锦州市中等学校招生考试数学试题及参考答案数学试题.docx
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锦州市中等学校招生考试数学试题及参考答案数学试题
锦州市中等学校招生考试数学试题及参考答案
数学试题
*考试时间120分钟,试卷满分120分.
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,将正确答案的序号填入题后的括号内.每小题2分,本题共20分)
1.下列根式不是最简二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
2.设方程x2+x-2=0的两个根为α,β,那么(α-1)(β-1)的值等于( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
3.边长相等的下列两种正多边形的组合,不能作平面镶嵌的是( )
A.正方形与正三角形 B.正五边形与正三角形
C.正六边形与正三角形 D.正八边形与正方形
4.如图,⊙O和⊙O′都经过点A和点B,点P在BA的延长线上,过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D,作⊙O′的切线PE切⊙O′于E,若PC=4,CD=5,则PE等于( )
A.6 B.2
C.20 D.36
5.若反比例函数y=
的图象在每一象限内,y随x的增大而增大,则有( )
A.k≠0 B.k≠3 C.k<3 D.k>3
6.抛物线=
x2-4x+3的顶点坐标和对称轴分别是( )
A.(1,2),x=1 B.(-1,2),x=-1 C.(-4,-5),x=-4 D.(4,-5),x=4
7.已知在直角坐标系中,以点A(0,3)为圆心,以3为半径作⊙A,则直线y=kx+2(k≠0)与⊙A的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.与k值有关
8.如图,一个圆柱形笔筒,量得笔筒的高是20cm,底面圆的半径为5cm,那么笔筒的侧面积为( )
A.200cm2 B.100πcm2 C.200πcm2 D.500πcm2
9.用换元法解方程
,若设
,则原方程可化为( )
A.y2-7y+6=0 B.y2+6y-7=0 C.6y2-7y+1=0 D.6y2+7y+1=0
10.苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s=
gt2(g是不为0的常数),则s与t的函数图象大致是( )
二、填空题(每小题2分,本题共20分)
11.函数y=
中自变量x的取值范围是_____.
12.若关于x的方程x2+5x+k=0有实数根,则k的取值范围是______.
13.圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种)
14.若点A(2,m)在函数y=x2-1的图象上,则点A关于x轴的对称点的坐标是_____.
15.方程组
的解是______.
16.如图,小明同学测量一个光盘的直径,他只有一把直尺和一块三角板,他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上,并量出AB=3.5cm,则此光盘的直径是_____cm.
17.如图,点A在反比例函数y=
的图像上,AB垂直于x轴,若S△AOB=4,那么这个反比例函数的解析式为_____.
18.如图,这是某市环境监测中心监测统计的2003年该市市区空气中二氧化硫各季节日均值的统计图,空气中二氧化硫含量最高的季节与最低的季节的浓度之差等于______毫克/立方米.
19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=2.分别以A、B、C为圆心,以
AC为半径画弧,三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是______.
20.已知⊙O的直径为6,弦AB的长为2
,由这条弦及弦所对的弧组成的弓形的高是_____.
三、解答题(21题6分,22题8分,23题10分,本题共24分)
21.计算:
.
22.某农场种植一种蔬菜,销售员张平根据往年的销售情况,对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测,预测情况如图,图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图象,你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息?
答题要求:
(1)请提供四条信息;
(2)不必求函数的解析式.
23.某校初三学生开展踢毽子比赛活动,每班派5名学生参加,按团体总分多少排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100)为优秀.下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位:
个):
1号
2号
3号
4号
5号
总分
甲班
100
98
110
89
103
500
乙班
89
100
95
119
97
500
经统计发现两班总分相等.此时有学生建议,可以通过考查数据中的其他信息作为参考.
请你回答下列问题:
(1)计算两班的优秀率;
(2)求两班比赛数据的中位数;
(3)估计两班比赛数据的方差哪一个小?
(4)根据以上三条信息,你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级?
简述理由.
四、解答题(本题共10分)
24.某乡薄铁社厂的王师傅要在长为25cm,宽为18cm的薄铁板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆.他先画出了如下的草图,但他在求小圆半径时遇到了困难,请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径.
五、解答题(本题共10分)
25.一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C,已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处,在B处测得小岛C在北偏东60°方向,这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行,这艘渔船是否有进入养殖场的危险?
六、解答题(本题共10分)
26.某食品批发部准备用10000元从厂家购进一批出厂价分别为16元和20元的甲、乙两种酸奶,然后将甲、乙两种酸奶分别加价20%和25%向外销售.如果设购进甲种酸奶为x(箱),全部售出这批酸奶所获销售利润为y(元).
