时间序列模型ARMA模型及ARCH模型11.docx
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时间序列模型ARMA模型及ARCH模型11
时间序列模型
时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的
动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。
时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。
1・ARMA与ARCH模型
2.协整与误差修正模型
3.向量自回归模型
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第五讲ARMA与ARCH模型
本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型（Autoregressivemodels）、移动平均模型（Movingaveragemodels）、自回归移动平均模型（Autoregressivemovingaveragemodels）>自回归条件异方差模型（AutoregressivecconditionalHeteroscedasticitymodels）的识别、估计、检验、应用。
一、时间序列的平稳性
（-）平稳时间序列
所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而
发生变化。
严格地讲，如果一个随机时间序列儿，对于任何时间『，都满足下列条件：
I）均值二"叫
II）方差|巾心）=E（幵-“）2=刊,是与时间r无关的常数；
III）自协方差Cov｛y,,yt_k）=E｛（＞;-//）（山-“）｝=%,是只与时期间隔k有关,与时间f无关的常数。
则称该随机时间序列是平稳的。
生成该序列的随机过程是平稳过程。
例5.1.一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：
yt=816〜〃d（0&）该序列常被称为是一个白噪声（whitenoise）。
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由于儿具有相同的均值与方差，且协方差为零，满足平稳性条件，是平稳的。
例5.2.另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（randomwalk）：
y严儿一1+66〜加（0q2）,是一个白噪声。
容易判断该序列有相同的均值：
E（yl）=E（y,_l）f但是方差Vur（yz）=rcr2,即儿的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。
然而，对儿取一阶差分：
△y严儿-则序列是平稳的。
后面将会看到：
如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
（二）平稳时间序列的自相关函数与偏自相关函数
时间序列儿的自相关函数（autocorrelationfunction,ACF）定义如下：
文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑，有帮助欢迎下载支持.平稳时间序列的一个重要特征是它的自相关函数随着&的增加而成指数型衰减。
一个时间序列的样本自相关函数定义为：
偏自相关函数（partialautocorrelationfunction,PACF）则是消除了中间变量儿・宀2,…,j带来的间接相关后儿与儿间的直接相关性,它是在给定儿_1.儿_2'…‘儿-K+I的条件下，儿与儿“间条件相关关系的度量。
二、单变量平稳时间序列模型：
ARMA模型
单变量时间序列模型是通过直接或间接地运用变量自身过去的信息和以往的扰动项，寻找其自身的变化规律。
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ARMA模型是一类常用的单变量平稳时间序列模型,它是由博克斯（Box）和詹金斯（Jenkins）创立的，亦称B・J方法。
ARMA模型有三种基本类型：
自回归（AR）模型，移动平均（MA）模型，自回归移动平均（ARMA）模型。
（一）AR模型
1.AR模型的定义
如果时间序列可以表示为它的前期值和随机扰动项知的线性函数：
儿:
=c+0i儿_1+0儿辺+…十0“儿-“+6£厂nW（0,cr/）（5.1）
则称该序列儿是自回归序列，（5.1）式为P阶自回归模型，简记为AR（p）o
引入滞后算子，记厂为*步滞后算子，即X=m
模型（5.1）可表示为：
X=c+0i厶几+0芒儿+・・・+0〃广儿+6
即（1—0］厶一0Z?
+6令
①（厶）二1—0上—02厶20昇，模型可简写为：
①（厶）必=C+6
2.AR（P）模型的平稳性条件
①（厶）二1—0上—如C2皿=0为滞后算子多项式方程。
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AR（〃）模型平稳的条件是：
该方程的根在单位圆外，即①（厶）=0的根大于1。
对自回模型AR（p）来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验自回归模型的平稳性：
1）AR（p）模型稳定的必要条件是
2）由于0（21,2,…,刃可正可负，AR（p）模型平稳的充分条件是：
3.AR模型的识别
判断一个随机时间序列是否为AR（/,）序列，所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（ACF）及偏自相关函数（PACF）o
若序列儿的偏自相关函数Qk在P以后截尾，即2p时，P厂°,而且它的自相关函数E是拖尾的，可以认定此疗:
列是自回归AR（p）疗:
歹ij。
以一阶自相关模型AR
（1）的自相关函数为例：
由于AR
（1）的&阶滞后自协方差
因此，AR
（1）模型的自相关函数为P严专7k=L,2,…
文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑，有帮助欢迎下载支持.由AR
（1）的稳定性知|0|Y1,鸟趋于无穷大时，呈指数型衰减至0,这种现彖称为拖尾。
