7年级知识梳理.docx

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7年级知识梳理

7年级知识梳理

一、有理数

（一）有理数

1、有理数的分类：

按有理数的定义分类：

按有理数的性质符号分类：

正整数正整数

整数零正有理数

有理数负整数正分数

正分数有理数0

分数负整数

负整数负有理数

负分数

2、正数和负数用来表示具有相反意义的数。

（二）数轴

1、定义：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2、数轴的三要素是：

原点、正方向、单位长度。

（三）相反数

1、定义：

只有符号不同的两个数互为相反数。

2、几何定义：

在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫

做互为相反数。

3、代数定义：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。

（四）绝对值

1、定义：

在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

2、几何定义：

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

3、代数定义：

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值

是0。

a（a＞0），

即对于任何有理数a,都有|a|＝0（a＝0）

–a（a＜0）

4、绝对值的计算规律：

（1）互为相反数的两个数的绝对值相等.

（2）若|a|＝|b|,则a＝b或a＝－b.

（3）若|a|+|b|＝0，则|a|＝0，且|b|＝0.

相关结论：

（1）0的相反数是它本身。

（2）非负数的绝对值是它本身。

（3）非正数的绝对值是它的相反数。

（4）绝对值最小的数是0。

（5）互为相反数的两个数的绝对值相等。

（6）任何数的绝对值都是它的正数或0，即|a|≥0。

（五）倒数

1、定义：

乘积为“1”的两个数互为倒数。

2、求法：

颠倒这个数的分子和分母。

3、a（a≠0）的倒数是

.

