一元一次方程知识点整理.docx

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一元一次方程知识点整理

七年级上一元一次方程知识点整理

一、本章知识点梳理：

知识点一：

方程的相关概念知识点二：

解方程用方程解应用题知识点三：

二、各知识点分类讲解

知识点一：

方程的有关概念

（1）概念总结方程：

含有未知数的等式就叫做方程.1.

注意未知数的理解，等，都可以作为未知数

，这次）（元），并且未知数的指数都是1（2．一元一次方程：

只含有一个未知数样的方程叫做一元一次方程。

叫做方程；⑴方程：

含有未知数的

；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解

解方程叫做.求方程解的

:

方程的解与解方程.注意:

重点区分注：

⑴方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方或几个数值）它是一个数值（程无解的过程。

⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。

:

理解方程在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用

；①时，方程有唯一解

时，方程有无穷解；②

时，方程无解。

③

⑵一元一次方程：

在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数

是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为

.

3.判断一元一次方程的条件

1.首先是一元一次方程。

2.其次是必须只含有一个未知数

3.未知数的指数是1

4.分母中不含有未知数

例1:

判定下列那些方程，那些是一元一次方程？

，，

注意：

1、分式的含义，分式不能在方程中出现。

2、必须进行方程的化简，最后的结果中，仍然满足满足一元一次方程的定义时才可。

3、是字母，但不是未知数，是一个常数。

（2）典型例题

+3=④3（25）1③2（1例）、下列方程①-2

（1）=46.②一元一次方程共有（）个.1B.2C.3D.4

例2、如果

（1）+5=0是一元一次方程，那么m＝＿＿＿．

例3、一个一元一次方程的解为2，请写出一个这样的一元一次方程.

知识点二：

解方程

1：

等式的基本性质

等式的性质

（1）：

等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍是等式。

a±±c。

用式子形式表示为：

如果，那么

的数，结0

（2）：

等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为等式的性质果仍是等式。

;用式子形式表示为：

如果，那么如果（c≠0），那么=

关系的式子叫等式.⑴等式：

用等号“=”来表示

；⑵性质：

等式的性质①如果，那么

；如果，那等式的性质②如果，那么

么.

的数，分数的值不0要点诠释：

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为变。

m≠0）即：

（其中分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母特别须注意：

中的小数）化为整数，将其化为：

如方程：

。

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

典型例题

例1、已知等式，则下列等式中不一定成立的是（）

．．．

D）（B））（C（A（）

例2、下列说法正确的是（）

2可得+1B、在等式两边都除以cA、在等式中，两边都除以a，可得

两边都除b一22a、在等式D、在等式C，可得a两边都除以以b2，可得一、将等式例3428下列说法正确的是（4,）变形为2，没有运用等式的性质1运用了等式的性质A．

B运用了等式的性质2，没有运用等式的性质1

C既运用了等式的性质1，又运用等式的性质2

等式的两条性质都没有运用D．

解一元一次方程的一般步骤3.

常用步具体做法依据注意事项

骤去分母在方程两边都乘等式基本性质防止漏乘（尤其整数

以各分母的最小项）2，注意添括号；

公倍数

一般先去小括去括号法则、去括号注意变号，防止漏

乘；分配律号，再去中括号，

最后去大括号

移项要变号，等式基本性质移项不移不把含有未知数的

变号；项都移到方程的1

一边，其他项都移到方程的另一记住移项要边（）变号

计算要仔细，不要出合并同把方程化成＝合并同类项法差错；类项的形式b（a≠0）则

分子分系数化计算要仔细，等式基本性质在方程两边都除母勿颠倒以未知数的系数1成2

，得到方程a

＝的解x

典型例题

03－例＝1.巧解含有绝对值的方程－2|

解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一思路点拨：

直接对于只含一重绝对值符号的方程，般的一元一次方程。

依据绝对值的意义，；＝－xm去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，m即若＝，则x＝m或何意义进行去括号，如解法二。