(1)求所获销售利润y(元)与x(箱)之间的函数关系式;
(2)根据市场调查,甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱,那么食品批发部怎样进货获利最大,最大销售利润是多少?
七、解答题(本题共12分)
27.如图,⊙O与⊙P相交于B、C两点,BC是⊙P的直径,且把⊙O分成度数的比为1:
2的两条弧,A是
上的动点(不与B、C重合),连结AB、AC分别交⊙P于D、E两点.
(1)当△ABC是锐角三角形(图①)时,判断△PDE的形状,并证明你的结论;
(2)当△ABC是直角三角形、钝角三角形时,请你分别在图②、图③中画出相应的图形(不要求尺规作图),并按图①标记字母;
(3)在你所画的图形中,
(1)的结论是否成立?
请就钝角的情况加以证明.
八、解答题(本题共14分)
28.如图,点P是x轴上一点,以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A、B、C、D四点,已知A(-3,0)、B(1,0),过点C作⊙P的切线交x轴于点E.
(1)求直线CE的解析式;
(2)若点F是线段CE上一动点,点F的横坐标为m,问m在什么范围时,直线FB与⊙P相交?
(3)若直线FB与⊙P的另一个交点为N,当点N是
的中点时,求点F的坐标;
(4)在(3)的条件下,CN交x轴于点M,求CM·CN的值.
参考答案及评分标准
(此答案仅供参考,如有其它不同答案,只要正确,可参照此标准赋分)
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.B 8.C 9.A 10.B
二、填空题
11.x≥-
且x≠1 12.k≤
13.内切或外切或相切 14.(2,-3)
15.
16.7
17.y=-
18.0.151
19.2-
20.3+
和3-
(注:
15题写出一个解给1分,20题答对一个给1分)
三、解答题
21.解法一:
原式=
……3分
=
……5分
=
……6分
解法二:
原式=
=
=
=
22.
(1)2月份每千克销售价是3.5元;
(2)7月份每千克销售价是0.5元;
(3)1月到7月的销售价逐月下降;(4)7月到12月的销售价逐月上升;
(5)2月与7月的销售差价是每千克3元;(6)7月份销售价最低,1月份销售价最高;
(7)6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月,2月与12月的销售价相同;
答对一条给2分
(注:
此题答案不唯一,以上答案仅供参考.若有其它答案,只要是根据图象得出的信息,并且叙述正确请酌情给分)
23.
(1)甲班的优秀率是60%(或0.6);乙班的优秀率是40%(或0.4); ……2分
(2)甲班5名学生比赛成绩的中位数是100个,乙班5名学生的比赛成绩的中位数是97个; ……4分
(3)估计甲班5名学生比赛成绩的方差小; ……6分
(4)将冠军奖状发给甲班,因为甲班5人比赛成绩的优秀率比乙班高、中位数比乙班大、方差比乙班小,综合评定甲班比较好. ……10分
四、解答题
24.解法一:
如图
(1)连结OO1、O1O2、O2O,则△OO1O2是等腰三角形.
作OA⊥O1O2,垂足为A,则O1A=O2A. ……2分
由图可知大圆的半径是9cm.设小圆的半径为xcm,
在Rt△OAO1中,依题意,得(9+x)2=(9-x)2+(25-9-x)2. ……5分
整理,得x2-68x+256=0.解得x1=4,x2=64. ……8分
∵x2=64>9,不合题意,舍去.∴x=4.
答:
两个小圆的半径是4cm. ……10分
解法二:
如图
(2)设⊙O1、⊙O2与长方形的一边相切于B、C,连结OB、O1C,作O1A⊥OB,垂足为A,则△OO1A是直角三角形,以下同解法一.
五、解答题
25.解法一:
过点B作BM⊥AH于M,∴BM∥AF.∴∠ABM=∠BAF=30°.
在△BAM中,AM=
AB=5,BM=5
. ……2分
过点C作CN⊥AH于N,交BD于K.
在Rt△BCK中,∠CBK=90°-60°=30°
设CK=x,则BK=
x. ……5分
在Rt△ACN中,∵∠CAN=90°-45°=45°,
∴AN=NC.∴AM+MN=CK+KN.
又NM=BK,BM=KN.
∴x+5
=5+
x.解得x=5. ……8分
∵5海里>4.8海里,∴渔船没有进入养殖场的危险. ……9分
答:
这艘渔船没有进入养殖场危险. ……10分
解法二:
过点C作CE⊥BD,垂足为E,∴CE∥GB∥FA.
∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.
∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.
