第十章 图与网络分析要点.docx
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第十章图与网络分析要点
第十章图与网络分析
精典习题
10.1证明如下序列不可能是某个简单图的次的序列：
（1）7,6,5,4,3,2
（2）6,6,5,4,3,2,1
（3）6,5,5,4,3,2,1
10.2已知9个人
中，
和两个人握过手，
各和四个人握过手，
各和五个人握过手，
各和六个人握过手，证明这九个人中一定可以找出三个人互相握过手。
10.3有八种化学药品A、B、C、D、P、R、S、T要放进储藏室保管。
出于安全原因，下列各组药品不能储存在同一室内：
A-R、A-C、A-T、R-P、P-S、S-T、T-B、T-D、B-D、D-C、R-S、R-B、P-D、S-C、S-D问储存这八种药品至少需要多少间储藏室。
10.4已知有十六个城市及他们之间的道路联系（见图10-1）。
某旅行者从城市A出发，沿途依次经过J、N、H、K、G、B、M、I、E、P、F、C、L、D、O、C、G、N、H、K、O、D、L、P、E、I、F、B、J、A，最后到达城市M。
由于疏忽，该旅行者忘了在图上标明各城市的位置，请应用图的基本概念及理论，在图10—1中标明各城市A~P的位置。
10.5十名研究生参加六门课程的考试。
由于选修的课程不同，考试门数也不一样。
表10—1给出了每个研究生应参加考试的课程（打Δ号的）。
规定考试应在三天内结束，每天上下午各安排一门。
研究生们提出希望每人每天最多考一门，又课程A必须安排在每一天上午考，课程F安排在最后一门，课程B只能安排在中午考，试列出一张满足各方面要求的考试日程表。
表10-1
考试课程
研究生
A
B
C
D
E
F
1
Δ
Δ
Δ
2
Δ
Δ
3
Δ
Δ
4
Δ
Δ
Δ
5
Δ
Δ
Δ
6
Δ
Δ
7
Δ
Δ
Δ
8
Δ
Δ
9
Δ
Δ
Δ
10
Δ
Δ
Δ
10.6用破圈法和避圈法找出图10-2的一个支撑树。
10.7用破圈法和避圈法求图10—3中各图的最小树。
10.8已知世界6大城市：
（Pe）、（N）、（Pa）、（L）、（T）、（M）。
试在由表10—1所示交通网络的数据中确定最小树。
表10-2
城市
Pe
T
Pa
M
N
L
Pe
×
13
51
77
68
50
T
13
×
60
70
67
59
Pa
51
60
×
57
36
2
M
77
70
57
×
20
55
N
68
67
36
20
×
34
L
50
59
2
55
34
×
10.9有九个城市
其公路网如图10—4所示。
弧旁数字是该段公路的长度，有一批货物从
运到
，问走那条路最短？
10.10用标号法求图10—5中V1到各点的最短路。
10.11用Dijksrea方法求图10—6中V1到各点的最短距离。
10.12求图10-7中从V1到各点的最短路。
10.13在图10—8中
（1）用Dijkstra方法求从V1到各点的最短路；
（2）指出对V1来说那些顶点是不可到达的。
10.14已知八口海上油井，相互间距离如表10-2所示。
已知1号井离海岸最近，位5浬。
问从海岸经1号井铺设油管将各油井连接起来，应如何铺设使输油管线长度为最短（为便于计算和检修，油管只准在各井位处分叉）。
表10-2各油井间距离单位：
km
从到
2
3
4
5
6
7
8
1
1.3
2.1
0.9
0.7
1.8
2.0
1.5
2
0.9
1.8
1.2
2.6
2.9
1.1
3
2.6
1.7
2.5
1.9
1.0
4
0.7
1.6
1.5
0.9
5
0.9
1.1
0.8
6
0.6
1.0
7
0.5
10.15设某公司在六个城市c1,…,c6有分公司，从ci到cj的直达航线票价记在下面矩阵的（i，j）位置上（∞表明无直达航线，需经其他城市中转）。
请帮助该公司设计一张任意两城市的票价最便宜的路线表。
10.16在如图10-9所示的网格中，每弧旁的数字是（cij，fij）。
（1）确定所有的数集；
（2）求最小截集的容量；
（3）证明指出的流是最大流。
10.17求如图10-10所示的网络的最大流（每弧旁的数字是（cij，fij）。
10.18用Ford-Fulkerson的标号算法求图10-11中所示各容量网络中从Vs到Vt的最大流，并标出个网络的最小割集。
图中各弧旁数字为容量
，括弧中为流量
。
10.19某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人。
有5人应聘。
已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文。
问最多有几人能得到招聘，有分别被聘任从事那一文种的翻译。
10.20求图10-12中从s→t的最小费用最大流，各弧旁数字为（
，
）。
10.21图10-13中，A、B为出发点，分别有50和40单位物资往外发运，D、E为收点，分别需要物资30和60单位，C为中转点，各弧旁数字为（
，
）。
求满足上述收发量要求最小费用流。
10.22设G=（V,E）是一个简单图，令δ（G）=
（称δ（G）为G的最小次）。
证明：
（1）若δ（G）
2，则G必有图；
（2）若δ（G）
2，则G必有包含至少δ（G）+1条边的图。
