激光原理第二章答案.docx
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激光原理第二章答案
第二章开放式光腔与高斯光束
1.证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为
。
证明：
设入射光线坐标参数为
，出射光线坐标参数为
，根据几何关系可知
傍轴光线
则
，写成矩阵形式
得证
2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为
。
证明：
设入射光线坐标参数为
，出射光线坐标参数为
，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得
化简后
得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：
设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：
其往返矩阵为：
由于是共焦腔，则有
将上式代入计算得往返矩阵
可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：
共轴球面腔稳定性条件
其中
对平凹共轴球面镜腔有
则
，再根据稳定性条件
可得
。
对双凹共轴球面腔有，
则
根据稳定性条件
可得
。
对凹凸共轴球面镜腔有，
则
根据稳定性条件
可得
。
5.激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。
解：
设两腔镜
和
的曲率半径分别为
和
，
工作物质长
，折射率
当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为
工作物质左右两边剩余的腔长分别为
和
，则
。
设此时的等效腔长为
，则光在腔先经历自由传播横向距离
，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离
，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离
，则
所以等效腔长等于
再利用稳定性条件
由
（1）解出
则
所以得到：
6.图2.3所示三镜环形腔，已知
，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。
图示环形腔为非共轴球面镜腔。
在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式（2.2.7）中的
，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，
，
为光轴与球面镜法线的夹角。
图2.1
解：
稳定条件
左边有
所以有
对子午线：
对弧矢线：
对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得
子午光线
弧矢光线
任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得
7.有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，方形孔边长
，
，镜的反射率为
，其他的损耗以每程0.003估计。
此激光器能否作单模运转？
如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择
模，小孔的边长应为多大？
试根据图2.5.5作一个大略的估计。
氦氖增益由公式
估算（
为放电管长度，假设
）
解：
模为第一高阶横模，并且假定
和
模的小信号增益系数相同，用
表示。
要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式
根据已知条件求出腔的菲涅耳数
由图2.5.5可查得
和
模的单程衍射损耗为
氦氖增益由公式
计算。
代入已知条件有
。
将
、
、
、
和
的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。
为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。
若满足II式的条件，则要求
根据图2.5.5可以查出对应于
的腔菲涅耳数
由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长
同理利满足I式的条件可得
因此，只要选择小孔阑的边长满足
即可实现
模单模振荡。
8．试求出方形镜共焦腔面上
模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
解：
在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的
模的场分布可以写成
令
，则I式可以写成
式中
为厄米多项式，其值为
由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令
，得
考虑到
，于是可以得到镜面上的节点位置
所以，
模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和
处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为
；而沿y方向没有节线分布。
9.求圆形镜共焦腔
和
模在镜面上光斑的节线位置。
解：
在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式
对于
，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则无意义
对于
：
并且
，代入上式，得到
，
取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取
，就能求出镜面上节线的位置。
即
同理，对于
，
，代入上式并使光波场为零，得到
显然，只要
即满足上式
镜面上节线圆的半径分别为：
10.今有一球面腔，
，
，
。
试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。
解：
该球面腔的g参数为
由此，
，满足谐振腔的稳定性条件
，因此，该腔为稳定腔。
由稳定腔与共焦腔等价条件
和
可得两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为
根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。
16．某高斯光束腰斑大小为
=1.14mm，
。
求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径
及波前曲率半径R。
解：
入射高斯光束的共焦参数
根据
z
30cm
10m
1000m
1.45mm
2.97cm
2.96m
0.79m
10.0m
1000m
求得：
17．若已知某高斯光束之
=0.3mm，
。
求束腰处的
参数值，与束腰相距30cm处的
参数值，以及在与束腰相距无限远处的
值。
解：
入射高斯光束的共焦参数
根据
，可得
束腰处的q参数为：
与束腰相距30cm处的q参数为：
与束腰相距无穷远处的q参数为：
21．某高斯光束
=1.2mm，
。
今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。
解：
入射高斯光束的共焦参数
设入射高斯光束的
参数为
，像高斯光束的
参数为
，根据ABCD法则可知
其中
；
。
利用以上关系可得
10m
1m
10cm
0
2.00cm
2.08cm
2.01cm
2.00cm
2.40
22.5
55.3
56.2
从上面的结果可以看出，由于f远大于F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。
22．
激光器输出光
，
=3mm，用一F=2cm的凸透镜距角，求欲得到
及
时透镜应放在什么位置。
解：
入射高斯光束的共焦参数
设入射高斯光束的
参数为
，像高斯光束的
参数为
，根据ABCD法则可知
其中
；
。
利用以上关系可得
时，
，即将透镜放在距束腰1.39m处；
时，
，即将透镜放在距束腰23.87m处。
23．如图2.6光学系统，如射光
，求
及
。
图2.2
解：
先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置
由于
，所以
=2cm
所以对第二个透镜，有
已知
，根据
其中
；
。
得
，
24．某高斯光束
=1.2mm，
。
今用一望远镜将其准直。
主镜用镀金反射镜R=1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜，
=2.5cm，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距
=1m，如图2.7所示。
求该望远系统对高斯光束的准直倍率。
图2.3
解：
入射高斯光束的共焦参数为
由于
远远的小于
，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为
这样可以得到在主镜上面的光斑半径为
即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。
这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为
25．激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为
的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数f的实验原理及步骤。
解：
一、实验原理
通过放在离光腰的距离为z的小孔（半径为a）的基模光功率为
（I）
式中，
为总的光功率，
为通过小孔的光功率。
记
，则有
（II）
注意到对基模高斯光束有
在（II）式的两端同时乘以
，则有
令
（III）
则
解此关于f的二次方程，得
因为
、
、
、
都可以通过实验测得，所以由（III）及（IV）式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f。
二、实验步骤
1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑（其孔半径为a），用卷尺测量出B到光腰O（此题中即为谐振腔的中心）的距离z；
2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率
；
3．移走光阑，量出高斯光束的总功率
；
4．将所得到的数据代入（III）及（IV）式即可求出f（根据实际情况决定（IV）式根号前正负号的取舍）。
28.试用自变换公式的定义式
（2.12.2），利用q参数来推导出自变换条件式
证明：
设高斯光束腰斑的q参数为
，腰斑到透镜的距离为
，透镜前表面和后表面的q参数分别为
、
，经过透镜后的焦斑处q参数用
表示，焦斑到透镜的距离是
=
，透镜的焦距为F。
根据q参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q参数，分别是：
透镜前表面：
透镜后表面：
焦斑的位置：
把经过变换的
代入到焦斑位置的q参数公式，并根据自再现的条件，得到：
可得
31.试计算
，
，
，
的虚共焦腔的
和
.若想保持
不变并从凹面镜
端单端输出，应如何选择
？
反之，若想保持
不变并从凸面镜
输出，
如何选择？
在这两种单端输出条件下，
和
各为多大？
题中
为镜
的横截面半径，
为其曲率半径。
解：
（1）镜
的单程放大率为
镜
的单程放大率为
所以
（2）要从镜
单端输出，则要求镜
反射的光全部被镜
反射，由于镜
反射的光为平行光，所以要求
（3）要从镜
单端输出，则要求镜
反射的光全部被镜
反射，所以要求
（4）
和
不变
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