有理数的运算

一、有理数的加法法则：

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、一个数同零相加，仍得这个数；

4、两个互为相反数的两个数相加得0。

二、有理数的减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

三、有理数的乘法法则：

1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

2、任何数同0相乘，都得0；

3、乘积是1的两个数互为倒数。

四、有理数的除法法则：

1、除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；

2、两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的

数，都得0。

五、乘方

1、定义：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。

2、幂的符号法则：

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；

0的任何次正整数次幂都是0。

六、有理数的混合运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

七、科学计数法、有效数字、近似数

1、科学计数法

（1）定义：

把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10，n是正整数），这种计数方法叫做科学计数法。

（2）用科学计数法表示一个n位整数，其中10的指数是这个数的整数位数减1。

2、有效数字的定义：

四舍五入后的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数

字，都叫做这个数的有效数字。

3、近似数的定义：

一个数与准确数相近（比准确数略多或者略少些）,这一个数称之为近似数。

整式的加减

一、单项式、多项式、整式的概念

单项式：

由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

多项式：

几个单项式的和叫做多项式。

整式：

单项式与多项式统称整式。

二、单项式的系数和次数

单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。

三、多项式的项、常数项、次数

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项，多项式中

次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

四、同类项的概念：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有常数项都是同类项。

五、合并同类项的法则：

　　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

六、合并同类项步骤：

⑴．准确的找出同类项。

⑵．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

⑶．写出合并后的结果。

七、升幂排列与降幂排列

为便于多项式的运算，可以用加法的交换律将多项式各项的位置按某一字母指数大小顺序重新排列。

若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。

若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。

八、去括号的法则

括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；

括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。

九、整式加减的一般步骤是：

（1）如果遇到括号．按去括号法则先去括号：

括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。

括号里各项都不变符号；

括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号。

（2）合并同类项：

同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变。

一元一次方程

一、一元一次方程的概念

定义：

方程中只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），未知数的式子都是

整式，这样的方程叫做一元一次方程。

等式的性质1：

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果a=b,那么a±c=b±c

等式的性质2：

等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0）,那么

=

移项：

把方程中的某一项，改变符号后，从方程的左边（右边）移到右边（左边），这种

变形叫做移项。

解一元一次方程的一般步骤：

1.去分母：

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； 

2.去括号：

先去小括号，再去中括号，最后去大括号； 

3.移项：

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边； 

4.合并同类项：

把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

5.系数化成1：

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=

图形认识初步

一、常见的立体图形：

柱形、锥体、球体

1、柱体中有①圆柱：

底面是圆，侧面是曲面；②棱柱：

底面是多边形，侧面是长方形；

2、锥体中有①圆锥：

底面是圆，侧面是曲面；②棱锥：

底面是多边形，侧面是三角形；

二、几何图形都是由点、线、面、体组成的

包围着体的是面，面与面相接的地方是线，线和线相交的地方是点。

点动成线，线动成面，面动成体，体、面、线、点都是几何图形。

三、直线、射线、线段

1、直线

（1）概念：

向两方无限延伸的的一条笔直的线。

如代数中的数轴，就是一条直线（它只规定了原点、方向和长度单位）。

（2）基本性质：

经过两点有一条直线，并且只有一条直线；也可以简单地说“两点确定

一条直线”。

（3）特点：

①直线没有长短，向两方无限延伸；②直线没有粗细；③两点确定一条直线；

④两条直线相交有唯一一个交点。

2、射线

（1）概念：

直线上一点和它一旁的部分叫做射线。

（2）特点：

只有一个端点，向一方无限延伸，无法度量。

3、线段

（1）概念：

直线上两点和它们之间的部分叫做线段。

线段有两个端点，有长度。

（2）基本性质：

两点之间线段最短。

（3）特点：

有两个端点，不能向任何一方延伸，可以度量，可以较长短。

4、线段的中点：

把一条线段分成两条相等线段的点。

四、角

1、角的概念：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两

条射线是角的两条边。

3、角度制及换算

（1）角度制的概念：

以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。

（2）角度制的换算：

1°=60′　1′=60″　1周角=360°　1平角=180°　1直角=90°

（3）换算方法：

把高级单位转化为低级单位要乘进率；把低级单位转化为高级单位要除以进率；

转化时必须逐级进行，“越级”转化容易出错。

4、角的大小的比较：

（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较；

（2）度量法。

5、角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

6、余角和补角：

（1）余角：

如果两个角的和等于90°（直角），那么这两个角互为余角，其中一个角是另

一个角的余角；

（2）补角：

如果两个角的和等于180°（平角），那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角；

（3）余角的性质：

等角的余角相等；

等角的性质：

同角的补角相等。

代数初步知识

1.代数式：

用运算符号“＋－×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：

用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式.

2.列代数式的几个注意事项：

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写；

（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号；

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；

（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×

应写成

a；

（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成

的形式；

（6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.

3.几个重要的代数式：

（m、n表示整数）

（1）a与b的平方差是：

a2-b2；a与b差的平方是：

（a-b）2；

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：

10a+b,则三位整数是：

100a+10b+c；

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：

5m+n；偶数是：

2n，奇数是：

2n+1；三个连续整数是：

n-1、n、n+1；

（4）若b＞0，则正数是:

a2+b，负数是：

-a2-b，非负数是：

a2，非正数是：

-a2.

有理数

1.有理数：

（1）凡能写成

形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：

0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；

（2）有理数的分类:

①

②

（3）注意：

有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；

（4）自然数0和正整数；a＞0a是正数；a＜0a是负数；

a≥0a是正数或0a是非负数；a≤0a是负数或0a是非正数.

2．数轴：

数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

3．相反数：

（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

（2）注意：

a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

（3）相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.

4.绝对值：

（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：

绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

（2）绝对值可表示为：

或

；绝对值的问题经常分类讨论；

（3）

；

；

（4）|a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：

|a|·|b|=|a·b|,

.

5.有理数比大小：

（1）正数的绝对值越大，这个数越大；

（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.

6.互为倒数：

乘积为1的两个数互为倒数；注意：

0没有倒数；若a≠0，那么

的倒数是

；倒数是本身的数是±1；若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数.

7.有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

8．有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：

a+b=b+a；

（2）加法的结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）.

9．有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

10有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

11有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：

ab=ba；

（2）乘法的结合律：

（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：

a（b+c）=ab+ac.

12．有理数除法法则：

除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：

零不能做除数，

.

13．有理数乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：

当n为正奇数时:

（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时:

（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n.

14．乘方的定义：

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0；

（4）据规律

底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.

15．科学记数法：

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

16.近似数的精确位：

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

17.有效数字：

从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

18.混合运算法则：

先乘方，后乘除，最后加减；注意：

怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.

19.特殊值法：

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.

整式的加减

1．单项式：

在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.

2．单项式的系数与次数：

单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.

3．多项式：

几个单项式的和叫多项式.

4．多项式的项数与次数：

多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：

（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.

5．整式：

凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.

整式分类为：

.

6．同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.

7．合并同类项法则：

系数相加，字母与字母的指数不变.

8．去（添）括号法则：

去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.

9．整式的加减：

整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.

10.多项式的升幂和降幂排列：

把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：

多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.

一元一次方程

1．等式与等量：

用“=”号连接而成的式子叫等式.注意：

“等量就能代入”！

2．等式的性质：

等式性质1：

等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

等式性质2：

等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.

3．方程：

含未知数的等式，叫方程.

4．方程的解：

使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：

“方程的解就能代入”！

5．移项：

改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.

6．一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.

7．一元一次方程的标准形式：

ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.

8．一元一次方程的最简形式：

ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.

9．一元一次方程解法的一般步骤：

整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为1……（检验方程的解）.

10．列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法:

…………多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：

“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

（2）画图分析法:

…………多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

11．列方程解应用题的常用公式：

（1）行程问题：

距离=速度·时间

；

（2）工程问题：

工作量=工效·工时

；

（3）比率问题：

部分=全体·比率

；

（4）顺逆流问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

（5）商品价格问题：

售价=定价·折·

，利润=售价-成本，

；

（6）周长、面积、体积问题：

C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2（a+b），S长方形=ab，C正方形=4a，

S正方形=a2，S环形=π（R2-r2）,V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=

πR2h.