中考数学热身练习《坐标与图形的变换》含答案解析.docx
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中考数学热身练习《坐标与图形的变换》含答案解析
坐标与图形的变换
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．
是一个无理数
B．函数
的自变量x的取值范围是x＞1
C．8的立方根是±2
D．若点P（﹣2，a）和点Q（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5
2．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）
A．（1，7），（﹣2，2），（3，4）B．（1，7），（﹣2，2），（4，3）C．（1，7），（2，2），（3，4）D．（1，7），（2，﹣2），（3，3）
3．如图，已知△ABC的顶点B的坐标是（2，1），将△ABC向左平移两个单位后，点B平移到B1，则B1的坐标是（ ）
A．（4，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（1，0）
4．如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，4）C．（4，2）D．（2，﹣4）
5．在平面直角坐标系中，将点A（1，2）的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，得到点A′，则点A和点A′的关系是
（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点A′
6．已知△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
7．如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图1中△ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为（ ）
A．（a﹣2，b﹣3）B．（a﹣3，b﹣2）C．（a+3，b+2）D．（a+2，b+3）
8．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，0）
二、填空题
9．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 ．
10．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？
小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 ．
11．将点A（
，0）绕着原点顺时针方向旋转45°角得到点B，则点B的坐标是 ．
12．如图，Rt△OAB的直角边OA在y轴上，点B在第一象限内，OA=2，AB=1，若将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是 ．
13．已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是 ．
14．在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为
，若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，B点到达B′点，则点B′的坐标是 ．
15．在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为 ．
三、解答题
16．如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC．
（1）AC的长等于 ；
（2）先将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是 ；
（3）再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是 ．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于C的对称点处，…如此下去．
（1）在图中画出点M、N，并写出点M、N的坐标：
；
（2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P的距离．
坐标与图形的变换
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．
是一个无理数
B．函数
的自变量x的取值范围是x＞1
C．8的立方根是±2
D．若点P（﹣2，a）和点Q（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5
【考点】立方根；无理数；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】计算题．
【分析】对每个选项分别求出正确结论，然后就可以进行验证．
【解答】解：
A、
=2，是一个有理数，故A错误；
C、正数有一个正的立方根，故C错误；
D、两点若共于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，得a=3，b=﹣2，则a+b=1，故D错误；
B、根据二次根式和分式有意义的条件得x＞1，故B正确；
故选B．
【点评】判断一个数是否是无理数，应先化简后判断；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不等于0；掌握立方根的性质和关于x轴对称的两点的坐标之间的关系．
2．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）
A．（1，7），（﹣2，2），（3，4）B．（1，7），（﹣2，2），（4，3）C．（1，7），（2，2），（3，4）D．（1，7），（2，﹣2），（3，3）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：
由题意可在此题平移规律是（x+2，y+3），照此规律计算可知原三个顶点（﹣1，4），（﹣4，﹣1），（1，1）平移后三个顶点的坐标是（1，7），（﹣2，2），（3，4）．
故选A．
【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点．
3．如图，已知△ABC的顶点B的坐标是（2，1），将△ABC向左平移两个单位后，点B平移到B1，则B1的坐标是（ ）
A．（4，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（1，0）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：
从B到B1，点的移动规律是（x﹣2，y），如此规律计算可知B1的坐标为（0，1）．
故选B．
【点评】本题考查图形的平移变换．平移中点的变化规律是：
横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4．如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，4）C．（4，2）D．（2，﹣4）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】压轴题．
【分析】根据矩形的特点和旋转的性质来解决．
【解答】解：
矩形的对边相等，B′C′=OA=4，A′B′=OC=2，
∴点B′的坐标为（4，2）
故选C．
【点评】需注意旋转前后线段的长度不变，第一象限内点的符号为（+，+）．
5．在平面直角坐标系中，将点A（1，2）的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，得到点A′，则点A和点A′的关系是
（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点A′
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】已知平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），从而求解．
【解答】解：
根据轴对称的性质，可知横坐标都乘以﹣1，即是横坐标变成相反数，则实际是作出了这个图形关于y轴的对称图形．
故选：
B．
【点评】考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点．
6．已知△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：
原三角形中点A的坐标是（﹣4，1），将△ABC向右平移6个单位后，平移后点的横坐标变为﹣4+6=2，而纵坐标不变，
所以点A的坐标变为（2，1）．
故选B．
【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点．
7．如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图1中△ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为（ ）
A．（a﹣2，b﹣3）B．（a﹣3，b﹣2）C．（a+3，b+2）D．（a+2，b+3）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：
根据题意：
A点坐标为（﹣3，﹣2），平移后，A'的坐标为（0，0）；故①中△ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图②中的对应点P'的坐标为（a+3，b+2）．
故选C．
【点评】本题考查点坐标的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点．
8．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，0）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】利用网格结构找出点B绕点D顺时针旋转90°后的位置，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．
【解答】解：
