第5章 假设检验习题.docx
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第5章假设检验习题
第五章假设检验
思考与练习
一、单项选择题
1．将由显著性水平所规定的拒绝域平分为两部分，置于概率分布的两边，每边占显著性水平的二分之一，这是（b）。
a.单侧检验b.双侧检验c.右侧检验d.左侧检验
2.检验功效定义为（b）。
a.原假设为真时将其接受的概率b.原假设不真时将其舍弃的概率
c.原假设为真时将其舍弃的概率d.原假设不真时将其接受的概率
3.符号检验中，（+）号的个数与（-）号的个数相差较远时，意味着（c）。
a.存在试验误差（随机误差）b.存在着条件误差
c.不存在什么误差d.既有抽样误差，也有条件误差
4.得出两总体的样本数据如下：
甲：
8，6，10，7，8乙：
5，11，6，9，7，10
秩和检验中，秩和最大可能值是（c）。
a.15b.48c.45d.66
二、多项选择题
1.显著性水平与检验拒绝域关系（abd）
a.显著性水平提高（α变小），意味着拒绝域缩小
b.显著性水平降低，意味着拒绝域扩大
c.显著性水平提高，意味着拒绝域扩大
d.显著性水平降低，意味着拒绝域扩大化
e.显著性水平提高或降低，不影响拒绝域的变化
2.β错误（acde）
a.是在原假设不真实的条件下发生
b.是在原假设真实的条件下发生
c.决定于原假设与真实值之间的差距
d.原假设与真实值之间的差距越大，犯β错误的可能性就越小
e.原假设与真实值之间的差距越小，犯β错误的可能性就越大
三、计算题
1．假设某产品的重量服从正态分布，现在从一批产品中随机抽取16件，测得平均重量为820克，标准差为60克，试以显著性水平=0.01与=0.05，分别检验这批产品的平均重量是否是800克。
解：
假设检验为
（产品重量应该使用双侧检验）。
采用t分布的检验统计量
。
查出
＝0.05和0.01两个水平下的临界值（df=n-1=15）为2.131和2.947。
。
因为
<2.131<2.947，所以在两个水平下都接受原假设。
2．某牌号彩电规定无故障时间为10000小时，厂家采取改进措施，现在从新批量彩电中抽取100台，测得平均无故障时间为10150小时，标准差为500小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加（=0.01）？
解：
假设检验为
（使用寿命有无显著增加，应该使用右侧检验）。
n=100可近似采用正态分布的检验统计量
。
查出
＝0.01水平下的反查正态概率表得到临界值2.32到2.34之间（因为表中给出的是双侧检验的接受域临界值，因此本题的单侧检验显著性水平应先乘以2，再查到对应的临界值）。
计算统计量值
。
因为z=3>2.34（>2.32），所以拒绝原假设，无故障时间有显著增加。
3．回顾本章开头的案例，医院从2008年元旦出生的新生儿中随机抽取了50名，测量他们的平均体重为3300克，而2007年元旦时抽取的50名新生儿的平均体重是3200克。
现假设根据以住的调查，新生儿体重的标准差是65克。
试问：
（1）以0.05的显著性水平，检验新生儿体重在这两年中是否有显著的变化？
（2）计算检验的p-值，并根据p-值重新检验
（1）中的结论。
解：
（1）假设检验为
。
新生儿体重服从正态分布，构造检验统计量
。
查出
＝0.05水平下的临界值为1.645。
计算统计量值
。
因为z>1.645，所以拒绝原假设。
（2）对应p值＝1/2*（1-F（z）），由于z=10.87857»3，可以认为p值几乎等于0，拒绝原假设。
（1）、
（2）都说明这两年新生儿的体重显著增加了。
4．某加油站经理希望了解驾车人士在该加油站的加油习惯。
在一周内，他随机地抽取100名驾车人士调查，得到如下结果：
平均加油量等于13.5加仑，样本标准差是3.2加仑，有19人购买无铅汽油。
试问：
（1）以0.05的显著性水平，是否有证据说明平均加油量并非12加仑？
（2）计算
（1）的p-值。
（3）以0.05的显著性水平来说，是否有证据说明少于20%的驾车者购买无铅汽油？
（4）计算（3）的p-值。
（5）在加油量服从正态分布假设下，若样本容量为25，计算
（1）和
（2）。
解：
（1）
（2）假设检验为
。
采用正态分布的检验统计量
。
查出
＝0.05水平下的临界值为1.96。
计算统计量值
。
因为z=4.6875>1.96，所以拒绝原假设。
对应p值＝2（1-F（z）），查表得到F（z）在0.999994和0.999999之间，所以p值在0.000006和0.000001之间（因为表中给出了双侧检验的接受域概率，因此本题中双侧检验的p值＝1-F（|z|），直接查表即得F（|z|））。
p值<0.05，拒绝原假设。
都说明平均加油量并非12加仑。
（3）（4）假设检验为
。
采用成数检验统计量
。
查出
＝0.05水平下的临界值为1.64和1.65之间。
计算统计量值
，因此z＝－2.5<-1.65（<-1.64），所以拒绝原假设。
p值为0.00062（因为本题为单侧检验，p值＝（1-F（|z|））/2）。
显然p值<0.05，所以拒绝原假设。
（5）假设检验为
。
