当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为.
思维升华 求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
（1）求函数在（a，b）内的极值；
（2）求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）；
（3）将函数f（x）的极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
设函数f（x）＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f（x）>a，则实数a的取值范围是________________.
答案 （－∞，）
解析 由题意知，f′（x）＝3x2－x－2，
令f′（x）＝0，得3x2－x－2＝0，
解得x＝1或x＝－，
又f
（1）＝，f（－）＝，
f（－1）＝，f
（2）＝7，
故f（x）min＝，∴a<.
题型三 函数极值和最值的综合问题
例5 已知函数f（x）＝（a>0）的导函数y＝f′（x）的两个零点为－3和0.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的极小值为－e3，求f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值.
解
（1）f′（x）＝
＝.
令g（x）＝－ax2＋（2a－b）x＋b－c，
因为ex>0，所以y＝f′（x）的零点就是g（x）＝－ax2＋（2a－b）x＋b－c的零点且f′（x）与g（x）符号相同.
又因为a>0，所以当－30，即f′（x）>0，
当x<－3或x>0时，g（x）<0，即f′（x）<0，
所以f（x）的单调增区间是（－3,0），单调减区间是（－∞，－3），（0，＋∞）.
（2）由
（1）知，x＝－3是f（x）的极小值点，
所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f（x）＝.
因为f（x）的单调递增区间是（－3,0），单调递减区间是（－∞，－3），（0，＋∞），
所以f（0）＝5为函数f（x）的极大值，
故f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值取f（－5）和f（0）中的最大者，而f（－5）＝＝5e5>5＝f（0），
所以函数f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值是5e5.
思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
若函数f（x）＝x3＋x2－在区间（a，a＋5）上存在最小值，则实数a的取值范围是________.
答案 [－3,0）
解析 由题意，得f′（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），
故f（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上是增函数，
在（－2,0）上是减函数，作出其图象如图所示，
令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，
则结合图象可知，解得a∈[－3,0）.
3.利用导数求函数的最值
典例 （16分）已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a>0时，求函数f（x）在[1,2]上的最小值.
思维点拨
（1）已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′（x）>0，f′（x）<0的解区间，并注意定义域.
（2）先研究f（x）在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.（3）两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论.
规范解答
解
（1）f′（x）＝－a（x>0），
①当a≤0时，f′（x）＝－a>0，即函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）.[2分]
②当a>0时，令f′（x）＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f′（x）＝<0，
故函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为.[6分]
综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）；
当a>0时，函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为.[7分]
（2）①当≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1,2]上是减函数，所以f（x）的最小值是f
（2）＝ln2－2a.[9分]
②当≥2，即0（1）＝－a.
[11分]
③当1<<2，即（2）－f
（1）＝ln2－a，
所以当（1）＝－a；
当ln2≤a<1时，最小值为f
（2）＝ln2－2a.[14分]
综上可知，
当0当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2－2a.[16分]
用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题
第一步：
（求导数）求函数f（x）的导数f′（x）；
第二步：
（求极值）求f（x）在给定区间上的单调性和极值；
第三步：
（求端点值）求f（x）在给定区间上的端点值；
第四步：
（求最值）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值；
第五步：
（反思）反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.
1.函数f（x）＝x3－4x＋4的极大值为________.
答案
解析 f′（x）＝x2－4＝（x＋2）（x－2），
f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2,2）上单调递减，
在（2，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极大值为f（－2）＝.
2.（2016·四川改编）已知a为函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝________.
答案 2
解析 ∵f（x）＝x3－12x，∴f′（x）＝3x2－12，
令f′（x）＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈（－∞，－2），（2，＋∞）时，f′（x）>0，则f（x）单调递增；
当x∈（－2,2）时，f′（x）<0，则f（x）单调递减，
∴f（x）的极小值点为a＝2.
3.若函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________.
答案 －71
解析 f′（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）.
由f′（x）＝0，得x＝3或x＝－1.
又f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27，
f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.
由f（x）max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f（x）min＝k－76＝－71.
4.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________________.
答案 （－∞，－3）∪（6，＋∞）
解析 ∵f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6），
由已知可得f′（x）＝0有两个不相等的实根.
∴Δ＝4a2－4×3（a＋6）>0，即a2－3a－18>0.
∴a>6或a<－3.
5.设函数f（x）满足x2f′（x）＋2xf（x）＝，f
（2）＝，则下面关于当x>0时，f（x）的极值说法正确的是________.
①有极大值，无极小值；
②有极小值，无极大值；
③既有极大值又有极小值；
④既无极大值也无极小值.
答案 ④
解析 由题意知[x2f（x）]′＝，
令g（x）＝x2f（x），则g′（x）＝且f（x）＝，
因此f′（x）＝＝.
令h（x）＝ex－2g（x）,
则h′（x）＝ex－2g′（x）＝ex－＝，
所以当x>2时，h′（x）>0；当0从而有h（x）≥h
（2）＝0，即f′（x）≥0，
所以当x>0时，f（x）是单调递增的，
故f（x）既无极大值也无极小值.
