学年湖南省G10教育联盟高一第一学期第三次统一考试数学试题解析版.docx
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学年湖南省G10教育联盟高一第一学期第三次统一考试数学试题解析版
2018-2019学年湖南省G10教育联盟高一第一学期第三次统一考试数学试题
一、单选题
1．设集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知：
则
.
本题选择C选项.
2．已知幂函数
的图象过点
，则
（）
A．
B．3C．
D．2
【答案】B
【解析】设幂函数解析式，代入点的坐标，求出幂函数解析式，即可求得结果.
【详解】
由题意令f（x）=
，图象过点
得
解得a=
∴f（x）=
∴f（9）=3．
故选：
B．
【点睛】
本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解.
3．函数
的零点所在的区间为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数解析式求得f
（2）f（3）＜0，根据零点存在性定理可得函数零点所在区间．
【详解】
∵函数
在区间
上单调递增，且
，
，
，∴函数
的零点位于区间
内．
故选:
B.
【点睛】
本题考查的是函数零点存在性定理的应用.
4．以下命题（其中
，
表示直线，
表示平面）：
①若
，
，则
；②若
，
，则
；
③若
，
，则
；④若
，
，则
．
其中正确命题的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．
【详解】
①若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故错；
②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交或异面，故②错；
③若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故③错；
④若a∥α，b⊂α，则a、b平行或异面，故④错．
正确命题个数为0个，
故选：
A.
【点睛】
本题考查空间两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，主要考查线面平行的判定和性质.
5．如图，正方体
中，
，
分别为棱
，
的中点．有以下四个结论：
①直线
与
是相交直线；②直线
与
是平行直线；
③直线
与
是异面直线；④直线
与
是异面直线．
其中正确的结论为（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】C
【解析】结合已知图形，判断已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线．
【详解】
∵A、M、C、C1 四点不共面，∴直线AM与CC1 是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1 是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1 是异面直线，故④正确；
故选：
C．
【点睛】
本题考查的是空间中直线与直线的位置关系，其中判断两条线段的四个顶点是否共面是关键.
6．函数
的图象关于（）
A．
轴对称B．
轴对称C．原点对称D．直线
对称
【答案】C
【解析】试题分析：
由题意得，函数
的定义域为
且
关于原点对称，又由
，所以函数
是定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称，故选C．
【考点】函数的奇偶性．
7．已知正方体外接球的体积是
，那么正方体的棱长等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设正方体棱长为a,先由球的体积求球的半径r，直径2r为正方体体对角线
，列等式即可求出棱长．
【详解】
正方体外接球的体积是
则外接球的半径r=2，
设正方体棱长为a,正方体的体对角线
=2r=4，
则棱长a=
故选：
D
【点睛】
本题考查正方体的外接球问题，掌握正方体的体对角线为球的直径是解题的关键.
8．已知函数
（其中
）的图象如图所示，则函数
的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由二次函数的图像得到a＞1，即-1＜b＜0，再根据对数函数的性质即可得到答案．
【详解】
法一：
结合二次函数的图象可知，
，
，所以函数
单调递增，排除C，D；把函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，排除A，选B.
法二：
结合二次函数的图象可知，
，
，所以
，
，在
中，取
，得
，只有选项B符合，
故选:
B.
【点睛】
本题考查函数的图象，对数函数的图象与性质和图象的平移变换.
9．定义在
上的偶函数
满足：
对任意的
，都有
.则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知
可知f（x）在（-∞，0）上单调递减，又由f（x）是R上的偶函数可得在（0，+∞）上是增函数，再由指对函数的单调性即可得到结论.
【详解】
∵对任意的
，且
，都有
，∴
在
上是减函数．又∵
是
上的偶函数，∴
在
上是增函数．∵
，∴
．
故选：
D.
【点睛】
本题考查的是函数的奇偶性，单调性和指对函数图像性质的简单应用.
10．设奇函数
在
上是减函数，且
，若不等式
对所有的
都成立，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】求f（x）在[-2，2]上的最大值，然后解
即可得到t的取值范围．
【详解】
f（x）是奇函数，f
（2）=-3，则f（-2）=3
f（x）在[-2，2]上是减函数，
∴f（x）的最大值为f（-2）=3．
f（x）＜2t+1对所有的x∈[-2，2]都成立，
只需3＜2t+1，∴t＞1．
故选：
C．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查不等式恒成立问题，恒成立问题的解决方法通常是通过变量分离，转为求函数的最值问题.