也可以根据绝对值的几

3移项，得－2|＝解法一：

5＝3x当－2≥0时，原方程可化为x－2＝，解得x

。

（x当x－2＜0时，原方程可化为－－2）＝3，解得x＝－1

。

1或＝5x＝－的解有两个：

所以方程－2|－3＝0x

。

＝解法二：

移项，得－2|3

＝或2＝3x－2－33因为绝对值等于的数有两个：

3和－，所以x。

－3

。

1＝－＝分别解这两个一元一次方程，得解为x5或x

例2.运用拆项法解方程：

在解有分母的一元一次方程时，注意到思路点拨，：

有时可以使运算拆项后再合并，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，简便。

原方程逆用分数加减法法则，得解：

移项、合并同类项，得。

1系数化为，得

利用整体思想解方程：

3.例

因为含有思路点拨：

所以我们可以将的项均在“作为一个”中，

整体，先求出整体的值，进而再求的值。

解：

移项通分，得：

化简，得：

1得：

移项，系数化

一元一次方程练习题

）23、－－1）（5x＋2x）（－、12（x5）＋x－4＝3（

、4、3

5、k取什么整数时，方程24=

（2）·x的解是正整数？

得到的解为2x看成2x-为未知数）时，误将x（、小张在解方程6

，

请你求出原来方程的解

知识点三：

列一元一次方程解应用题一、列一元一次方程解应用题的一般步骤）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量1（关系．x，但有时也可以间接设未知数．

（2）设未知数，一般求什么就设什么为）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列（3

出方程．（4）解方程．

（5）检验，看方程的解是否符合题意．

）写出答案．（6

二、解应用题的书写格式：

设→根据题意→解这个方程→答。

三、常见的一些等量关系常见列方程解应用题的几种类型：

类型基本数量关系等量关系

抓住关键性词语①较大量＝较小量＋差、

（1）和、倍、分问题

多余量②总量＝倍数×倍量

变形前后体积相等积变形问题

（2）

等

甲走的路程＋乙（3）相遇问题路程＝速度×时间走的路程＝两地行距离程

出时同不地同追及问题问

题发：

前者走的路程＝追者走的路程

同时不同地出发：

前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程

顺流的距离＝逆顺流速度＝静水速度顺逆流问题

流的距离＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度抓住价格升降对售价=（4）打折销售问题标价（原价）×利润率的影响来/10

折数商品利润＝商品售价考虑－商品进价＝润率利

×100％售价＝进价×（1＋利）

润率各部分工作量之（5）工程问题工作总量＝工作效率1

×工作时间和＝抓住数字所在的设一个两位数的十位数字问题（6）

位置或新数、原个位上的数上的数字、ba字分别为，数之间的关系，则这10a个两位数可表示为

＋b

（7）储蓄问题利息＝本金×利率×本息和＝本金＋期数利息＝本金＋本金×利率×期数×（1－利息税率）

（8）按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c全部数量＝各种成分的数量之和（设一份为x）

（9）日历中的问题日历中每一行上相邻日历中的数a的两数，右边的数比左边取值范围是的数大1；日历中每一1≤a≤31，且都列上相邻的两数，下边是正整数

的数比上边的数大7

四、各类型题型分类讲解

1.和、差、倍、分问题：

增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量

（1）倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

（2）多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

例1：

兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

解：

设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，

则x年后兄的年龄是15，弟的年龄是9．

由题意，得2×（9）=15

18+215，移向得：

215-18

∴3

答：

3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．

年，是与3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的-3（点拨：

3?

年后具有相反意义的量）

1.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程.

2.用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是、.面积是.

2.等积变形题型

等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积＝成品体积。

典型例题：

一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50的无盖长1、

45000方体盒子，容积是.求原来正方形铁皮的边长。

用长7.2m的木料做成如图所示的“日”字形窗框，窗的高比宽多0.6m。

求窗的、2高和宽。

（不考虑木料加工时损耗）

鱼儿离不开水，用一个底面半径为20厘米，高为45厘米的圆柱形的塑料桶给一3、个长方形的玻璃养鱼缸倒水，养鱼缸的长为120厘米、宽为40厘米、高为1米，将满满一桶水倒下去，鱼缸里的水会升高多少？

3.行程问题：

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（1）相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：

快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

例1甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后1）慢车先开出1（

两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

解：

设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，14090

（1）=480

解：

设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140+90）480=600

解