由
（1）
（2）可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在（0，＋∞）上，总会存在一个x0，使x>x0时有ax>xn>logax
2．解函数应用问题的四步骤
（1）审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
（2）建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
（3）解模：
求解函数模型，得出数学结论；
（4）还原：
将数学结论还原为实际意义的问题．
以上过程用框图表示如下：
应用举例:
类型一、构建二次函数模型
【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t（天）的函数，且日销售量近似地满足g（t）＝－
t＋
（1≤t≤100，t∈N）．前40天价格为f（t）＝
t＋22（1≤t≤40，t∈N），后60天价格为f（t）＝－
t＋52（41≤t≤100，t∈N），试求该商品的日销售额S（t）的最大值和最小值．
【答案】最大值为
，最小值为8.
当41≤t≤100，t∈N时，S（t）＝g（t）f（t）＝
＝
t2－36t＋
＝
（t－108）2－
，
所以8＝S（100）≤S（t）≤S（41）＝
.所以，S（t）的最大值为
，最小值为8.
点评：
二次函数模型问题的3个注意点
（1）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
（2）确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
（3）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
类型二、构建分段函数模型
【例2】【2017江苏省南通市如东县一中高三月考】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：
每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．
（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；
（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【答案】y＝
；当x＝60时，旅行社可获得最大利润．
点评：
解决分段函数模型问题的3个注意点
（1）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；
（2）构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；
（3）分段函数的最值是各段的最大（或最小）者的最大者（最小者）．
类型三、构建“对勾”函数f（x）＝x＋
（a＞0）模型
【例3】【2017江西省新余市第一中学高三开学考试】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：
万元）与隔热层厚度x（单位：
cm）满足关系C（x）＝
（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
【答案】k＝40；f（x）=6x＋
（0≤x≤10）．厚度为5cm时，总费用f（x）达到最小值，最小值为70万元．
【解析】
（1）由已知条件得C（0）＝8，则k＝40，因此f（x）＝6x＋20C（x）＝6x＋
（0≤x≤10）．
（2）f（x）＝6x＋10＋
－10≥2
－10＝70（万元），当且仅当6x＋10＝
，
即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f（x）达到最小值，最小值为70万元．
点评：
应用函数y＝x＋
模型的关键点
（1）明确对勾函数是正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝
叠加而成的．
（2）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋
的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f（x）＝ax＋
的形式．
（3）利用模型f（x）＝ax＋
求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．
类型四、构建高次函数或复杂的分式结构函数模型
【例4】【2017河北省定州中学高三月考】近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：
万元）与太阳能电池板的面积（单位：
平方米）成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：
万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：
平方米）之间的函数关系是C（x）＝
（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．
（1）试解释C（0）的实际意义，并建立y关于x的函数关系式．
（2）当x为多少平方米时，y取得最小值？
最小值是多少万元？
【答案】y＝
＋0.5x，x≥0；x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．
【解析】
（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费．由C（0）＝
＝24，得k＝2400，所以y＝15×
＋0.5x＝
＋0.5x，x≥0.
方法、规律归纳:
一个防范
特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
四个步骤
（1）审题：
深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；
（2）建模：
由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；
（3）解模：
用数学知识和方法解决转化出的数学问题；
（4）还原：
回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
实战演练:
1．【2017贵州省贵阳市一中高三月考】若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（ ）
【答案】B
【解析】依题设可知，蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系，又∵函数图象必过点（0,20）、（4,0）两点，且该图象应为一条线段．∴选B.
2．【2017湖南省长沙市长郡中学高三入学考试】某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：
毫克／升）与过滤时间t（单位：
小时）之间的函数关系为：
P=P0e－kt，（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放．
A．
小时B．
小时C．5小时D．10小时
【答案】C
【解析】设原污染物数量为，则
．由题意有
，所以
．设小时后污染物的
含量不得超过1%，则有
，所以
，
．因此至少还需
小时过滤才可
以排放．选C。
3．【2017西藏林芝市高三月考】某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f（n）=k（n）（n-10）,n>10（其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差,f（n）的单位为元）,而k（n）=
现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分,则乙所得奖励比甲所得奖励多（ ）
（A）600元（B）900元（C）1600元（D）1700元
【答案】D
4．【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0），贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈（0,0.048）），则x为多少时，银行可获得最大收益（）．
A．0.016B．0.032C．0.024D．0.048
【答案B
【解析】依题意：
存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x∈（0,0.048）．
所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3（00；当0.0325．【2017贵州省贵阳市一中高三月考】某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”，即每张订单金额不少于500.因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张，最多下的订单张数为4张.当下的订单张数为3张时，所需钱数为
元，而下的订单张数为4张时（购入44件），所需钱数为
元.由于条件限制不许多买，所以选C.
6．【2017河北省冀州中学高三摸底考试】如图，在△ABC中，∠C=90°,CA=CB=1,
为△ABC内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分），则这三个三角形的面积和的最小值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】如图所示，
建立平面直角坐标系，设直线
的方程为
，P
，则三个三角形的面积和
，因为
，
故
.
7．要制作一个容积为4
，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_________（单位：
元）．
【答案】160
8．【2017江西吉安一中高三月考】宜黄高速公路连接宜昌、武汉、黄石三市，全长约350公里，是湖北省大三角经济主骨架的干线公路之一．若某汽车从进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶，已知该汽车每小时的运输成本由固定部分和可变部分组成，固定部分为200元，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比（比例系数记为k）．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．若使汽车的全程运输成本最低，其速度为．
【答案】100
【解析】设运输费用为
，当
时，
，
，当且仅当
，即
时等号成立。
11．为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0．57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度0．5元计算．
（1）设月用电x度时，应交电费y元．写出y关于x的函数关系式；
（2）小明家第一季度交纳电费情况如下：
则小明家第一季度共用电多少度？
【答案】
；330
10．【2017江苏泰兴中学高三月考】如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。
已知AB=3米，AD=2米。
（Ⅰ）设
（单位：
米），要使花坛AMPN的面积大小32平方米，求的取值范围；（Ⅱ）若
（单位：
米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？
并求出最大面积。
【答案】
；AN＝3米，AM=9米，花坛AMPN的面积最大27平方米
【解析】由于
则AM＝
，故SAMPN＝AN•AM＝
（1）由SAMPN>32得
>32，因为x>2，所以
，即（3x－8）（x－8）>0，从而
即AN长的取值范围是
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