采用正态分布的检验统计量
。
查出
＝0.05水平下的临界值为1.96。
计算统计量值
。
因为z=2.344>1.96，所以拒绝原假设。
对应p值＝2（1-F（z）），查表得到F（z）在0.9807和0.9817之间，所以p值在0.0193和0.0183之间（因为表中给出了双侧检验的接受域概率，因此本题中双侧检验的p值＝1-F（|z|），直接查表即得F（|z|））。
显然p值<0.05，拒绝原假设。
5．某市全部职工中，平常订阅某种报纸的占40%，最近从订阅率来看似乎出现减少的现象，随机抽200户职工家庭进行调查，有76户职工订阅该报纸，问报纸的订阅率是否显著降低（=0.05）？
解：
假设检验为
。
采用成数检验统计量
。
查出
＝0.05水平下的临界值为1.64和1.65之间。
计算统计量值
，z＝-0.577>-1.64，所以接受原假设。
p值为0.48和0.476之间（因为本题为单侧检验，p值＝（1-F（|z|））/2）。
显然p值>0.05，所以接受原假设，抽样没有表明报纸订阅率显著下降。
6．某型号的汽车轮胎耐用里程按正态分布，其平均耐用里程为25000公里。
现在从某厂生产的轮胎随机取10个进行里程测试，结果数据如下：
2540025600253002490025500
2480025000248002520025700
根据以上数据，检验该厂轮胎的耐用里程是否存在显著性的差异（=0.05）。
再用p-值重新检验，结论是否一致。
解：
由Excel得:
里程数
H0:
平均里程＝25000，H1:
平均里程>25000
25400
总体平均值＝
25000
25600
样本平均值（average（）函数）＝
25220
25300
样本标准差（=STDEV（）函数）＝
332.666
24900
df=n-1=
9
25500
alpha=
0.05
24800
25000
t统计量＝
2.09129
24800
临界值（tinv（2*0.05,n-1））＝
1.833114
25200
25700
p值（tdist（t统计量,n-1,1））＝
0.033023
可见，t=2.09129>1.833114，所以拒绝原假设。
而p值=0.033023<0.05，同样要拒绝原假设。
抽样说明该厂轮胎耐用里程显著增加。
7．从某铁矿南北两段各抽取容量为10的样本，随机配成10对如下：
南段含铁量
28
20
4
32
8
12
16
48
8
20
北段含铁量
20
11
13
10
45
15
11
13
25
8
试用符号检验法，在=0.05的条件下，检验“南北两段含铁量无显著差异”的假设。
解：
南段
28
20
4
32
8
12
16
48
8
20
北段
20
11
13
10
45
15
11
13
25
8
差值符号
+
+
-
+
-
-
+
+
-
+
n+个数＝6n-个数＝4n个数＝10临界值＝9因为6<9，所以认为南段和北段含铁量无显著差异。
8．在14对条件相同的地块上分别播下种籽A和种籽B，其收获量纪录如下表，试以显著性水平=0.05，用秩和检验法检验两种种籽的收获量是否存在显著性的差异。
种籽收获量记录
（单位：
公斤）
A种籽
B种籽
A种籽
B种籽
33
48
44
34
18
17
25
37
40
24
46
47
50
22
36
13
54
38
53
27
30
41
35
30
39
20
42
25
解：
将样本混合排序，有：
A
B
秩A
秩B
13
1
17
2
18
3
20
4
22
5
24
6
25
7.5
25
7.5
27
9
30
10.5
30
10.5
33
12
34
13
35
14
36
15
37
16
38
17
39
18
40
19
41
20
42
21
44
22
46
23
47
24
48
25
50
26
53
27
54
28
由Excel得：
H0:
无显著差异；H1:
有显著差异
取A为总体I，B为总体II，n1=n2=14
总体I的秩和T=
246
alpha＝
0.05
n=n1+n2=
28
T平均=n1*（n+1）/2=
203
标准差=
21.76388
Z统计量=
1.97575
临界值＝
1.96
p值＝
0.048183
由表可知，Z=1.97575>1.96，且p值=0.048<0.05，所以可以拒绝原假设，两种种籽的收获量存在显著差异。
9．某汽油站有两种商标的汽油A和B，某天售出的50桶汽油可按商标A和B排成这样的顺序：
AABAABABBAAABBABBABBABBAB
AABBBBAABABABAAABAAAAABB
试问：
在显著性水平=0.05条件下，这一序列是否有随机性？
解：
因为A（8个），AA（4个），AAA（2个），AAAAA（1个），B（7个），BB（6个），BBBB（1个）。
n1=27，n2=23。
假设检验H0:
样本为随机样本，H1:
样本为非随机样本。
求出游程总和。
R1=15，R2=14，R=29。
因为
，
构造统计量
。
由于
=0.05的临界值为1.96，z=0.909<1.96，所以接受原假设，序列是随机的。
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