11．设点
，
，
为球
的球面上三点，
为球心．球
的表面积为
，且
是边长为
的正三角形，则三棱锥
的体积为（）
A．12B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：
设球
的半径为
，过点
、
、
的截面圆半径为
，球心
到平面
的距离为
．由已知，
，则
．在
中，由正弦定理，得
，则
．
所以
，
，选B．
【考点】1、空间几何体；2、正弦定理．
【思路点晴】本题考查的是球的表面积公式、三棱锥体积的求法、正弦定理等的综合应用，属于中档题；
先根据球的表面积求出球的半径，再根据正弦定理
得到三角形的外接圆的半径；球的半径、外接圆的半径、球心到三角形的高这三线组成直角三角形，由勾股定理可得高的值，由锥体体积公式可求得最终的结果．
12．设
，若对于任意的
，都有
满足方程
，这时
的取值集合为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】易得
，在
上单调递减，所以
，故
，选B．
二、填空题
13．已知函数
，
，若
，则实数
的值为________．
【答案】-2
【解析】由
，得
，代入
解析式，得
，又
，所以
，对
和
，分类讨论，求得
【详解】
因为函数
，g（x）＝log2x，所以g
（2）＝log22＝1，f（g
（2））＝f
（1）＝1，
由f（a）＋f（g
（2））＝0，得f（a）＝－1.
当a>0时，因为f（a）＝a2≠－1，所以此时不符合题意；
当a≤0时，f（a）＝a＋1＝－1，解得a＝－2.
【点睛】
分段函数求自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验
14．若
，且
，则函数
的零点的个数是_________．
【答案】0
【解析】利用二次函数的判别式计算即可得到零点个数.
【详解】
由
可知函数f（x）为二次函数，
，
所以零点的个数为0个.
故答案为：
0.
【点睛】
本题考查函数零点的概念，考查二次函数的图像和性质.
15．已知函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
和
，则
________.
【答案】8
【解析】试题分析：
法一、令
则
所以
是奇函数
令
则在
上
且递增，又
且递增
所以
在
递增
又因为
是奇函数，所以
在
上递增，
从而
在区间
上递增
所以
法二、
当
时
，
当
时
，又
即当
时，
【考点】1、导数的基本运算；2、函数的最大值最小值.
16．设函数
是定义在
上的偶函数，且对任意的
恒有
，已知当
时，
，则下列命题：
①对任意
，都有
；②函数
在
上递减，在
上递增；
③函数
的最大值是1，最小值是0；④当
时，
.
其中正确命题的序号有________．
【答案】①②④
【解析】根据已知，分析出函数的周期性，单调性，最值，函数解析式，逐一分析四个命题的真假，可得答案．
【详解】
①∵
∴f（x+2）=f[（x+1）-1]=f（x），∴2是函数f（x）的一个周期，正确；②当
时，
为增函数，故x∈[-1，0]时，f（x）为减函数，由函数的周期性可得f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，正确；③由解析式可知函数取最小值
，取最大值1，故错误；④设x∈（3,4），则4-x∈（0,1），f（4-x）=
=f（-x）=f（x），故正确；
故答案为：
①②④.
【点睛】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的周期性，单调性，最值以及求解析式问题，考查了分析问题的能力.
三、解答题
17．计算：
（1）
，
（2）
.
【答案】
（1）210；
（2）
【解析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质即可求出结果.
【详解】
（1）原式=2（
×
）6+
−4×
−
×
+1
=2×22×33+2-7-2+1
=210．
（2）原式=2-2+
+log24
=
+2
=
【点睛】
本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式和对数的运算性质，考查计算能力.
18．如图，在三棱锥
中，
，
，
，且
，
，
，
，
为
上一点，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求异面直线
和
所成角的余弦值.
【答案】
（1）见解析
（2）
【解析】
（1）要证明DE∥平面PAB，只需证DE与平面PAB内的一条直线平行即可．
（2）由
（1）知DE∥AP．则异面直线AB和DE所成角即AB和AP所成的角，由余弦定理计算即可．
【详解】
（1）证明：
∵AD=1，CD=2，
∴在
中，
∴DE∥AP．
∵AP⊂平面PAB，DE⊄平面PAB，
∴DE∥平面PAB；
（2）解：
由
（1）知DE∥AP．则异面直线AB和DE所成角即AB和AP所成的角．∵PD⊥AC，AD=1，PD=2，在
中，AP2=AD2+PD2=12+22=5．
∵BD⊥AC，AD=1，BD=1，在
中，AB2=AD2+BD2=12+12=2．
∵PD⊥BD，PD=2，在
中，PB2=PD2+BD2=22+12=5．
在
中，cos∠PAB=
∴异面直线
和
所成角的余弦值为
.
【点睛】
本题考查直线与平面平行的证明，异面直线及其所成的角;求异面直线所成角关键在于平移直线将异面直线转为相交直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
19．已知函数
.
（1）若函数
是
上的偶函数，求实数
的值；
（2）若
，求函数
的零点。
【答案】
（1）
；
（2）
.
【解析】
（1）由题意得
，即
，根据函数解析式整理可得
，故得
．
（2）当
时得到函数的解析式，然后根据指数与对数的关系可得
，整理得
，求得
，于是可
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