步步高二轮复习专题一 第1讲 集合与常用逻辑用语.docx

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步步高二轮复习专题一第1讲集合与常用逻辑用语

第1讲　集合与常用逻辑用语

考情解读

　1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．

1．集合的概念、关系

（1）集合中元素的特性：

确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．

（2）集合与集合之间的关系：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.

2．集合的基本运算

（1）交集：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

（2）并集：

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

（3）补集：

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

重要结论：

A∩B＝A⇔A⊆B；

A∪B＝A⇔B⊆A.

3．四种命题及其关系

四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命

题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．

4．充分条件与必要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．

5．简单的逻辑联结词

（1）命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．

（2）命题p∨q的否定是（綈p）∧（綈q）；命题p∧q的否定是（綈p）∨（綈q）．

6．全称量词与存在量词

“∀x∈M，p（x）”的否定为“∃x0∈M，綈p（x0）”；“∃x0∈M，p（x0）”的否定为“∀x∈M，綈p（x）”.

热点一　集合的关系及运算

例1

（1）（2014·四川）已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于（　　）

A．{－1,0,1,2}B．{－2，－1,0,1}

C．{0,1}D．{－1,0}

（2）（2013·广东）设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x

A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S

B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S

D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S

思维启迪　明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.

（2）因为（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则（y，z，w）＝（3,4,1）∈S，（x，y，w）＝（2,3,1）∈S，故（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B.

思维升华　

（1）对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．

（2）对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．

（1）已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1

A．M⊆NB．N＝M

C．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝（1,4）

（2）（2013·山东）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3C．5D．9

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）集合N是要求在（1,4）范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1

（2）x－y∈

.

热点二　四种命题与充要条件

例2

（1）（2014·天津）设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

（2）（2014·江西）下列叙述中正确的是（　　）

A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”

B．若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”

C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”

D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β

思维启迪　要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；

当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；

当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.

综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.

（2）由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；

因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：

垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．

思维升华　

（1）四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；

（2）充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．

（1）命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．

（2）“log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）

答案　

（1）若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数　

（2）充分不必要

解析　

（1）判断词“都是”的否定是“不都是”．

（2）由log3M>log3N，又因为对数函数y＝log3x在定义域（0，＋∞）单调递增，所以M>N；当M>N时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不一定有意义．故不能推出log3M>log3N，所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件．

热点三　逻辑联结词、量词

例3

（1）已知命题p：

∃x∈R，x－2>lgx，命题q：

∀x∈R，sinx

A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题

C．命题p∧（綈q）是真命题D．命题p∨（綈q）是假命题

（2）（2013·四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：

∀x∈A,2x∈B，则（　　）

A．綈p：

∀x∈A,2x∈BB．綈p：

∀x∉A,2x∉B

C．綈p：

∃x∉A,2x∈BD．綈p：

∃x∈A,2x∉B

思维启迪　

（1）先判断命题p、q的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；

（2）含量词的命题的否定既要否定量词，还要否定判断词．

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）对于命题p，取x＝10，则有10－2>lg10，即8>1，故命题p为真命题；对于命题q，取x＝－

，则sinx＝sin（－

）＝－1，此时sinx>x，故命题q为假命题，因此命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，命题p∧（綈q）是真命题，命题p∨（綈q）是真命题，故选C.

（2）命题p：

∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.

思维升华　

（1）命题的否定和否命题是两个不同的概念：

命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；

（2）判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．

（1）已知命题p：

在△ABC中，“C>B”是“sinC>sinB”的充分不必要条件；命题q：

“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是（　　）

A．p真q假B．p假q真

C．“p∧q”为假D．“p∧q”为真

（2）已知命题p：

“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：

“∃x0∈R，

＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“（綈p）∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤－2或a＝1B．a≤2或1≤a≤2

C．a>1D．－2≤a≤1

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）△ABC中，C>B⇔c>b⇔2RsinC>2RsinB（R为△ABC外接圆半径），

所以C>B⇔sinC>sinB.

