一元二次方程竞赛训练题.docx
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一元二次方程竞赛训练题
一元二次方程竞赛训练题
1•方程7x2
（k13）xk2k20（k是实数）有两个实根、，
且0vv1,1v
v2,那么k的取值范围是（）
（A）3vkv4;
（B）—2vkv—1；
（C）3vkv4或—2vkv—1（D）无解。
3•方程x2x10的解是（）
误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为—1和4,那么，
2b3c
a
5•若X。
是一元二次方程ax2bxc0（a0）的根，则判别式b24ac与平方式
M（2ax。
b）2的关系是（）
（A）>M（B）=M（C）6•若方程（x21）（x24）k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则
k=.
的取值范围是（
）
（A）0m
/、3
3
m1
3,
1;（B）m-；（C）
;（D）m1
4
4
4
&设x1,x2是二
2
一次方程x
x30的两个根，那么，
3
X1
4x22
19的值等于（）
7•如果方程（x1）（x22xm）0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m
（A）4;
（B）8;
（C）6;
（D）0..
11.已知且，则=
的值为（）
（A）23（B）
23
（C）
2
（D）
13
15.如果x和y是非零实数，使得
xy
3和xy
x30,
那么x+y等于（
）.
（A）3（B）
v'13
（C）
1晁
（D）
4
2
16.已知实数a
、b、
x、
y满足
abx
y2,
ax
by5，则
2222
（ab）xyab（xy）
17.实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3，则z的最大值是.
18.已知a,b是实数，关于x,y的方程组
yxaxbx,
yaxb
有整数解（x,y），求a,b满足的关系式.
19.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的一个实数根，则ab的取值范围为（）
ab
1
ab
1
1
1
（A）
-（B）
（C）
ab一
（D）
ab一
8
8
4
4
20.
在
RtVABC中
斜
边
AB=5,
而直角边
BC,
AC之长是一元二次方程
x2（2m1）x4（m1）0的两根，贝Um的值是（）
A、4B、-1C、4或-1D、-4或1
21•已知a为实数，且使关于x的二次方程x2a2xa0有实根，该方程的根x所能
取至y的最大值是。
22.设a,b,c为互不相等的实数，且满足关系式
b2c22a216a14①
及bca24a5,②
求a的取值范围.
一元二次方程竞赛训练题
（答案）:
1.解：
记f（x）
»7x2（k13）xk
2k2
f（0）
k2k20
由f
（1）
k22k80
3k
4或2k1
f
（2）
k23k0
2.8.
2
x（a8）x8a1
0
原方程整理为设
X1,X2为方程的两个整数根，由
X1+x2=a+8,
知a为整数，因此，x-a和x-8
都是整数。
故由原方程知x-a=x-8（=±1）•••
所以a=8
3.（D）
设X。
是方程的解，则一X。
也是方程的解，
排除（A）、
（B）；（D）的两值必是方程的解，
否则方程的解也不是（C）.
1
将一（15）代入方程，左边工0，排除（C）.
2
4.6
设甲将a看为a',由韦达定理得
于是
由于一次项系数
a'
由①②得a
b
5.
（B）
6.
b的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a或c的符号.
3.所以
2b3c
设xo是方程的根,则ax
所以（2ax0b）2
设x2
程的四个根为
4.
6126.
4a2x°
4a（ax02
b24ac
y，原方程变为y2
由韦达定理
7.（C）
bx0c0.
4abx0
bxoc）
5y4
b2
b24ac
k0.设此方程有根，（0
.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列,
5，得
9
2
9
4，
），则原方
x21.1m,x3
x1x221m1
&（D）
X1,X2是二次方程x2
x12x13
即x123为,
由根与系数的关系知X1X21，从而有
x124x2219x1（3xj4（3x2）19
2
3x-|x14x273x-|（3x1）4x27
因为mn为有理数，方程一根
52，那么另一个根为
52，由韦达定理。
4（x1x2）44
（1）40.
