中考数学常考易错点 41 角相交线与平行线.docx
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中考数学常考易错点41角相交线与平行线
2019-2020年中考数学常考易错点4.1角、相交线与平行线
易错清单
1.平行线的性质.
【例1】 （2014·湖北襄阳）如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1等于（ ）.
A.35°B.45°
C.55°D.65°
【解析】 利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°,然后利用平行线的性质得到∠1=∠A=35°.
【答案】 ∵ BC⊥AE,
∴ ∠ACB=90°.
∴ ∠A+∠B=90°.
又∵ ∠B=55°,
∴ ∠A=35°.
又 CD∥AB,
∴ ∠1=∠A=35°.
【误区纠错】 本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质.此题也可以利用垂直的定义、邻补角的性质以及平行线的性质来求∠1的度数.
【例2】 （2014·广东梅州）如图,把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是（ ）.
A.15°B.20°
C.25°D.30°
【解析】 根据两直线平行,内错角相等求出∠3,再求解即可.
【答案】 ∵ 直尺的两边平行,∠1=20°,
∴ ∠3=∠1=20°.
∴ ∠2=45°-20°=25°.
【误区纠错】 误认为∠1与∠2是内错角来解题.
【例3】 （2014·湖北孝感）如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数（ ）.
A.46°B.44°
C.36°D.22°
【解析】 根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1,再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
【答案】 ∵ l1∥l2,
∴ ∠3=∠1=44°.
∵ l3⊥l4,
∴ ∠2=90°-∠3=90°-44°=46°.
故选A.
【误区纠错】 本题考查了平行线的性质,垂线的定义,要熟记性质并准确识图.例外识别∠3与∠1是同位角很重要.
2.平行线的判定.
【例4】 （2014·湖南湘潭）如图,直线a,b被直线c所截,若满足 ,则a,b平行.
【解析】 根据同位角相等两直线平行可得∠1=∠2时,a∥b.其他合理答案亦可.
【答案】 ∵ ∠1=∠2,
∴ a∥b（同位角相等两直线平行）.
故可填∠1=∠2.
【误区纠错】 分不清三线八角,以及平行线的判定方法是解题的误区,本题属条件开放性题.
名师点拨
1.能记住点、线、面的概念.
2.能利用角的概念判断角的大小及角的表示方法;会进行角的换算;能正确区分角的大小;会进行角的和、差运算.
3.能区分补角、余角的概念,记住补角、余角的性质.
4.掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理并能正确使用.
5.会画直线的垂线;能区分垂线、垂线段的联系与区别.
6.掌握平行的概念,会进行平行线的判断.
7.能利用直尺画直线的平行线;会作两平行线间的距离;能确定并准确度量两平行线间的距离.
提分策略
1.直线平行与垂直的判定及简单应用.
计算角度问题时,要注意挖掘图形中的隐含条件（三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直）及角平分线知识的应用.
【例1】 如图,△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC.若∠1=155°,则∠B的度数为 .
【解析】 由∠1=155°,可求得∠BCD=∠CDE=25°,最后求∠B=65°.
【答案】 65°
2.平行线的性质和判定的应用.
主要理解和掌握:
（1）平行线的性质;
（2）平行线的判定.
【例2】 如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB,∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明.
【解析】 ①∠APC=∠PAB+∠PCD;
②∠APC=360°-（∠PAB+∠PCD）;
③∠APC=∠PAB-∠PCD;
④∠APC=∠PCD-∠PAB.
如证明①∠APC=∠PAB+∠PCD.
证明:
过点P作PE∥AB,所以∠A=∠APE.
又因为AB∥CD,所以PE∥CD.
所以∠C=∠CPE.
所以∠A+∠C=∠APE+∠CPE.
所以∠APC=∠PAB+∠PCD.
同理可证明其他的结论.
专项训练
一、选择题
1.（2014·四川峨眉山二模）如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠CPB.若∠BOD=70°,则∠COE的度数是（ ）.
A.45°B.70°
C.55°D.110°
（第1题）
（第2题）
2.（2014·北京平谷区模拟）如图,AB∥CD,O为CD上一点,且∠AOB=90°.若∠B=33°,则∠AOC的度数是（ ）.
