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1、备战高考数学一轮热点难点一网打尽专题12 宝刀未老的函数应用性问题答案解析【备战高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第12讲 “宝刀未老”的函数应用性问题考纲要求:1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题. 基础知识回顾:1常见的函数模型及性质(1) 几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数

2、，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0) (2)三种函数模型的性质 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同 值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax【注】三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数yax (a1)与幂函数yxn (n0)在区间(0，)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当xx0时有

3、ax xn(2)对数函数ylogax (a1)与幂函数yxn (n0)对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于yxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有logaxx0时有 ax xn logax2解函数应用问题的四步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题以上过程用框图表示如下：应用举例:类型一、构建二次函数模型【例1】【2017山东

4、省枣庄八中高三月考】经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)t(1t100，tN)前40天价格为f(t)t22(1t40，tN)，后60天价格为f(t)t52(41t100，tN)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值【答案】最大值为，最小值为8.当41t100，tN时，S(t)g(t)f(t)t236t(t108)2，所以8S(100)S(t)S(41).所以，S(t)的最大值为，最小值为8.点评：二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(

5、2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题类型二、构建分段函数模型【例2】【2017江苏省南通市如东县一中高三月考】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【答案】y；当x60时，旅行社可获得最大利润 点评：解决分段函数模型问题的3个注意点(1)实际问题

6、中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)类型三、构建“对勾”函数f(x)x(a0)模型【例3】【2017江西省新余市第一中学高三开学考试】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)，若不建隔热层

7、，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值【答案】k40；f(x)=6x(0x10)厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元【解析】(1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x10102 1070(万元)，当且仅当6x10，即x5时等号成立所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元点评：应用函数yx模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)ax与反比例

8、函数f(x)叠加而成的(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)ax的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)ax的形式(3)利用模型f(x)ax求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件类型四、构建高次函数或复杂的分式结构函数模型【例4】【2017河北省定州中学高三月考】近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业每年消耗

9、的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)(x0，k为常数)记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和(1)试解释 C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式(2)当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？【答案】 y0.5x，x0； x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元【解析】(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费由C(0)24，得k2 400，所以y150.5x0.5x，x0.方法、规律归纳:一个防范特别关注实

10、际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论实战演练: 1【2017贵州省贵阳市一中高三月考】若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为()【答案】B【解析】依题设可知，蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系，又函数图象必过点(0,20)、(4,

11、0)两点，且该图象应为一条线段选B.2【2017湖南省长沙市长郡中学高三入学考试】某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：P=P0ekt，（k，P0均为正的常数）若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放 A小时 B小时 C5小时 D10小时 【答案】C【解析】设原污染物数量为，则由题意有，所以设小时后污染物的含量不得超过1%，则有，所以，因此至少还需小时过滤才可以排放选C。3【2017西藏林芝市高三月考】某学校制定奖励条例,对在教育教

12、学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)=k(n)(n-10),n10(其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)=现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分,则乙所得奖励比甲所得奖励多() (A)600元 (B)900元 (C)1600元 (D)1700元【答案】D4【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，则x为多少时，银行可获得最大收益 ( ) A0.016 B0.032 C0.024 D0.048【答案B【解析】依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x(0,0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0得x0.032或x0(舍去)，又当0x0；当0.032x0.048时，y 32 得 32 ，因为x 2，所以，即（3x8）（x8） 0，从而 即AN长的取值范围是