届湖南省株洲市高三教学质量统一检测一理科数学试题及答案 精品.docx
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届湖南省株洲市高三教学质量统一检测一理科数学试题及答案精品
绝密★启用前
株洲市2017届高三年级教学质量统一检测
（一）
数学试题（理工医农类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上）
1．设
为虚数单位，若复数
的实部为1，则实数
等于（）
A.-5B.5C.-1D.2
2.下列有关命题正确的是（）
A．“x=-1”是“
-5x-6=0的必要不充分条件”
B．命题“
使得
+x+1
”的否定是：
“
均有
+x+1
”
C．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D．已知p：
>0，则
：
≤0
3.阅读右面的程序框图，则输出的
的值为（）
A．4B．5
C．6D．7
4．设函数
为定义在R上的奇函数，当
时，
（
为常数），则
（）
A．1B．3C．
D．
5.已知点P（3,3），Q（3,-3），O为坐标原点，动点M（x,y）满足
，则点M所构成的平面区域的面积是（）
A.12B.16 C.32D.64
6.在同一坐标系中，离心率为
的椭圆与离心率为
的双曲线有相同的焦点
，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点
的连线互相垂直，则
（）
（A）2（B）3（C）
（D）
7．已知函数
，若
且
在区间
上有最小值，无最大值。
则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
8.若实数
、
、
、
满足
。
则
的最小值为（）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．）.
9.过点
且垂直于直线
的直线方程为
10．已知M是△ABC内的一点，且
·
＝2
，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为
，x，y，则
＋
的最小值是
11．一几何体的三视图如下图所示，则它的体积为
12．由曲线
，直线
及y轴所围成的图形的面积为
13．若关于
的方程
有四个不同的实数根，则
的取值范围是
14．已知函数
图像的对称中心为
，记函数
的导函数为
，
的导函数为
，则有
．若函数
，则
15．对于实数
，将满足“
且
为整数”的实数
称为实数
的小数部分，用符号
表示.已知无穷数列
满足如下条件:
[来源:
Zxxk.Com]
①
;②
.
（Ⅰ）若
时,数列
通项公式为
（Ⅱ）当
时,对任意
都有
则
的值为.
三．解答题：
本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
，已知函数
R）．
（1）求函数
的最小正周期和最大值；
（2）若函数
在
处取得最大值，求
的值．
17.（本小题满分12分）
如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）
的侧面
与底面ABC垂直，
，
.
（1）设AC的中点为D，证明
底面
；
（2）求侧面
与底面ABC所成二面角的余弦值；
18.（本小题满分12分）
已知数列
前n项和为
成等差数列.
（I）求数列
的通项公式；
（II）数列满足
，求证：
19.（本小题满分13分）
设某企业在两个相互独立的市场上出售同一种商品，两个市场的需求函数分别是
其中
和
分别表示该产品在两个市场上的价格（单位：
万元/吨），
和
分别表示该产品在两个市场上的销售量（即需求量，单位：
吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是
，其中
表示该产品在两个市场的销售总量，即
（1）试用
和
表示总利润，确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
（2）在两地价格差别满足
的条件下，推算该企业可能获得的最大利润（取一位小数）
20．（本小题满分13分）
已知椭圆
的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过点P（4，0）且不垂直于y轴的动直线
与椭圆M相交于A、B两点，过点A、O的直线与椭圆交于另一点C，
（1）若
，求AC的直线的方程；
（2）求
面积的最大值。
21.（本小题满分13分）
设函数
.
（1）求函数
的单调区间
（2）若函数
有两个零点
，
，且
，求证：
株洲市2017届高三年级教学质量统一检测
（一）
数学（理科）答案
命题人：
王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟民（九方中学）
审题人：
王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟民（九方中学）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
B
C
A
C
C
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
9、
;10、18;11、
；12、
;
13、
；14、-8050；15、
（1）
；
（2）
或
三．解答题：
本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、解：
（1）依题意，
所以函数
的最小正周期是
有最大值
．.................6分
（2）由（
）知：
由
，得
，所以
．
..12分
17、
（1）证明：
∵
，
，∴
∴三角形
是等腰直角三角形，
又D是斜边AC的中点，∴
∵平面
⊥平面
，∴A1D⊥底面
……6分
（2）∵
，∴
∴三角形
是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，
则
，
∴
……8分
以D为原点，
所在的直线为
轴，DC所在的直线为
轴，平行于BE的直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则
设平面
的法向量为
，
则
，即
化简得
令
，得
，所以
是平面
的一个法向量.
由（I）得A1D⊥面ABC，所以设平面ABC的一个法向量为
设向量
和
所成角为
，则
即侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的余弦值为
.……12分
18、
（1）
成等差数列,∴
…………1分
…………2分
当
两式相减得：
…………4分
所以数列
是首项为
，公比为2的等比数列，
…………6分
（2）
…………8分
=
…………12分
19、解
（1）设总利润为M
那么利润函数M=Q1P1+Q2P2-C=Q1P1+Q2P2-[2（Q1+Q2）+5]
=-2Q12-Q22+16Q1+10Q2-5...................................4分
将利润函数变形为M=-2（Q1-4）2-（Q2-5）2+52...................................5分
当Q1=4，Q2=5时即错误！
链接无效。
=10（万元），错误！
链接无效。
=7错误！
链接无效。
错误！
链接无效。
52错误！
链接无效。
................6分
（2）由错误！
链接无效。
令
，错误！
链接无效。
，得错误！
链接无效。
由实际意义知错误！
链接无效。
、错误！
链接无效。
、错误！
链接无效。
错误！
链接无效。
错误！
链接无效。
都为正数得错误！
链接无效。
又
得错误！
链接无效。
即
化简得：
错误！
链接无效。
..................................8分
圆错误！
链接无效。
的圆心（0,0）到
的距离d=错误！
链接无效。
所以错误！
链接无效。
，即错误！
链接无效。
实际上错误！
链接无效。
取一位小数错误！
链接无效。
49.9（万元）..................................13分
（利用直线与椭圆相切同样可得分）
20、解：
（1）设C（x,y）,则
①..............3分
又C点在椭圆上，有：
②
联立①②解得
所以AC的直线的方程为
..................6分
（2）设直线的方程为：
，
，
联立直线与椭圆方程得：
................8分
弦长
，
又点O到直线
的距离为
所以
=
.............13分
21、
（1）
……2分
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
…………………………4分
当
时，由
，得
；由
，得
所以函数的单调增区间为
，单调减区间为
……………
……6分
（2）因为
是函数
的两个零点，有
则
，
两式相减得
即
所以
……………………………8分
又因为
，当
时，
；当
时，
故只要证
即可，即证明
…………………10分
即证明
，
即证明
，……………………………………12分
设
.令
，
则
，因为
，所以
，当且仅当
时，
所以
在
是增函数；又因为
，所以当
时，
总成立.
所以原题得证.……………………………………13分
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