故“C>B”是“sinC>sinB”的充要条件，命题p是假命题．

若c＝0，当a>b时，则ac2＝0＝bc2，故a>b

ac2>bc2，若ac2>bc2，则必有c≠0，则c2>0，则有a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q也是假命题，故选C.

（2）命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，

＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4（2－a）≥0，解得a≥1或a≤－2.（綈p）∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.

1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．

2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．

3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．

4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.

真题感悟

1．（2014·浙江）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于（　　）

A．∅B．{2}

C．{5}D．{2,5}

答案　B

解析　因为A＝{x∈N|x≤－

或x≥

}，

所以∁UA＝{x∈N|2≤x<

}，故∁UA＝{2}．

2．（2014·重庆）已知命题

p：

对任意x∈R，总有2x>0；

q：

“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．

则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．綈p∧綈q

C．綈p∧qD．p∧綈q

答案　D

解析　因为指数函数的值域为（0，＋∞），所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故选D.

押题精练

1．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是（　　）

A．（0,1]B．[1，＋∞）

C．（0,1）D．（1，＋∞）

答案　B

解析　A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c），因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.应选B.

2．若命题p：

函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：

函数y＝x－

的单调递增区间是[1，＋∞），则（　　）

A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题

C．綈p是真命题D．綈q是真命题

答案　D

解析　因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），所以p是真命题；因为函数y＝x－

的单调递增区间是（－∞，0）和（0，＋∞），所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.

3．函数f（x）＝

有且只有一个零点的充分不必要条件是（　　）

A．a<0B．0

C.

1

答案　A

解析　因为函数f（x）过点（1,0），所以函数f（x）有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a（x≤0）没有零点⇔函数y＝2x（x≤0）与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.

所以函数f（x）有且只有一个零点的充分必要条件是a≤0或a>1，应排除D；当0

时，函数y＝－2x＋a（x≤0）有一个零点，即函数f（x）有两个零点，此时0

是函数f（x）有且只有一个零点的既不充分也不必要条件，应排除B；同理，可排除C，应选A.

（推荐时间：

40分钟）

一、选择题

1．（2014·陕西）设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N等于（　　）

A．[0,1]B．[0,1）

C．（0,1]D．（0,1）

答案　B

解析　N＝{x|－1

2．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{5,6,7}，C＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＋y∈B}，则C中所含元素的个数为（　　）

A．5B．6

C．12D．13

答案　D

解析　若x＝5∈A，y＝1∈A，则x＋y＝5＋1＝6∈B，即点（5,1）∈C；同理，（5,2）∈C，（4,1）∈C，（4,2）∈C，（4,3）∈C，（3,2）∈C，（3,3）∈C，（3,4）∈C，（2,3）∈C，（2,4）∈C，（2,5）∈C，（1,4）∈C，（1,5）∈C.所以C中所含元素的个数为13，应选D.

3．设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝

}，B＝{x∈Z|－1

A．3B．4

C．7D．8

答案　C

解析　因为A＝{x∈N|y＝

}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，所以其真子集有：

∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．

4．“（m－1）（a－1）>0”是“logam>0”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　（m－1）（a－1）>0等价于

或

logam>0等价于

或

所以前者是后者的必要不充分条件，故选B.

5．已知命题p：

∃x∈（0，

），使得cosx≤x，则该命题的否定是（　　）

A．∃x∈（0，

），使得cosx>x

B．∀x∈（0，

），使得cosx≥x

C．∀x∈（0，

），使得cosx>x

D．∀x∈（0，

），使得cosx≤x

答案　C

解析　原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cosx≤x”的否定是

“cosx>x”，故选C.

