,k),(1,1,1),=(1，2,1,1）的秩和一个极大无关组.【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.当=1时,的秩为为其一极大无关组. 当时，线性无关，秩为3,极大无关组为其本身.2. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1),(1,1),=(,0,?)的秩相同，且可由线性表出.【解】由于

14、而R(A)2,要使R()=R（B)=2,需a?2=0,即a2,又要使可由线性表出,需？+2=0,故a,b=0时满足题设要求，即(2，2，0).13. 设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性： 设任意维向量都可由线性表示,则单位向量,当然可由它线性表示,从而这两组向量等价,且有相同的秩,所以向量组的秩为,因此线性无关必要性:设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关,所以能由线性表示14 若向量组(，0,0)，（1，1，0),（1,1，)可由向量组,2，线性表出，也可由向量组1，2，3,线性表出，则向量组，2,3与向量组,4等价. 证明:由已知条

15、件，,且向量组(1,0，0),（1,1,0),(1，1)可由向量组,3线性表出，即两向量组等价,且 ，又,向量组（，,）,（，,）,(1,)可由向量组,3,线性表出,即两向量组等价，且，所以向量组，,3与向量组1,2，3，4等价. 1. 略见教材习题参考答案.16.设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价. 【解】设向量组（1)与向量组(2)的极大线性无关组分别为（3)和(4)由于（1)可由（2)线性表出,那么()也可由()线性表出,从而()可以由(4)线性表出,即因(4）线性无关,故（）线性无关的充分必要条件是|ij,可由(*)解出,即(）可由（3）线性表出,从而它们等价,再由它们分别同（

16、1)，(2)等价,所以(1）和()等价17.设A为n矩阵,B为s矩阵.证明:.【证明】因,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成,故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示,故同理故有又设（A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R（B）k， 是B的行向量组的极大线性无关组设是中的任一行向量,则若属于的行向量组,则可由表示,若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示,故所以有8. 设A为sn矩阵且A的行向量组线性无关,K为rs矩阵.证明:BKA行无关的充分必要条件是R(K)r.【证明】设A=(s,Ps(?s),因为A为行无关的sn

17、矩阵,故s阶方阵可逆.（)当=A行无关时,B为n矩阵.=(B)=R（K）(K), 又K为s矩阵R(K), R（K).()当=(）时，即行无关， 由=K(As，Ps（n?)(Ks,Ps(？s）)知R(B）=r,即行无关.9. 略.见教材习题参考答案.0 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组 （1)； ().【解】()矩阵的行向量组的一个极大无关组为;(2）矩阵的行向量组的一个极大无关组为.21.略见教材习题参考答案.22 集合V=()|R且=0是否构成向量空间?为什么?【解】由(0,0，,0)V知V非空,设)则因为所以，故是向量空间.23.试证：由，生成的向量空间恰为R.【证明】把排成矩阵A

18、=（),则,所以线性无关，故是R的一个基，因而生成的向量空间恰为R24 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵是一组基，其维数是3维的. 设，证明:【解】因为矩阵由此知向量组与向量组的秩都是，并且向量组可由向量组线性表出.由习题5知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以.26. 在3中求一个向量,使它在下面两个基下 有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为(),即即求该齐次线性方程组得通解(为任意实数)故27. 验证为R3的一个基,并把用这个基线性表示.【解】设又设,即记作 =AX.则因有,故为R3的一个基,且即.习题四 用消元法解下列方程组.(1) (2) 【解】（1)

19、得所以() 解?得 x2?2=？ 得 2x34得同解方程组由得 x32,由得 x2=234,由得 x12?23 ?22 ?10,得 （x1,x2，x）T=（?10,4,2)T.2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1） () (3） (4) 【解】() 得同解方程组得基础解系为.(）系数矩阵为 其基础解系含有个解向量.基础解系为()得同解方程组取得基础解系为（？2,，1,0)T,（?1,？1,0,1,0).(4) 方程的系数矩阵为 基础解系所含解向量为n？R(A)=?=个取为自由未知量 得基础解系 3. 解下列非齐次线性方程组. （) (2) () (）【解】(1) 方程组的增广矩阵为得同解

20、方程组(2） 方程组的增广矩阵为得同解方程组即令得非齐次线性方程组的特解T=（0，1，0，0）T又分别取得其导出组的基础解系为 方程组的解为（3) 方程组无解.（) 方程组的增广矩阵为分别令得其导出组的解为令，得非齐次线性方程组的特解为：(?6,23,0,)T, 方程组的解为其中为任意常数.4. 某工厂有三个车间,各车间相互提供产品（或劳务),今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示 车间 消耗系数车间12出厂产量（万元)总产量（万元)0.120.4522x1200.200x30.01255.6x3 表中第一列消耗系数1，02,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二,三车间

21、万元,0.2万元,0.5万元的产品；第二列，第三列类同,求今年各车间的总产量 解:根据表中数据列方程组有 即 解之 5. 取何值时,方程组（1)有惟一解,()无解,(3)有无穷多解,并求解.【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为|A|=.（1) 当1且?2时，|,R(A）R(B）3 方程组有惟一解() 当?时,R(）R(), 方程组无解（3） 当=1时R()=R（）&l;3，方程组有无穷解.得同解方程组得通解为6. 齐次方程组当取何值时,才可能有非 零解？并求解.【解】方程组的系数矩阵为|A=当|=0即=或？1时,方程组有非零解.(i) 当4时,得同解方程组（i) 当?1时,得（)=k(?2，?3

22、,1）Tk7.当,取何值时，下列线性方程组无解,有惟一解或无穷多解?在有解时,求出其解. (1） （2) 【解】方程组的增广矩阵为() ()当？2时,方程组有惟一解（ii） 当b?52,a?时,方程组无解.(i） 当b?52，？1时，方程组有无穷解.得同解方程组（*）其导出组的解为非齐次线性方程组（）的特解为取x4=1, 原方程组的解为() （i） 当?10时,(A）=R（)=4,方程组有惟一解.(ii)当a?1=0时,b?时，方程组R(A）&l；()=3， 此时方程组无解.（ii) 当a=1,= ?1时,方程组有无穷解.得同解方程组取 得方程组的解为.设，求一秩为2的阶方阵使AB=0.【解】

23、设B=( b2 b）,其中（i=1，2,)为列向量,由为Ax=的解.求=的解.由得同解方程组 其解为取则9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=的解,且R()1及求方程组Ax=b的通解【解】x=b为三元非齐次线性方程组 R()1x=的基础解系中含有3?R（A）=3？1=2个解向量.由为xb的解为的解,且线性无关为x=0的基础解系.又 方程组x=的解为10.求出一个齐次线性方程组,使它的基础解系由下列向量组成. (1） (2) 【解】（1)设齐次线性方程组为Ax=由为A的基础解系,可知令 k1=x2 ， k2=x3 Ax=即为？3.（2) A()=0A的行向量为方程组为的解.即的解为得基础解系为(? ?11 0)T =(?1 ?1 1 0）A=方程为11. 设向量组=（1,0，2,3）,=(1,1,5)，=（1,?1,a+,),=(1，,4，a+),=(,，b+3,5） 问:（1)，b为何值时，不能由，,线性表出? （2) a,b为何值时，可由,， 惟一地线性表出?并写出该表出式(） ，b