建模论文公交线路的论文.docx

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建模论文公交线路的论文

兰州交通大学

2008年大学生数学建模竞赛论文

题目：

奥运期间临时新增

公交线路的最优站点选址问题

姓名李二通

学院数理学院

班级软件06班

参赛人1：

姓名刘文林

学院数理学院

班级信计06班

参赛人2：

姓名李建军

学院数理学院

班级软件06班

参赛人3：

学校统一编号，

个人不得填写

论文编号：

奥运期间临时新增

公交线路的最优站点选址问题

一、摘要

公交车站点的选址问题，对于这个问题的研究一直比较多。

本文采用离散模型中嵌套连续模型。

把整个路线以站点为界划分为n+1个区间，由于区间内的乘客要向最近站点走去，首先，通过提出合理的假设且基于限制条件：

所有站点间距之和最大程度接近路线总长；先对每一个区间长度进行计算；其次，要使所有乘客花费的总时间最少，只要每一个乘客所花费的时间最少即可，故又将整个路线划分为n+1个时间段，令同一个时间段内的每一个乘客所花费的时间相等，接着对每一个时间段的所有乘客所花费的时间ti（i=1,2…n+1）.进行计算，即在区间内采用连续模型；最后，将所有乘客所花费的时间求和。

本文通过对问题合理的假设、严密的逻辑分析、精确的计算，基于条件：

（1）所有站点间距之和最大程度接近路线总长;

（2）乘客所花时间最少。

对于题目所给的参数，计算得到设置5个站点较为合理。

此时平均每个乘客花费时间0.67小时（大约42分钟）。

总的花费时间为76.8小时，相邻站点之间的距离从L1=0.5公里依次递增。

二、问题提出

2008年8月8日第29届奥林匹克运动会在北京开幕,这使得北京在奥运会期间成为全球最大的旅游城市.旅游人数的骤然增多无疑给城市的交通造成很大的压力,为了解决这一实际问题,交通管理部门决定临时增开一些直达（无需转车）奥运比赛场地的公交线路以缓解对交通造成的压力.

就某一条临时增开的公交线路而言,为了节约每一位乘客的乘车时间,加之每辆公交车的容量有限,公交车并非在线路的原来每一个站点都停车,这就要求对站点设置做合理的规划。

要求：

对所给数据（见下表）进行计算，使所有乘客花费的总时间达到最少，并计算此时每相邻两个站点之间的距离

。

参数名称

每公里乘客密度

线路的总

长度为

站点停

车时间

公交车行

驶时速

乘客的步

行时速

参数值

5人

23公里

2分钟

35公里

8公里

二、问题的分析

该问题的目的是寻找公交站点的最优选址，使得沿线所有乘客花费的乘车时间最少。

要使所有乘客花费的总时间最少，只要沿线每一个乘客花费的时间最少，则所有乘客所花费的总时间就能达到最少。

规定沿途均匀分布的乘客同时向最近站点走，总时间从所有的乘客向最近站点行进时计起。

如下图，当区间[0,

L1）内所有乘客都到达位置0时，第一班车出发。

假设所有乘客都能在其最近站点赶上第一班公交车，由于公交车的容量有限且不能超载，所以在乘客到达其最近站点时，有可能乘不上该班车，此时，站点的乘客就要花时间等下一班车。

处于区间[L1+L2+…+Ln+

Ln+1,L]内的乘客步行到终点，其花费的时间暂时不计入乘车的乘客所花费的总时间之内。

另外，每一班公交车无论是否乘客坐满，均按规定在每一个站点停车2分钟。

四、模型假设与符号说明

1、模型假设：

（1）公交车行驶速度和乘客的步行速度均匀速；

（2）每班公交车的时间间隔相等；

（3）每个站点的乘客同时上车；

（4）乘客步行到最近的站点去乘车；

（5）每班公交车容量固定且相同；

（6）沿线乘客均匀分布且在同一时刻向最近站点出发，乘客所花费的时间从此时开始计时；

2、符号说明：

参数名称

符号

单位

每公里乘客人数

P

人/公里

路线的总长度

L

公里

站点停车时间

T0

分钟

公交车行驶时速

V车

公里/小时

乘客的步行时速

V人

公里/小时

班次间隔时间

Tc

分钟

第i站与第i+1站间距

Li（i=1,2,…,n+1）

公里

所有乘客花费的总时间

T

小时

五、模型的建立

使相同时间段的乘客花费时间最短，则满足条件：

。

。

。

。

。

。

。

。

同一时间段乘客所花费的时间模型依次为：

。

。

。

。

。

。

。

故总花费时间为：

六、模型的简化与求解

对于上述条件的化简可得差分方程：

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

其中

，

对于差分方程的求解需要给出初值L1（搜集数据表明0.5≤L1≤0.8）,依次求得：

Li（i=2,3,….,n+1）并且满足条件：

完整程序（采用C++语言编程计算，并且在visualC++6.0环境下调试成功）和结果参见附录。

求解部分结果及解释（单位是:

公里）

当L1=0.5时L2=1.2619L3=2.37211L4=3.98983L5=6.34709L6=9.78195

对应站点数为5；

所有乘客花费的时间为76.8035小时；

平均每个人花费的时间为0.667856小时；

七、结果分析与检验

由于L1的取值范围是0.5≤L1≤0.7，所以对L1的不同取值，Li有不同的结果：

L1

L2

L3

L4

L5

L6

0.5

1.2619

2.37211

3.98983

6.34709

9.78195

0.55

1.33476

2.47827

4.14453

6.57251

10.1104

0.6

1.40762

2.58444

4.29922

6.79792

10.4389

0.65

1.48048

2.6906

4.45392

7.02333

10.7673

0.7

1.55333

2.79676

4.60861

7.24874

11.0958

当L1=0.5时，

当L1=0.55时

当L1=0.60时

当L1=0.65时

当L1=0.7时

（单位：

公里）

根据题目所给数据，路线的总长度L=23公里，可知当L1=0.5公里，所设站点数为5时，最为合理。

八、模型的优缺点和改进方向

对于公交车站点的最优选址的问题，本文采用离散模型，嵌套连续模型，在求解相邻站点之间的距离时，运用求解差分方程的知识；在求解总时间时，运用数学分析里的级数求和方法。

模型的优点：

（1）本模型假设合理，接近现实生活。

（2）用差分方程表示出相邻间距的关系，再利用递推求解，整个模型的建立都没用到很复杂的算法，通俗易懂。

（4）在差分方程求解中，采用C++语言编程，在VisualC++6.0环境下调试运行，计算结果较为准确。

（5）.问题分析透彻，使得建立的模型容易理解。

建立的模型简洁、明了。

模型存在的不足：

（1）避免了一些实际问题，比如公交车行驶速度和乘客的步行速度均匀速。

（2）考虑到时间最少，致使最后站点之间的距离比较大，较不符合实际。

（3）本模型采用间接的方法，没有直接找出总时间T与站点n的关系.

改进方向：

基于模型的上述不足，在计算公交车和乘客所花费的时间时，应当运用运动学的方程进行计算，这样将使模型的更加复杂化，本文为了简化模型，提出了匀速的假设。

其次，在寻找最小站点n时，应建立总的时间T与n的函数关系，进而找到使T最小的n，但本文并没有这么做，而是采用间接的计算方法找到n的值。

最后，可根据实际情况，通过对相邻站点之间距离和站点的数量的进行适当调整，使得相邻站点之间的距离不至过大。

九、参考文献

[1]

[2]谢兆鸿，范正森，王艮远数学建模技术北京中国水利水电出版社2003

[3]蔡锁章，数学建模原理与方法海洋出版社2000版

十、附录

程序1：

计算Li（i=1,2,…,n+1）的值

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

intp=5,c=45;

doubleL[47],len[47],t[47],T[47];

//L[47]是46个站点；且L[1]不用。

len[k]是前k个站的长度

L[0]=0;len[0]=0;

t[0]=0;T[0]=0;

doublevr=8,vc=35,Length=23;//

doubleTc=10.0/60,T0=2.0/60;

cout<<"inputL[1]"<

cin>>L[1];len[1]=L[1];

doubleA=（2*vr/vc）+1,B=2*vr*T0;

for（intn=2;n<47;n++）

{

L[n]=A*L[n-1]+B;

len[n]=len[n-1]+L[n];

cout<

}

for（inti=0;i<47;i++）

{

t[i]=L[i+1]/（2*vr）+（Length-len[i]）/vc+（n-i）*T0+（（int）（（（len[i]-L[i]*0.5）*p/c）））*Tc;

T[i]=t[i]*（0.5*（L[i]+L[i+1]））;

}

doubleresult=0;

for（intj=0;j<7;j++）

result=result+T[j];

result=result/115.0;

cout<<"&&&&&&&&&&&&&&&"<

cout<

return0;

}

程序2：

测试数据

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

doubleL[11];

doublevr=8,vc=35;

doubleT0=2.0/60;

L[0]=0;

doubleA=（2*vr/vc）+1,B=2*vr*T0;

for（L[1]=0.5;L[1]<0.85;L[1]=L[1]+0.05）

{

cout<<"\n***************************\n";

cout<

for（intn=2;n<11;n++）//n<6,7,8…..11分别测试

{

L[n]=A*L[n-1]+B;

cout<

}

}

cout<

return0;

}