6．在△ABC中，“A＝60°”是“cosA＝

”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　在A＝60°时，有cosA＝

，因为角A是△ABC的内角，所以，当cosA＝

时，也只有A＝60°，因此，是充分必要条件．

7．（2013·湖北）已知全集为R，集合A＝

，B＝

，则A∩∁RB等于（　　）

A．{x|x≤0}

B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0≤x<2或x>4}

D．{x|0

答案　C

解析　∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，

∴A∩∁RB＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}

＝{x|0≤x<2或x>4}．

8．已知集合A＝{（x，y）|x＋y－1＝0，x，y∈R}，B＝{（x，y）|y＝x2＋1，x，y∈R}，则集合A∩B的元素个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　C

解析　集合A表示直线l：

x＋y－1＝0上的点的集合，集合B表示抛物线C：

y＝x2＋1上的点的集合．

由

消去y得x2＋x＝0，

由于Δ>0，所以直线l与抛物线C有两个交点．

即A∩B有两个元素．故选C.

9．设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图象关于直线x＝

对称．则下列判断正确的是（　　）

A．p为真B．綈q为假

C．p∧q为假D．p∨q为真

答案　C

解析　p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．

10．已知p：

∃x∈R，mx2＋2≤0，q：

∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，－1]

C．（－∞，－2]D．[－1,1]

答案　A

解析　∵p∨q为假命题，

∴p和q都是假命题．

由p：

∃x∈R，mx2＋2≤0为假命题，

得綈p：

∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，

∴m≥0.①

由q：

∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，

得綈q：

∃x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题，

∴Δ＝（－2m）2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②

由①和②得m≥1.故选A.

二、填空题

11．已知集合P＝{x|x（x－1）≥0}，Q＝{x|y＝ln（x－1）}，则P∩Q＝__________.

答案　（1，＋∞）

解析　由x（x－1）≥0

可得x≤0或x≥1，

则P＝（－∞，0]∪[1，＋∞）；

又由x－1>0可得x>1，

则Q＝（1，＋∞），

所以P∩Q＝（1，＋∞）．

12．已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|a≤x≤b}，若A∪B＝R，A∩B＝{x|2

＝________.

答案　－4

解析　由A＝{x|x>2或x<－1}，A∪B＝R，A∩B＝{x|2

可得B＝{x|－1≤x≤4}，

则a＝－1，b＝4，故

＝－4.

13．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是（a，＋∞），则实数a的值是________．

答案　1

解析　根据题意可得：

∀x∈R，x2＋2x＋m>0是真命题，则Δ<0，即22－4m<0，m>1，故a＝1.

14．给出下列四个命题：

①命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”的逆否命题；

②“∃x0∈R，使得

－x0>0”的否定是：

“∀x∈R，均有x2－x<0”；

③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；

④p：

a∈{a，b，c}，q：

{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．

其中真命题的序号是________．（填写所有真命题的序号）

答案　①④

解析　对①，因命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”为真命题，

所以其逆否命题亦为真命题，①正确；

对②，命题“∃x0∈R，使得

－x0>0”的否定应是：

“∀x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；

对③，因由“x2＝4”得x＝±2，

所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；

对④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确．

15．已知集合M为点集，记性质P为“对∀（x，y）∈M，k∈（0,1），均有（kx，ky）∈M”．给出下列集合：

①{（x，y）|x2≥y}，②{（x，y）|2x2＋y2<1}，③{（x，y）|x2＋y2＋x＋2y＝0}，④{（x，y）|x3＋y3－x2y＝0}，其中具有性质P的点集序号是________．

答案　②④

解析　对于①：

取k＝

，点（1,1）∈{（x，y）|x2≥y}，但（

，

）∉{（x，y）|x2≥y}，故①是不具有性质P的点集．

对于②：

∀（x，y）∈{（x，y）|2x2＋y2<1}，则点（x，y）在椭圆2x2＋y2＝1内部，所以对0

对于③：

（x＋

）2＋（y＋1）2＝

，点（

，－

）在此圆上，但点（

，－

）不在此圆上，故③是不具有性质P的点集．

对于④：

∀（x，y）∈{（x，y）|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈（0,1），因为（kx）3＋（ky）3－（kx）2·（ky）＝0⇒x3＋y3－x2y＝0，所以（kx，ky）∈{（x，y）|x3＋y3－x2y＝0}，故④是具有性质P的点集．综上，具有性质P的点集是②④.