如图，点B绕点D顺时针旋转90°到达点B′，
点B′的坐标为（4，0）．
故选：
D．
【点评】本题考查了旋转与坐标与图形的变化，根据网格结构找出点B旋转后的位置是解题的关键．
二、填空题
9．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】两点关于x轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：
点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：
（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标的特点，可记住要点或画图得到．
10．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？
小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 10 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】压轴题．
【分析】本题首先要明确奶站应建在何处，点A关于x轴的对称点A1的坐标是（0，﹣3），则线段A1B与x轴的交点就是奶站应建的位置．从A、B两点到奶站距离之和最小时就是线段A1B的长．通过点B向y轴作垂线与C，根据勾股定理就可求出．
【解答】解：
点A关于x轴的对称点A1的坐标是（0，﹣3），过点B向x轴作垂线与过A1和x轴平行的直线交于C，
则A1C=6，BC=8，
∴A1B=
=10
∴从A、B两点到奶站距离之和的最小值是10．
故填10．
【点评】本题考查了轴对称的应用；正确确定奶站的位置是解题的关键，确定奶站的位置这一题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
11．将点A（
，0）绕着原点顺时针方向旋转45°角得到点B，则点B的坐标是 （4，﹣4） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．
【解答】解：
旋转后已知OB=OA=4
，做BC⊥x轴于点C，那么△OBC是等腰直角三角形，
∴OC=BC=4，
∵在第四象限，
∴点B的坐标是（4，﹣4）．
【点评】解答此题要注意旋转前后线段的长度不变，构造直角三角形求解即可．
12．如图，Rt△OAB的直角边OA在y轴上，点B在第一象限内，OA=2，AB=1，若将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是 （2，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】压轴题．
【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，准确把握旋转的方向和度数．
【解答】解：
把Rt△OAB的绕点O按顺时针方向旋转90°，就是把它上面的各个点按顺时针方向旋转90度．点A在y轴上，且OA=2，正好旋转到x轴正半轴．
则旋转后A′点的坐标是（2，0）；又旋转过程中图形不变，OA=2，AB=1，故点B′坐标为（2，﹣1）．
【点评】本题将一个图形的旋转放在坐标系中来考查，是一道考查数与形结合的好试题，也为高中后续学习做了良好的铺垫．从考试情况看，还有非常多考生没完全理解旋转的三大要素即中心、方向、角度，故失分的较多．本题综合考查学生旋转和坐标知识．
13．已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是 （﹣1，1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：
横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：
原来点的横坐标是3，纵坐标是﹣2，向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3﹣4=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1．
则点N的坐标是（﹣1，1）．
故答案填：
（﹣1，1）．
【点评】解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：
横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
14．在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为
，若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，B点到达B′点，则点B′的坐标是 （
） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】压轴题．
【分析】根据A点坐标可知∠AOB=30°，因此旋转后OA在y轴上．如图所示．作B′C′⊥y轴于C′点，运用三角函数求出B′C′、OC′的长度即可确定B′的坐标．
【解答】解：
将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，位置如图所示，
作B′C′⊥y轴于C′点，
∵A的坐标为
，
∴OB=
，AB=1，∠AOB=30°，
∴OB′=
，∠B′OC′=30°，
∴B′C′=
，OC′=
，
∴B′（
，
）．
【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：
旋转中心O，旋转方向逆时针，旋转角度60°，通过画图计算得B′坐标．
15．在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为 （2，3） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】正确作出A旋转以后的点，即可确定坐标．
【解答】解：
由图知A点的坐标为（﹣3，2），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
从而得A′点坐标为（2，3）．
【点评】本题涉及图形的旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：
旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′．
三、解答题
16．如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC．
（1）AC的长等于
；
（2）先将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是 （1，2） ；
（3）再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是 （﹣3，﹣2） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】网格型．
【分析】
（1）根据图形，可得出AC的坐标，可得纵横坐标的关系，进而可求出AC的长；
（2）根据图形，可得出ABC的坐标，向右平移2个单位可得A'的坐标；
（3）根据旋转的规律，把△OAB的绕点O按逆时针方向旋转90°，就是把它上面的各个点按逆时针方向旋转90°，可得A1的坐标．
【解答】解：
（1）根据图形，可得出A的坐标为（﹣1，2），C的坐标为（0，﹣1），故AC的长等于
=
；
（2）根据图形，可得出A的坐标为（﹣1，2），B的坐标为（3，1），
C的坐标为（0，﹣1），将△ABC向右平移2个单位得到△A'B'C'，则A点的对应点A'的坐标是（1，2）；
（3）根据旋转的规律，把△OAB的绕点O按逆时针方向旋转90°，就是把它上面的各个点按逆时针方向旋转90°，
可得A1的坐标为（﹣3，﹣2）．
【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征﹣﹣﹣在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．
平移中点的变化规律是：
横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】综合题．
【分析】
（1）根据网格可以看出三角形的底AB是5，高是C到AB的距离，是3，利用面积公式计算．
（2）从三角形的各顶点向y轴引垂线并延长相同长度，找对应点．顺次连接即可．
（3）从图中读出新三角形三点的坐标．
【解答】解：
（1）S△ABC=
×5×3=
（或7.5）（平方单位）．
（2）如图．
（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．
【点评】本题综合考查了三角形的面积，网格，轴对称图形，及直角坐标系，学生对所学的知识要会灵活运用．
18．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于C的对称点处，…如此下去．
（1）在图中画出点M、N，并写出点M、N的坐标：
（﹣2，0），（4，4） ；
（2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P的距离．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】
（1）点P关于点A的对称点M，即是连接PA延长到M使PA=AM，所以M的坐标是M（﹣2，0），点M关于点B的对称点N处，即是连接MB延长到N使MB=BN，所以N的坐标是N（4，4）；
（2）棋子跳动3次后又回点P处，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M处，根据勾股定理可知PM的值．
【解答】解：
（1）M（﹣2，0），N（4，4）；
故答案为：
M（﹣2，0），N（4，4）；
（2）棋子跳动3次后又回点P处，且2008÷3=669…1，
所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M处，
∴PM=
．
答：
经过第2008次跳动后，棋子落点与P点的距离为
．
【点评】考查学生对点对称意义的理解及学生在新的知识环境下运用所学知识的能力．本题着重考查学生探索规律和计算能力．
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