9.3
得m=4,n=-1,/•m+n=3
10.设两整数根为x,y（xey）
则xya°,
xy4a0
2
—ya,4x8.可推出x4,a—X.由于x为整数
2x4
x=5时，a=25时，y=20时；x=6时，a=18时，y=12;
x=7时，a不是整数，x=8时；a=16,y=8;于是a=25或18或16均为所求。
12.由方程组得：
a、b是方程x2-8x+c2-8..2c+48=0的两根
△=-4（c-82）2》0,c=42a=b=4
所以原方程为x+...2x-1=0
1=
、2..6
~2
m的不等式,
13.解：
这是一个二次方程的区间根问题，可根据二次函数图象的特点建立关于先求出m的取值范围，再由m是整数确定m的根.
设f（x）=3x2+mx-2，由二次函数的图象，得
f（-5）
5
f（7）
9
9
-m
5
3
-m
7
m
193门0
25
710
49
3
解得3
21
4至
45
•/m是整数,
•••只有
m=4.
14.答：
选（B）
a、b是关于x的方程
2
13（x1）3
的两个根，整理此方程，得
2
x5x10,
2540,
b5,ab1.
故a、
b均为负数.因此
a.abab
aab
22
ab
ab22ab
、ab23
3x代入
xy
x3
得x3x2
3x
0.
（1）
当x>0时,
x3
x2
3x
0，方程x2
30无实根;
（2）
当x<0时，x3
3x
0，得方程x2
解得
」，正根舍去，从而x
22
713
2
.13.
因此，结论（
D）是在正确的.
16•答：
5
解：
由
xy2，得（a
b）（xy）axbyaybx4,
ax
by
•••ay
bx
因而,
（a2
22
b）xyab（x
y2）（ay
bx）（axby）
17.答：
13
3
解：
txy5z,xy
3z（x
y）
3z（5z）
z25z3,
x、y是关于t
的一元二次方程
t2（5
z）t
z25z3
的两实根.
（5z）2
4（z2
5z
3）
3z2
10z
13
（3z13）（z
1）0.
13
3
故z的最大值为
13
3
x3
xy,
（5分）
若x+1=0，即x
（x1）yx3.
1，则上式左边为0,右边为1不可能.所以x+1m0,于是
2
ax0有实根，于是V14x0
X2x1
因为X、
y都是整数，所以x
1
1，即x
2或x
0，进而y=8或y
0.故
x2
x
0
或
••（10分）
y8
y
0
tx
当
2
时，代入yax
b得,
2a
b8
0；
y
8
tx
当
0
时，代入yax
b得，
b
0.
y
0
综上所述，a、b满足关系式是2a
b
8
0，
或者b
0，a是任意实数
•-（15
19.
B
20.
设方程的根为
人兀,
依题意
25
22
X1冷
2
%X2
2
2x1x2=2m18m1
即
m23m4
0
解得m=4或-1
但x-i,x2>0,2m-1>0
所以m>0故m=4选A
X
n
0
当a=0时，
x=0
综上，
32
X
2
2
22.解法
1：
由①—
2X②得
（bc）
224（a
1）0,
所以a
1.
当a
1时，
.22
bc
2a2
16a14
2（a1）（a7）0
21.a为实数，当a
0时，关于a的二次方程xa2
10分
又当a=b时，由①，②得
e2a216a14，
③
aea24a5，
④
将④两边平方，
结合③得
2222aa16a14a4a5，
化简得
32
24a38a240a250，
故
（6a5）（4a22a5）0，
5
解得a5
1
，或a
21
64
所以，
a的取值范围为
a
1且a
5
，a
1
、21
6
4
15分
解法2
:
因为b2e2
2a2
16a
14，
be
2a
4a
5，所以
22
（be）2a
16a
14
2（a2
4a
5）
=4a2
2
8a4=4（a1）,
bc2（a1）.
所以
2
又bea4a5,所以b,c为一元二次方程
x22（a1）xa24a50
的两个不相等实数根，故
2
4（a1）
4（a2
4a
5）
0,
所以a1.
当a1时，
b2e2
2a2
16a
14
2（a
1）（a7）0
10分
另外，当a=b时，由⑤式有
5
4
2
a
a
\—/
X—
a
o
5a
6
5
所以，a的取值范围为a1且a
1,21
4
15分
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