A.33°B.60°
C.67°D.57°
3.（2014·山东日照模拟）将一副三角板按图中的方式叠放,则∠α等于（ ）.
A.75°B.60°
C.45°D.30°
（第3题）
（第4题）
4.（2013·广东广州海珠区毕业班综合调研）如图,∠1与∠2是同位角,若∠2=65°,则∠1的大小是（ ）.
A.25°B.65°
C.115°D.不能确定
5.（2013·浙江温州一模）如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,AB=6,DE=3,则BC的长为（ ）.
A.9B.6
C.4D.3
（第5题）
（第6题）
6.（2012·湖北荆门东宝区模拟）如图,已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°.则∠3等于（ ）.
A.100°B.60°
C.40°D.20°
二、填空题
7.（2014·广东模拟）将三角板ABC按下图放置,使其三个顶点分别落在三条平行直线上,其中∠CAB=90°,且CF恰好平分∠ACB.若∠CBA=40°,则∠DAC的度数是 .
（第7题）
（第8题）
8.（2014·河南鹿邑一模）如图,∠1=∠2,∠3=40°.则∠4= .
9.（2014·湖北鄂州二模）如图AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠3= .
（第9题）
（第10题）
10.（2013·湖北孝感模拟）如图,直线AB,CD相交于点E,EF⊥AB于点E,若∠CEF=59°,则∠AED的度数为 .
三、解答题
11.（2014·河南安阳模拟）已知:
在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:
（1）如图
（1）,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD= ;
（2）如图
（2）,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD= ;
（3）如图（3）,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
（第11题）
参考答案与解析
1.C [解析]
2.D [解析]∠AOC=90°-33°=57°.
3.A [解析]∠α=45°+（90°-60°）=75°.
4.D [解析]两直线平行同位角相等,如果不能确定两直线是平行线则不能确定同位角之间的关系.
5.A [解析]首先利用平行线判定两三角形相似,然后利用相似三角形对应边的比等于相似比求得线段BC的长即可.
6.A [解析]∠3=∠1+∠2=100°.
8.140° [解析]∠4=180°-∠3=140°.
9.60° [解析]∠3=180°-（∠1+180°-∠2）=60°.
10.149° [解析]∵ EF⊥AB于点E,∠CEF=59°,
∴ ∠AEC=90°-∠CEF=90°-59°=31°.
∴ ∠AED=180°-∠AEC=180°-31°=149°.
11.
（3）以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE.
∴ CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB=a.
∴ △CDE为等边三角形.
∴ CE=CD.
如图
（1）,当点E,A,C不在一条直线上时,
有CD=CE如图
（2）,当点E,A,C在一条直线上时,
CD有最大值,CD=CD=a+b.
此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°,
∴ ∠ACB=120°.
因此当∠ACB=120°时,
CD有最大值a+b.
（第11题）
2019-2020年中考数学常考易错点4.2.1三角形的有关概念
易错清单
1.三角形的角平分线、中线和高的意义及画法.
【例1】 如图所示的△ABC中,线段BE是△ABC边AC上的高的是（ ）.
【解析】 根据三角形高的定义,过顶点作对边的垂线,顶点与垂足之间的线段叫做这个三角形的高,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【答案】 B
【误区纠错】 本题主要考查了三角形的高的定义,注意高是过顶点与对边垂直的线段.
2.求三角形边长时,不要忘记三角形两边之和应大于第三边等.
【例2】 有5根小木棒,长度分别为2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形,可搭出不同的三角形的个数为（ ）.
A.5个B.6个
C.7个D.8个
【解析】 可搭出不同的三角形为:
2cm,3cm,4cm;2cm,4cm,5cm;2cm,5cm,6cm;3cm,4cm,5cm;3cm,4cm,6cm;3cm,5cm,6cm;4cm,5cm,6cm,共7个.
【答案】 C
【误区纠错】 考查三角形的边时,要注意三角形形成的条件;当题目指代不明时,一定要分情况讨论,把符合条件的保留下来,不符合的舍去.
3.能利用反例证明一个命题是错误的.
【例3】 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是（ ）.