可以证明，当kAp时，样本偏自相关函数服从如下渐近正态分布：
rkk〜N（0,l/n）
2
因此，如果计算的加满足『肿〒我们就有95.45%的概率保证程度断定久在kAP之后截尾。
（二）MA模型
1・MA模型的定义
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如果时间序列儿是它的当期和前期随机误差项的线性函数，即可表示为：
儿仝+勺+&&/_]+&2®_2+・・・+0/$r8厂〃d（0，b/）（5.2）
则称该序列儿是移动平均序列，（5.2）式为q阶移动平均模型，简记为MA（^）o若使用滞后算子，则（5.2）式可以简写为
易见，有限阶移动平均过程无条件平稳。
2.MA模型的町逆性
观察MA模型：
必―c=（l+&上+&2芒+…+0卍比
若多项式方程e（D=0的根全部落在单位圆外，则称序列儿可逆。
&（D的逆记作&（厶尸，则&（厶厂（X—c）=6。
文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑，有帮助欢迎下载支持.比较①（Dy=c+6,
可以证明，若MA（g）算子可逆，MA（g）模型可写成AR（-）的形式；同理，若AR（P）模型满足平稳性条件，AR（P）模型可表示为MA（-）O
3・MA模型的识别
若序列儿的自相关函数久在今以后截尾，即k>q时，A=0,而它的偏自相关函数Qu•是拖尾的，可以认定此序列是移动平均MA（q）序列。
对MA
（1）过程yt-c+£t+0st_x
很容易计算出它的自协方差函数：
％=E（X）=b（l+沪）
/j0
于是得到自相关函数：
口=；=市pn・・=o
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可见，当"1时，Q严0,即儿与九不相关，MA
（1）自相关函数是截尾的。
同理，可以验证MA（q）过程的偏自相关函数是拖尾但趋于0的。
（三）ARMA模型
1.ARMA模型的定义
若时间序列儿是它的当期和前期随机误差项以及前期值的线性函数，即为儿=。
+0]儿_]+。
2儿一:
+…+蚣儿一“+◎+&16—1+&2©—2+・・・+&圧一9（5.3）
则称该序列儿是自回归移动平均序列，（5.3）式为（p,q）阶的自回归移动平均模型，简记为ARMA（p,g）。
显然，AR（p）模型与MA⑷模型都是ARMA（阳）模型的特殊情况。
若使用滞后算子，则（5.3）式可以简记为
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ARMAgq）模型的平稳性取决于AR（p）部分的平稳性。
2.ARMA模型的识别
ARMA®g）的自相关函数，可以看作MA⑷的自相关函数和AR（p）的自相关函数的混合物。
当时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当P、@都不为0时，它具有拖尾性质。
一般地，如果序列的ACF和PACF均是拖尾，则可断定该序列是ARMA（pg）过程。
通常，ARMA（P，q）过程的偏自相关函数可能在〃阶滞后前有几项明显的尖柱，但从卩阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数则是在纟阶滞文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑，有帮助欢迎下载支持.后前有几项明显的尖柱，从§阶滞后项开始逐渐趋向于零。
识别是通常以较低的阶数进行分析，然后逐个增加阶数进行尝试。
3.ARMA模型阶数（p,g）的选择标准
常用的模型选择的判别标准有：
赤池信息准则（AIC）与施瓦兹贝叶斯信息准则（SBC）。
在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好。
上面的讨论均是在假定序列满足平稳性的情形下进行的。
一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，进而寻找对应的平稳模型。
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若将一个非平稳序列通过〃次差分，变为平稳序列，然后用一个平稳的
ARMA模型去拟合，称该模型是一个自回归单整移动平均模型（Autoregressiveintegratedmovingaveragemodels）,记为ARIMA（p,d,g）。
（四）模型的应用
下面我们通过例子探讨如何利用样本数据建立时间序列模型，并对现彖进行分析和预测。
例5・1.对我国支出法国内生产总值X建立ARMA模型并预测2008的支
出法国内生产总值。
文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑，有帮助欢迎下载支持.支出法国内生产总值X认为是非平稳的，但其对数一阶差分序列是平稳的。
因此，可以对对数一阶差分序列建立ARMA（pg）模型。
Eviews中的模型参数估计采用非线性方法，由此得到的ARMA模型为：
三、自回归条件异方差模型
ARCH（AutoregressivecconditionalHeteroscedasticitymodels）模型首先是由恩格尔（Engle.R）于1982年提出的，并由保罗斯拉夫（Bollerslev.T）在1986年发展成为GARCH模型（GenemlizedARCH模型）。
用以建立随机变量的条件方差或变量波动性模型。
它反映了随机过程的一种特殊特性：
即方差随时间变化而变化，且具有丛集性、波动性。
ARCH模型已广泛地应用于金融领域的建模及研究过程中。
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（一）自回归条件异方差模型（ARCH）
对于一般的回归模型
如果随机扰动项的平方力服从AR（〃）过程，即
222
町=兔+少舛_]+・・・+£〃=,+£（5.4）
其中，6是相互独立的白躁声序列，并且£厂N（o,人2）,则称模型（5.4）是自回归条件异方差模型，简记为ARCH模型。
记作％〜ARCH（P）o
ARCH模型通常用于对主体模型的随机扰动项进行建模，把当期随机扰动项的方差设定为以前各期误差项平方的线性函数，以便更充分地提取残差中的信息，使最终的模型残差项®为白噪声。
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