学年高中数学人教A版选修12课件322《复数的乘除运算》.docx
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学年高中数学人教A版选修12课件322《复数的乘除运算》
第四节复数代数形式的
乘除运算
设计思路
掌握复数代数形式的乘法和除法运算.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.理解共辄复数的概念.本节重点：
复数的乘除运算及共辄复数的概
龍曇r页式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相
除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分
母都乘以分母的共辄复数，再把结果化简即可.
E1・复数的乘法
设S=。
+加，z2~c~\~di是任意两个复数,那么它们的积（d+bi）（c+di）=ac+bci+adi牛方SF（d,b,
c,化R）・
茨扼复如法的运算律
卑肖两企复数的卫荊
数叫紘为
反等/「，__虚部—
剜戢。
爲巍复数Z的共辘复数
交换着
可2=/
共辘虚数
结合律
（◎*2）"3=Z1*（z2，z3）
乘法对加法的分配律
Z1（z2+z3）=Z1Z2+Z1，Z3
丿
旦为相皮
1A/r-
4.（a+bi）-r（c+di）=
复数的除
法的实质是,分母为a+bi型,
同乘ct—bi,u—bi型,乘a+bi.
5.①（1±/）2=
1
②口=L币=
④Z・Z==丨汙.
⑤"Z2=
对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分母都乘以分母的共辘复数，再把结果化简即可.
❻典例探究
探究问题一
i—2、丘
计算：
⑴IT掐+Q+严
（2+2沪
（2）（^w*
［解析］
（1）；+；£•+（5+严二苇謗+［5+（帕处=汁5—i—z11—5+/；
1§
（2）令co=—2则^3=
（2+2沪24（1+04
2co=r=2e=co
于是
⑵）2
—2co5
❾看一看
设复数z满足甲
B・一2
D・2+z
A.—2+i
C・2-i
1+2/（l+2z）（-0
［解析］"丁二心=27［答案］C
❻典例探究
探究问题二
（2010•徐州高二检测）设P,Q是复平面上的点集，
P=\z\z-z+3农一z）+5=0},Q={w\w=2iz^z^P}.
（1）F,0分别表示什么曲线？
（2）设zi乙FQ、求匕一©I的最大值与最小值.
\a=2v0
xQ=^b
桃上s护（z="B
+5=0
L馆嗇融縛丹勺赦方程
［分析］
（iy设勺二x+Wz（xzyeR）z即zy）
（筋时走腹示分别在隣叭・金的两个动点间的距离，
又圆丿魏陶營折＞|^4,°｝故I。
-初最大值为6+3彷最小值为离矗矛以（0,3）为圆心，2为半径的圆•
设w=a+bi（arbeR）・
［点评］共辘复数的性质.
（1）在复平面上，两个共辘复数对应的点关于实轴对称.
（2）实数的共辘复数是它本身，即利用这个性质可证明一个复数为实数.
（3）若zHO且z+?
=0,则z为纯虚数，利用这个性质，
可证明一个复数为纯虚数.
I例3'计算：
+卩+尸+・・・+,2011.
［分析］由题目可获取以下主要信息：
已知虚数单位泊勺幕,求和■
解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用刃的周期性化简.
｛务甲周囲性四）_7（1-（孑）1°°订）n+l=i,^2=-1,i・-・,
汁1=0,
F缓界爲+可醍囲密熹速度.
*
¥=2八（1-z）2=-2l\_
[K
①『
集.
2・记住旱1…+3
•••r+rtY+^+/=o（neN）,
2006
乡请左）=（z+i2^-f丰产）+&5+,6+f+产）…+（产005+j冷IT1+z
+严瞬犁汙卡（沪0隹嘗9・+严H+严12）—严12
=厂严12=_]@7=—Z.
劉拓展
计算：
l+2z+3z2+-+2009-z2008
［解析］设S=1+2d+3产+…+2009严°8
则d・S=d+2产+…+2008-z2008+2009严°?
•••（1-i）S二1+,+孑+・・・+z2008-2009严°?
1-2009/
探究问题四
已知1+j是关于兀的方程兀兀+c=0的一个根（b,c为实数）.
（1）求b,c的值；
（2）试说明1—j也是该方程的一个根.
I解析］
（1）因为1+，是方程兀2十心+c=0的个根,所以（14-Z）2+Z?
（1十,）十c=0,BP（Z?
+c）十（2十b）i=O,
■
Z?
+c=0,
所以彳
2+^=0,
\b=-2z
解得］
［c=2.
所以btc的值分别为-2,2.
（2）由
（1）矢口原方程为乂2_2乂+2=0,把1「•代入方程左边,得（1-沪一2（1-0+2=0,右边=0,左边=右边,显然方程,因此1-,也I是方程的根・
注意：
因为已知方程x2+bx+c=0的一根是复数根，故我们需将该已知根代入方程，根据复数相等的充要条件求解.
有关复数的方程问题一般有两种情况：
1方程的根为复数，系数为实数，已知方程的一个复数根，求实系数.
2方程的根为实数，系数为复数，求实根.
3・对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当zlvO时,
方程的根为x=-划-&；当/$0时，方程的根为
—^丄，无论/20还是/v0,根与系数的关系都成立，即
%1+%2=
bc
_/刃=d
4.在解复系数一元二次方程时，套用实系数一元二次方
程根的判别式A=b1—^acy这种做法是毫无意义的.
即一看
解方程1刘=2+x~2i.
［误解］方程两边平方/得：
/二4+/-4+4x・&
［辨析］在解题中用了复数范围内不成立的等式
'可设x=a-\~bi（a,bUR）,
则寸/+戻=2+a+加一27=（2+a）+（b—2）z由复数相等可得
所以方程的解为x=2i.
课堂检测
一、选择题
1.（2010•浙江文，3）设2•为虚数单位，则冷=（
A.—2—3/B.—2+37
C・2-3i
D・2+3i
［答案］c
［解析］
本题考查了复数的除法运算.
二2—3匚
5—i（5—/）（1—z）1+i（1+/）（!
—/）
限.
2.在复平面内，复数乙=占对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
［答案］D
［解析］2=士］=+^=|—£，故Z对应的点位于第四象
3・复数
2（2+0
1—2i
E・—2i
C・2
D・一2
［答案］A
［解析］
2（2+0
1—2i
2（2+0（1+2/）
2（2+5L2）
=2i・
二、填空题
4.若x—2+yi和3兀一,互为共辄复数，贝U实数兀=,歹=.
［答案］一111%—2=3%
［解析］由题意可得｛
［y=^
X=—1
•V
••
5.如果复数z二
2—bi
二］+2,（bWR）的实部与虚部互为相反数,
贝yb=
2
［答案］-f
（2—2b）—（b+4）i
5
••・2—2Z?
=b+4・・・b=—|
i蛊+寸）+（t—f'h—1寸“（z——I?
rz）——i.f）"罷區施
.下—O-H）o+Z）“M44.9
Z+Z
睫如薩■川
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