A.∠α=60°,∠α的补角∠β=120°,∠β>∠α
B.∠α=90°,∠α的补角∠β=90°,∠β=∠α
C.∠α=100°,∠α的补角∠β=80°,∠β<∠α
D.两个角互为邻补角
【解析】 熟记反证法的步骤,然后进行判断即可:
A.∠α的补角∠β>∠α,符合假命题的结论,故A错误;B.∠α的补角∠β=∠α,符合假命题的结论,故B错误;C.∠α的补角∠β<∠α,与假命题结论相反,故C正确;D.由于无法说明两角具体的大小关系,故D错误.
【答案】 C
【误区纠错】 熟记反证法的步骤,然后进行判断即可.
4.三角形内角和定理的运用.
【例4】 （2014·山东泰安）如图,把一直尺放置在一个三角形纸片上,则下列结论正确的是（ ）.
A.∠1+∠6>180°
B.∠2+∠5<180°
C.∠3+∠4<180°
D.∠3+∠7>180°
【解析】 A.∵ DG∥EF,
∴ ∠3+∠4=180°.
∵ ∠6=∠4,∠3>∠1,
∴ ∠6+∠1<180°,故本选项错误;
B.∵ DG∥EF,
∴ ∠5=∠3.
∴ ∠2+∠5=∠2+∠3=（180°-∠1）+（180°-∠ALH）=360°-（∠1+∠ALH）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A>180°,故本选项错误;
C.∵ DG∥EF,
∴ ∠3+∠4=180°,故本选项错误;
D.∵ DG∥EF,
∴ ∠2=∠7.
∵ ∠3+∠2=180°+∠A>180°,
∴ ∠3+∠7>180°,故本选项正确.
【答案】 D
【误区纠错】 本题考查了平行线的性质,三角形的内角和定理的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力,
【例5】 （2014·山东威海）如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是（ ）.
A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°
C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°
【解析】 根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°,再根据角平分线的定义求出∠ABO,然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB,根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO,再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC,判断出AD为三角形的外角平分线,然后列式计算即可求出∠DAC.
【答案】 ∵ ∠ABC=50°,∠ACB=60°,
∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°,故A选项结论正确.
∵ BD平分∠ABC,
在△ABO中,∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°,
∴ ∠DOC=∠AOB=85°,故B选项结论错误.
∵ CD平分∠ACE,
∴ ∠ACD=（180°-60°）=60°.
∴ ∠BDC=180°-85°-60°=35°,故C选项结论正确.
∵ BD,CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线,
∴ AD是△ABC的外角平分线.
∴ ∠DAC=（180°-70°）=55°,故D选项结论正确.
故选B.
【误区纠错】 本题考查了角平分线的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,熟记定理和概念是解题的关键,容易忘记三角形三个内角和是180°这个隐含条件而出错.
名师点拨
1.能利用三角形概念判断三角形的形状.
2.会作不同三角形的高、中线、角平分线.
3.能利用三角形稳定性解释生活现象.
4.能证明并会运用三角形内角和定理及其推论.
5.会作三角形的中位线并掌握中位线的性质.
6.能区分定义、命题、定理的区别与联系;能正确说出命题的条件与结论;掌握逆命题与原命题.
7.了解反证法,利用反例证明一个命题是错误的.
8.能用综合法证明一些简单的问题
提分策略
1.三角形的重要线段的应用.
三角形的中线、角平分线、高线、中位线都是三角形中重要的线段.特别提醒:
三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题,题目中有中点,就要想到三角形的中位线定理.
【例1】 （2014·江苏盐城）如图,A,B两地间有一池塘阻隔,为测量A,B两地的距离,在地面上选一点C,连接CA,CB的中点D,E.若DE的长度为30m,则A,B两地的距离为 m.
【解析】 根据三角形中位线求出AB=2DE,代入求出即可.
【答案】 ∵ D,E分别是AC,BC的中点,DE=30m,
∴ AB=2DE=60m.
2.三角形内角与外角的应用.
综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质,灵活地运用这些基础知识,合理地推理,可以灵活地解决内、外角的关系,得到结论.
【例2】 如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP= .