又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°,
∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10.
在Rt△BCE中,CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×
=5(海里).
∵5海里>4.8海里,∴渔船没有进入养殖场的危险.
答:
这艘渔船没有进入养殖场的危险.
六、解答题
26.
(1)解法一:
根据题意,得y=16×20%·x+20×25%×
=-0.8x+2500. ……4分
解法二:
y=16·x·20%+(10000-16x)·25%=-0.8x+2500.
(2)解法一:
由题意知,
解得250≤x≤300.
由
(1)知y=-0.8x+2500,∵k=-0.8<0,∴y随x的增大而减小.
∴当x=250时,y值最大,此时y=-0.8×250+2500=2300(元).
∴
=
=300(箱). ……9分
答:
当购进甲种酸奶250箱,乙种酸奶300箱时,所获销售利润最大,最大销售利润为2300元. ……10分
解法二:
因为16×20%<20×25%,即乙种酸奶每箱的销售利润大于甲种酸奶的销售利润,因此最大限度的购进乙种酸奶时所获销售利润最大,即购进乙种酸奶300箱,
则x=
=250(箱).
由
(1)知y=-0.8x+2500,
∴当x=250时,y值最大,此时y=-0.8×250+2500=2300(元).
七、解答题
27.
(1)△PDE是等边三角形. ……1分
证法一:
连DC.
∵弦BC把⊙O分成度数的比为1:
2的两条弧,∴
的度数为120°.
∴∠BAC=60°. ……3分
又∵BC为⊙P的直径,∴∠BDC=90°.
又∵∠A=60°,∴∠DCA=30°.∴∠DPE=60°.
又PD=PE,∴△PDE是等边三角形. ……5分
证法二:
连DC.
∵弦BC把⊙O分成度数的比为1:
2的两条弧,∴
的度数为120°.
∴∠BAC=60°.∴∠ABC+∠ACB=120°.
又∵PB=PD=PC=PE,∴∠BDP=∠ABC,∠CEP=∠ACB.
∴∠BDP+∠CEP=120°.∴∠BPD+∠CPE=120°.
∴∠DPE=60°.
又PD=PE,∴△PDE是等边三角形.
(2)如图②、图③即为所画图形.
画出示意图且正确标记字母即可.
画出直角三角形的情形给1分,画出钝角三角形的情形给2分. ……8分
(3)图②和图③中△PDE仍为等边三角形.
证明:
如图③.连结BE、DC.
∵BC为⊙P的直径,∴∠BDC=90°.
又∵∠A=60°,∴∠ACD=30°.
又∵四边形DBEC是⊙P的内接四边形,
∴∠DBE=∠DCA=30°.∠DPE=60°.
又∵PD=PE,∴△PDE是等边三角形. ……12分
八、解答题
28.解:
(1)连PC.
∵A(-3,0),B(1,0),
∴⊙P的直径是4,∴半径R=2,OP=1.
又∵CD⊥AB,AB是直径.
∴OC2=OA·OB=3×1=3.∴OC=
.
∴C(0,
). ……1分
又∵⊙P的半径是2,OP=1.
∴∠PCO=30°.又CE是⊙P的切线,
∴PC⊥CE.∴∠PEC=30°.
∴PE=2PC=4.EO=PE-MP=3.
∴E(3,0). ……2分
设直线CE的解析式为y=kx+b,将C、E两点坐标代入解析式,
得
解得
∴直线CE的解析式为y=-
x+
①. ……4分
(2)当0≤m≤3且m≠1时,直线FB与⊙P相交. ……6分
(3)解法一:
∵点N是
的中点,∴N(-1,-2)
设直线NB的解析式为y=kx+b,把N、B两点坐标代入解析式,
得
解得
∴直线NB的解析式为y=x-1 ②
由①,②式得
解得
∴F(
-1). ……10分
解法二:
过点F作FH⊥BE于H,∵N是
的中点,
则∠ABN=∠FBE=45°.∴∠BFH=45°.∴BH=FH.
由
(1)知∠CEP=30°,∴HE=
FH.
∵OE=OB+BH+HE,
∴1+FH+
FH=3,FH=
-1.
∴OH=OB+BH=1+(
-1)=
.
∴F(
-1).
(4)连结AC、BC.∵点N是
的中点,
∴∠NCB=∠CAN.又∠CAB=∠CNB,∴△AMC∽△NBC.
∴
.∴MC·NC=BC·AC.
∵OA=OE=3,∴△ACE为等腰三角形.
∴AC=CE=
.BC=
.
∴MC·NC=BC·AC=4
. ……14分