一元一次方程知识点总结.docx
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一元一次方程知识点总结
一元一次方程
方程的有关概念
夯实基础
1．等式
用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。
温馨提示
①等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。
②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。
如
才是等式。
2．等式的性质
性质1：
等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
即如果
，那么
。
性质2：
等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
即如果
，那么
；如果
，那么
。
温馨提示
①等式类似天平，当天平两端放有相同质量的物体时，天平处于平衡状态。
若在天平的两端各加（或减）相同质量的物体，则天平仍处于平衡状态。
所以运用等式性质1时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的结果仍是等式，应特别注意“都”和“同一个”。
如
，左边加2，右边也加2，则有
。
②运用等式的性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母。
③等式性质的延伸：
a.对称性：
等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即如果
，那么
。
b.传递性：
如果
，那么
（也叫等量代换）。
例1：
用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式哪一条性质，以及怎样变形得到的。
（1）如果
，那么
；
（2）如果
，那么
；
（3）如果
，那么
。
3．方程
含有未知数的等式叫做方程。
温馨提示
方程有两层含义：
①方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。
②方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。
如
。
4．方程与等式的区别与联系
概念及其特点
区别
联系
方程
含有未知数的等式叫做方程。
一个式子是方程，要满足两个条件：
一是等式，
二含有未知数。
方程一定是等式，并且是含有未知数的等式。
方程是特殊的等式。
等式
用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
等式的主体是相等关系。
等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数。
方程和等式的关系式从属关系，且有不可逆性。
5．方程的解与解方程
内容
实质
方程的解
使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解
具体的数值
解方程
求方程的解的过程叫做解方程
变形的过程
温馨提示
①检验一个数是否是方程的解，只要用这个数代替方程中的未知数，如果方程两边的值相等，那么这个数就是方程的解；如果不相等，这个数就不是方程的解。
②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。
③等式的基本性质是解方程的依据。
④方程的解释结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。
例3：
下列方程中解为
的是（）
A.
B.
C.
D.
例4：
利用等式的性质解下列方程：
（1）
（2）
掌握方法
1．等量关系的确定方法
列方程解应用题是初中数学的一个重点也是一个难点，要突破这一难关，学会寻找等量关系是关键，那么怎样寻找应用题中的等量关系呢？
（1）从关键词中找等量关系；
（2）对于同一个量，从不同角度用不同的方法表示，得到等量关系；
（3）运用基本公式找等量关系；
（4）运用不变量找等量关系。
例1：
某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20％，设把
公顷旱地改为林地，则可列方程为（）。
A.
B.
C.
D.
2．利用方程的解求待定字母的方法
利用方程的解求方程中的待定字母时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题。
例2：
已知
是关于
的方程
的解，则
的值应为（）。
A.
B.
C.
D.
一元一次方程
解一元一次方程
夯实基础
1．一元一次方程
1.定义：
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
2.
标准形式：
方程
（其中
是未知数，
、
是已知数，并且
）叫做一元一次方程的标准形式。
温馨提示
①一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。
②一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为1。
如
，
，
都不是一元一次方程。
例1：
下列方程中，哪些是一元一次方程？
哪些不是？
（1）
；
（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
。
2．移项
1.定义：
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
2.示例：
解方程
时，可在方程的两边先加
，再减
，得
，即变形为
。
与原方程比较，这个变形过程如下：
温馨提示
①移项的原理就是等式的性质1。
②移项所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是方程的一边交换两个项的位置。
③移项时一定要改变所移动的项的符号，不移动的项不能变号。
如解方程
，
若移项，得
就出错了，原因是被移动的项“
”的符号没有改变，而改变了没有被移动的项“
”的符号。
④在移动时，最好先写左右两边不移动的项，再写移来的项。
例2：
下列各题中的变形为移项的是（）。
A.由
，得
B.由
，得
C.由
，得
D.由
，得
3．去括号与去分母
解一元一次方程的最终目标是要得到“
”这一结果。
为了达到这一目标，方程中有括号就要根据去括号法则去掉括号，即为去括号；方程中有分母的，根据等式性质2去掉分母，即为去分母。
温馨提示
（1）解含有括号的一元一次方程时，去括号时一般遵循去括号的基本法则。
但在实际去括号时，应根据方程的结构特点利用一些方法技巧，恰当地去括号，以简化运算。
对于一些特殊结构的方程，可采用以下去括号的技巧：
①先去外再去内。
即在解题时，打破常规，不是由内到外去括号，而是由外到内去括号。
②整体合并去括号。
有些方程，把含有的某些多项式看作整体，先合并，再去括号，往往会简单。
如，解方程
时，可把
看作整体先合并，再去括号。
（2）去分母时，在方程两边要同时乘以所有分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。
当分母时小数时，需要把分母化整。
同时注意分母化整只与这一项有关，而与其他项无关，要与去分母区分开。
例3：
下列方程去括号正确的是（）。
A.由
得
B.由
得
C.由
得
D.由
得
例4：
方程
，去分母正确的是（）。
A.