【解析】 过点P作PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F.因为PB是∠ABC的平分线,所以PE=PD,同理PD=PF,所以PE=PF,所以AP是∠EAC的平分线.利用
【答案】 50°
3.三角形二边之和必须大于第三边.
【例3】 （2014·广西玉林）在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20cm,则边AB的取值范围是（ ）.
A.1cmB.5cmC.4cmD.4cm【解析】 设AB=AC=x,则BC=20-2x,根据三角形的三边关系即可得出结论.
【答案】 ∵ 在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20cm,
∴ 设AB=AC=xcm,则BC=（20-2x）cm,
解得5cm故选B.
专项训练
一、选择题
1.（2014·陕西名校中考模拟）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7,这个三角形一定是（ ）.
A.直角三角形B.等腰三角形
C.锐角三角形D.钝角三角形
2.（2014·湖北武汉部分学校3月月考）如图,AB=AC=AD,若∠BAD=80°,则∠BCD等于（ ）.
A.80°B.100°
C.140°D.160°
（第2题）
（第3题）
3.（2014·福建三明模拟）如图,已知直线m∥n,直角三角板ABC的顶点A在直线m上,则∠α等于（ ）.
A.21°B.30°
C.58°D.48°
4.（2013·辽宁葫芦岛一模）已知:
直线l1∥l2,一块含30°角的直角三角板如图所示放置,∠1=25°,则∠2等于（ ）.
（第4题）
A.30°B.35°
C.40°D.45°
5.（2012·湖北荆门东宝区模拟）已知三角形三边长分别为2,2x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为（ ）.
A.2B.3
C.5D.13
二、填空题
6.（2014·江苏南京鼓楼区一模）一个等腰三角形的两边长分别是2cm和3cm,则它的周长是 cm.
7.（2014·江苏无锡港下初中模拟）如图,D是AB边上的中点,将△ABC沿过D的直线折叠,使点A落在BC上F处.若∠B=42°,则∠BDF的度数为 .
（第7题）
（第8题）
8.（2014·浙江温州模拟）如图,已知D为BC上一点,∠B=∠1,∠BAC=78°,则∠2= .
9.（2014·四川乐山模拟）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案,按照这样的规律摆放,则第n个图案中共有小三角形的个数是 .
…
（第9题）
10.（2014·江苏南通海安县模拟）如图,在△ABC中,E,F分别是AB,AC上两点,EF∥BC,BF平分∠ABC.若∠BFE=35°,则∠AEF的度数为 .
（第10题）
三、解答题
11.（2013·北京四中模拟）如图,有一块三角形的地,现要平均分给四农户种植（即四等分三角形面积）,请你在图上作出分法（不写作法）.
（第11题）
参考答案与解析
1.D [解析]2x+3x+7x=180,解得x=15,
∴ 7x°=105°.
∴ 该三角形是钝角三角形.
2.C [解析]∵ AB=AC=AD,
∴ ∠B=∠ACB,∠ACD=∠D.
3.D [解析]∠α+42=90°.
4.B [解析]∵ ∠3是△ADG的外角,
∴ ∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°.
∵ l1∥l2,∴ ∠3=∠4=55°.
∵ ∠4+∠EFC=90°,
∴ ∠EFC=90°-55°=35°.
∴ ∠2=35°.
（第4题）
5.A [解析]5.56.7或8 [解析]等腰三角形的三边长分别是2cm,2cm,3cm或2cm,3cm,3cm.
7.96° [解析]∵ ∠ADE=∠B=42°,
∴ ∠FDE=∠ADE=42°.
∴ ∠BDF=180°-∠ADE-∠FDE=96°.
8.78° [解析]∠2=∠B+∠BAD=∠BAC=78°.
9.3n+4 [解析]第①个图形有7=3×1+4个三角形,第②个图形有10=3×2+4个三角形,…则第n个图案中共有小三角形的个数是3n+4.
10.70° [解析]∠AEF=∠ABC=2∠FBC=2∠BFE=2×35°=70°.
11.
（1）BC四等分:
（第11题
（1））
（2）BC,AD两等分:
（第11题
（2））
（3）各边中点连接:
（第11题（3））
本题答案不唯一,还有其他分法.
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