6.（2016·南京模拟）已知y＝f（x）是奇函数，当x∈（0,2）时，f（x）＝lnx－ax（a>），当x∈（－2,0）时，f（x）的最小值为1，则a＝________.
答案 1
解析 由题意知，当x∈（0,2）时，f（x）的最大值为－1.
令f′（x）＝－a＝0，得x＝，
当00；
当x>时，f′（x）<0.
∴f（x）max＝f（）＝－lna－1＝－1，
解得a＝1.
7.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f
（2）＝________.
答案 18
解析 ∵函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
∴f
（1）＝10，且f′
（1）＝0，
即解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去.
∴f（x）＝x3＋4x2－11x＋16，∴f
（2）＝18.
8.函数f（x）＝x3－3a2x＋a（a>0）的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________.
答案 （，＋∞）
解析 f′（x）＝3x2－3a2＝3（x＋a）（x－a），
由f′（x）＝0得x＝±a，
当－a当x>a或x<－a时，f′（x）>0，函数递增.
∴f（－a）＝－a3＋3a3＋a>0且f（a）＝a3－3a3＋a<0，
解得a>.∴a的取值范围是（，＋∞）.
9.（2016·徐州模拟）已知函数f（x）＝x3－x2－x＋m在[0,1]上的最小值为，则实数m的值为________.
答案 2
解析 由f（x）＝x3－x2－x＋m，
可得f′（x）＝x2－2x－1，
令x2－2x－1＝0，可得x＝1±.
当x∈（1－，1＋）时，f′（x）<0，
即函数f（x）在（1－，1＋）上是减函数，
即f（x）在[0,1]上的最小值为f
（1），
所以－1－1＋m＝，解得m＝2.
10.（2016·南京模拟）已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f（m）的最小值为________.
答案 －4
解析 f′（x）＝－3x2＋2ax，由f（x）在x＝2处取得极值知f′
（2）＝0.
即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f（x）＝－x3＋3x2－4.
f′（x）＝－3x2＋6x，由此可得f（x）在（－1,0）上单调递减，在（0,1）上单调递增，
∴对m∈[－1,1]时，f（m）min＝f（0）＝－4.
11.已知函数f（x）＝xlnx.若对于任意x∈[，e]，不等式2f（x）≤－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为__________________.
答案 [－2＋＋3e，＋∞）
解析 由题意知，2xlnx≤－x2＋ax－3，则a≥2lnx＋x＋.设h（x）＝2lnx＋x＋（x＞0），则h′（x）＝＋1－＝.当x∈[，1）时，h′（x）<0，h（x）单调递减；当x∈（1，e]时，h′（x）>0，h（x）单调递增.由h（）＝－2＋＋3e，h（e）＝2＋e＋，h（）－h（e）＝2e－－4>0，可得h（）>h（e）.所以当x∈[，e]时，h（x）的最大值为h（）＝－2＋＋3e.故a≥－2＋＋3e.
12.设f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线与y轴相交于点（0,6）.
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值.
解
（1）因为f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，
所以f′（x）＝2a（x－5）＋.
令x＝1，得f
（1）＝16a，f′
（1）＝6－8a，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为
y－16a＝（6－8a）（x－1），
由点（0,6）在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝.
（2）由
（1）知，f（x）＝（x－5）2＋6lnx（x>0），
f′（x）＝x－5＋＝.
令f′（x）＝0，解得x＝2或3.
当03时，f′（x）>0，
故f（x）在（0,2），（3，＋∞）上为增函数；
当2由此可知f（x）在x＝2处取得极大值f
（2）＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f（3）＝2＋6ln3.
综上，f（x）的单调递增区间为（0,2），（3，＋∞），单调递减区间为（2,3），f（x）的极大值为＋6ln2，极小值为2＋6ln3.
13.已知函数f（x）＝ax2＋bx－lnx（a>0，b∈R）.
（1）设a＝1，b＝－1，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x>0，f（x）≥f
（1），试比较lna与－2b的大小.
解
（1）由f（x）＝ax2＋bx－lnx，x∈（0，＋∞），
得f′（x）＝.
∵a＝1，b＝－1，
∴f′（x）＝＝（x>0）.
令f′（x）＝0，得x＝1.
当0当x>1时，f′（x）>0，f（x）单调递增.
∴f（x）的单调递减区间是（0,1）；
单调递增区间是（1，＋∞）.
（2）由题意可知，f（x）在x＝1处取得最小值，
即x＝1是f（x）的极值点，
∴f′
（1）＝0，∴2a＋b＝1，即b＝1－2a.
令g（x）＝2－4x＋lnx（x>0），则g′（x）＝.
令g′（x）＝0，得x＝.
当00，g（x）单调递增，
当x>时，g′（x）<0，g（x）单调递减，
∴g（x）≤g（）＝1＋ln
＝1－ln4<0，
∴g（a）<0，即2－4a＋lna＝2b＋lna<0，
故lna<－2b.
升级会员 