10.23设G是一个连通图，不含奇点。
证明：
G中不含割边。
10.24给一个联通赋权图G，类似于求G的最小支撑树的Kruskal方法，给出一个求G的最大支撑树的方法。
10.25下述论断正确与否：
可行流f的流量为零，即v（f）=0，当且仅当f是零流。
习题答案及详解
10.1证明
（1）由图的性质定理知，任一个图中，奇点的个数为偶数。
7，6，5，4，3，2中存在3个奇数，所以不可能是某个图的次的序列，更不是某个简单图的次的序列。
【或者】假设7，6，5，4，3，2为某个简单图的次的序列，则图中有6个点，作为简单图点的最大次数为n-1，即最大次数为5，显然与存在点的次数为7矛盾。
所以，7，6，5，4，3，2又是简单图的次的序列。
（2）由定理知，任一个图G=（V，E）中，所有点的次数之和是边数的两倍，即图中点次的和为偶数。
序列6，6，5，4，3，2，1的和为27，所以它不可能是一个图的次的序列，更不可能是某个简单图的次的序列。
【或者】假设6，6，5，4，3，2，1为某个简单图的次的序列，则图中存在7个点，不妨设为
，
，
，
，
，
，
，其中
，
次为6，表明
，
与除自身外的剩余6个点均相连。
即
，
，
，
，
的次不少于2，与
的次为1矛盾。
所以，6，6，5，4，3，2，1不是某个简单图的次的序列。
（3）假设6，5，4，3，2，1为某个简单图的次的序列，则图中存在7个点，不妨设为
，
，
，
，
，
，
，，因为
=6,
=1,所以
与其他6个点相连，而
仅与
相连，又因为
，则
，
与除
和自身之外的所有点相连，则
必须与
，
相连，所以
与
，
，
相连，与
矛盾，所以6，6，5，4，3，2，1不是某个简单图的次的序列。
10.2解：
设9个人
，
，…
为9个点，两人握手设为两点之间存在相连边，握手问题转化为一个简单图，其中，
，
，…
次的序列为2，4，4，5，5，5，5，6，6。
这9个人中一定可以找到3个互相握过手，转化为在图中一定存在3个点彼此相连。
因为，
，
，
，
，
之间一定存在两点相连。
假如，
，
，
，
互相均不相连，因为次均为5，所以
，
，
，
均与剩余的4个点
，
，
，
，
相连，这与
=2矛盾。
不妨设
，
，
，
，中存在
，
之间相连。
必可以找到第三点均与
，
相连。
假设不存在第3点均与
，
相连，
，
分别与定义不同的4个点相连，即存在8个不同的点分别与
或
相连，加上
，
共计10个点，这与图中9个点矛盾。
所以在图中，必存在3个点彼此相连。
10.3解：
将8种化学药品A，B，C，D，P，R，S，T设定为8个点，两种药品不能贮存同一室内状态，设定为两点之间存在一边相连，画出药品关系图如下：
（图10-3（a））
在图（a）中，两点之间相连的药品均不能存贮在一起。
对于由点A，B，C，D，P，R，S，T的完全图，求图（a）的补图，得图（b）,在（b）图中，彼此相连的药品均可以为存贮庄点，因为
，从S，D开始搜索，（S，A，B）彼此相连，（D，R）相连，（T，C，P）彼此相连。
所以至少需要3间贮存室，存效组合为（S，A，B），（T，C，P），（D，R）。
10.4解：
依据旅行者的路线统计城市间的相互关系。
点（城市）
相邻城市（相邻点）
次
点
相邻点
次
A
J，M
2
I
M，E，F
3
B
G，M，F，J
4
J
A，N，B
3
C
F，I，O，G
4
K
H，G，O
3
D
L，O
2
L
C，D，P
3
E
L，P
2
M
B，I，A
3
F
P，C，I，B
4
N
J，H，G
3
G
K，M，C，N
4
O
D，C，K
3
H
M，K
2
P
E，F，L
3
由点的次可知，A，D，E，H为2，则为4个顶点；B，C，F，G的次为4，则为4个顶点；某系为边点，城市布局图为图10-4。
10.5解：
将课程A，B，C，D，E，F设定为6个点，同时学生选某课程认为存在相邻边。
依据学生1-10的选课划分课程关系图10-5（a），要求学生一天最多考1门，即图（a）中相连的课程不能排在同一天。
对于点ABCDEF的关系图，求图（a）的补图（b）。
那么，图（b）中相邻的课程可以安排在同一天，可保证学生一天最多考一门，所以（A，E），（F，D），（C，B）分别各为一天，安排如下：
天
上午
下午
1
2
3
A
C
D
E
B
F
10.6解：
（破圈法）
寻找图中的圈，去掉圈中的一边。
（1）圈（
）去掉
；圈（
）去掉
；圈（
）去掉
。
（2）圈（
）去掉
；圈（
）去掉
，
得到支撑树（c）。
（避圈法）
（1）从
点出发，边相邻边增加边和点，保证不构成回路。
出发，增加
。
（2）
相邻边
，增加
，
相邻边
，
，增加点
，
。
（3）
相邻边
，增加
，
相邻边
，
，增加点
，
。
将
点均包含在图中，且不存在回路，构成一个支撑树（f）。
10.7解：
a）（破圈法）
在图中寻找圈，去除圈中权值最大的边
（V1，V2，V3）去除（V1,V3）边；（V1，V4，V7）去除（V4,V7）边；（V2，V5，V8）去除（V2,V8）边；（V6，V8，V9）去除（V7,V8）边，得到图（a2）
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