B.
C.
D.
4．解一元一次方程的一般步骤
步骤
具体做法
变形依据
去分母
在方程的两边同乘各分母的最小公倍数
等式性质2
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则、分配律
移项
把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号）
等式性质1
合并同类项
把方程化为
的形式
合并同类项法则
系数化为1
在方程的两边都除以未知数的系数
，得到方程的解
等式性质2
温馨提示
1.解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，根据方程的特点灵活运用。
2.在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：
去分母
（1）分子是多项式的，去分母后要加括号；
（2）不要漏乘不含分母的项
去括号
（1）括号前的数要乘括号内的每一项；
（2）括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号
移项
（1）移项时不要漏项；
（2）将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置
时不变号
合并同类项
按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当
系数化为1
（1）未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；
（2）未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数
例5：
解一元一次方程
。
掌握方法
1．一元一次方程概念的应用
原方程为一元一次方程，即未知数的次数为1，系数不为0，由此来确定原方程中待定字母的值。
例1：
（1）若
是关于
的一元一次方程，则
=；
（2）若方程
是关于
的一元一次方程，则
。
2．利用合并同类项与移项解方程的方法
（1）合并同类项时，不能用连等号与原方程相连。
（2）几个常数项也是同类项，移项时应该把它们放到一起。
（3）移项时把某项改变符号后移到等式的另一边，而不是等式一边的两项交换位置。
（4）移项必变号，不变号不能移项。
例2：
解方程：
（1）
；
（2）
。
3．利用去分母解方程的方法
利用等式的性质2，在方程的两边同时乘各分母的最小公倍数，将分母去掉，把系数为分数的方程转化为系数为整数的方程。
（1）分数线具有括号的作用，分子如果是一个多项式，去掉分母后，要把分母后，要把分子放在括号里。
（2）去分母时，不能漏乘不含分母的项。
例3：
解方程
。
4．含小数的一元一次方程的解法
将小数化成整数，是根据分数的基本性质把含小数的项的分子、分母乘同一个适当的数，而不是方程所有的项都乘这个数。
小数化成整数，是对分母含小数的项的恒等变形。
例4：
解方程：
。
5．有关同解方程的解题方法
如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程。
已知两个一元一次方程是同解方程，求其中待定字母的取值，主要有两种常见题型，其解法有所不同。
（1）在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知数的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值。
（2）如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定字母分别表示两个方程的解，并建立等式，形成关于这个待定字母的方程，求出该待定字母的值。
例5：
已知方程
的解与关于
的方程
的解相同，求
的值。
一元一次方程
列一元一次方程解应用题
夯实基础
1．列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审：
弄清题意和题目中的数量关系。
（2）设：
用字母表示题目中的一个未知量。
（3）找：
找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。
（4）列：
根据这个相等关系列出方程。
（5）解：
解所列的方程，求出未知数的值。
（6）验：
检验方程的解是否符合问题的实际意义。
（7）答：
写出答案。
二．设未知数的几种方法
设未知数的方法有三种：
（1）直接设未知数：
题目求什么就设什么为未知数。
（2）间接设未知数：
对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。
（3）设辅助未知数：
如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。
温馨提示
①采用直接设未知数的方法，原则是使分析条件更方便，列方程更简单，这样比较容易得到方程，同时还要兼顾所得到的方程求解时难易。
直接设未知数，好处是容易选取未知数，而且在解方程时可以直接得到问题的解。
②如果题目里涉及的几个量存在某种数量关系或某种比例关系，多采用间接设未知数的方法，间接设未知数是在直接设未知数、分析条件或列方程感到困难的时候才采取的方法。
其优点是列出方程和解方程的过程都比较容易。
③如果应用题涉及的量较多，各量之间的关系又不明显，若能设立适当的辅助未知数，把不明显的关系表示出来，就可以顺利地列出方程或方程组。
例1：
通讯员原计划5h从甲地到乙地，因为任务紧急，他每小时比原计划快3km，结果提前1h到达，求甲、乙两
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