海淀区学年高一第一学期期末数学试题与答案官方版.docx
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海淀区学年高一第一学期期末数学试题与答案官方版
海淀区高一年级第一学期期末调研
数学
2020.01
学校班级姓名成绩
考1．本试卷共6页，共三道大题，18道小题.满分100分.另有一道附加题（5分）.考
生试时间90分钟.
须2．在卷面上准确填写学校名称、班级名称、姓名.
知3．考试结束，请将本试卷和草稿纸一并交回.
一、选择题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
（1）设集合A{x|1x2},B{0,1,2}，则AIB（）
A.{0}B.{0，1}C.{0，1，2}D.{1,01,,2}
（2）不等式|x1|2的解集是（）
A.{x|x3}B.{x|1x3}C.{x|1x3}D.{x|3x3}
（3）下列函数中，既是偶函数，又在（0,）上是增函数的是（）
A.
y
1
x
x
B.y2C.
2
yxD.ylnx
（4）某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：
甲乙
98817799
6102256799
53203023
7104
根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是（）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
a
（5）已知a,bR，则“ab”是“1
”的（）
b
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
1
2
x2,
（6）已知函数f（x）x若关于x的函数yf（x）k有且只有三个不同的零点，则实数k的
2
x3,x2.
取值范围是（）
A.（3,1）B.（0,1）C.3,0D.（0,）
（7）“函数f（x）在区间[1,2]上不．是．增函数”的一个充要条件是（）
A.存在a（1,2）满足f（a）f
（1）B.存在a（1,2）满足f（a）f
（2）
C.存在a,b[1,2]且ab满足f（a）f（b）D.存在a,b[1,2]且ab满足f（a）f（b）
（8）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、
能源、物联网等.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有
256
2种可能，因此，
为了破解密码，最坏情况需要进行
256
2次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行
11
2.510次哈希
运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为
（参考数据lg20.3010,lg30.477）（）
A.
73
4.510秒B.
65
4.510秒C.
7
4.510秒D.28秒
二、填空题：
本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.
x
（9）函数f（x）a（a0且a1）的图象经过点（1,2），则a的值为__________.
（10）已知f（x）lgx，则f（x）的定义域为__________,不等式f（x1）0的解集为.
uuur
（11）已知OA（1,0）
uuur
，AB（1,2）
uuur
，AC（1,1）
uuur
，则点B的坐标为_________,CB
的坐标为_________.
（12）函数（）22
x
fx
x
的零点个数为_______，不等式f（x）0的解集为_____________.
（13）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的
校友，他们2018年的平均年收入约为35万元.由此_____（填“能够”或“不能”）推断该大学20
世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是_________________________
_______________________________________________________.
（14）对于正整数k，设函数fk（x）[kx]k[x]，其中[a]表示不超过a的最大整数.
①则
2
f（）_______;
2
3
②设函数g（x）f2（x）f4（x），则在函数g（x）的值域中所含元素的个数是____________.
2
三、解答题：
本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题共11分）
某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，女生90人.基于目前高考制度的改革，为
了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查.现采
用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同
意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．
选“同意”的人数选“不同意”的人数
男生4a
女生b2
（Ⅰ）写出a，b的值；
（Ⅱ）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数；
（Ⅲ）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同
意”的概率．
（16）（本小题共11分）
已知函数
2
f（x）ax2ax3.
（Ⅰ）若a1，求不等式f（x）0的解集；
（Ⅱ）已知a0，且f（x）0在[3,）上恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）0有两个不相等的正．实数根
x1,x2，求
22
xx的取值范围.
12
3
（17）（本小题共12分）
如图，在射线OA,OB,OC中，相邻两条射线所成的角都是120
o，且线段OAOBOC.
uuuruuuruuur
设OPxOAyOB
.
（Ⅰ）当x2,y1时，在图1中作出点P的位置（保留作图的痕迹）；
（Ⅱ）请用x,y写出“点P在射线OC上”的一个充要条件：
_________________________________；
（Ⅲ）设满足“x2y4且xy0”的点P所构成的图形为G，
①图形G是_________；
A.线段B.射线C.直线D.圆
②在图2中作出图形G.
BB
OO
CA
CA
图图2
1
（18）（本小题共10分）
已知函数f（x）的图象在定义域（0,）上连续不断.若存在常数T0，使得对于任意的x0，
f（Tx）f（x）T恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）.
（Ⅰ）若f（x）满足性质P
（2），且f
（1）0，求
1
f（4）f（）的值；
4
（Ⅱ）若
f（x）logx，试说明至少存在两个不等的正数T1,T2，同时使得函数f（x）满足性质P（T1）
1.2
和P（T2）.（参考数据:
4
1.22.0736）
（Ⅲ）若函数f（x）满足性质P（T），求证：
函数f（x）存在零点.
4
附加题：
（本题满分5分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）
在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集
SPxyiLN（NN+），寻找函数yf（x）去拟合数据点集S，就是寻找合适的函数，
{i（i,i）|1,2,,}
使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势.
（Ⅰ）下列说法正确的是_________.（写出所有正确说法对应的序号）
A.对于任意的数据点集S，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点
B.存在数据点集S，不存在函数使其图象经过每一个数据点
C.对于任意的数据点集S，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D.拟合函数的图象所经过的数据点集S中元素个数越多，拟合的效果越好
（Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度”，用以衡量数据点
集在拟合函数图象周围的分布情况.如图所示，对于数据点集
PPP，在如下的两种“偏
1,2,3
置度”的定义中，使得函数f1（x）的偏置度大于函数f2（x）的偏置度的序号为________；
y
3
P3
P2
l1
2
1
P1
O
13
l2
x
n
①
=（x,yf（x））（x,yf（x））（x,yf（x））L（x,yf（x））;
iii111222nnn
i1
n
②
=|（x,yf（x））||（x,yf（x））||（x,yf（x））|L|（x,yf（x））|.
iii111222nnn
i1
（其中|（x,y）|代表向量w（x,y）的模长）
（Ⅲ）对于数据点集S0,0,1,1,1,1,2,2，用形如f（x）axb的函数去拟合.当拟合
函数f（x）axb满足（Ⅱ）中你所选择的“偏置度”达到最小时，该拟合函数的图象必
过点_______.（填点的坐标）
5
草稿纸
6
高一年级期末统一练习
数学
参考答案及评分标准2020．01
一.选择题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分.
题号
（1）
（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案BCCDDBDB
二.填空题：
本大题共6小题，每小题4分，共24分.
（9）（10）；
（11）；（12）1；（,0）U（1,）
（13）不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入
（14）1；4
注：
两空的题，每空2分；
三.解答题：
本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（Ⅰ）由题意可得；..........2分
；..........4分
（Ⅱ）估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数
为；..........7分
（Ⅲ）如果访谈学生中选择“同意”则记为1，如果选择“不同意”则记为0，
列举如下：
11110
00
111000111000111000111000111100111100111100
..........9分
共有76=42种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有42636种，
..........10分记“访谈学生
中至少有一人选择‘同意’”为事件，则P（A）
366
427
..........11分
（16）（Ⅰ）当a1时，由
2
f（x）x2x3≥0解得{x|x≥3或x≤-1}..........3分
7
（Ⅱ）当a0时，二次函数
2
f（x）ax2ax3开口向上，对称轴为x1，
所以f（x）在[3,）上单调递增，...........5分
要使f（x）≥0在[3,）上恒成立，只需f（3）9a6a3≥0，...........6分
所以a的取值范围是{a|a≥1}...........7分
（Ⅲ）因为f（x）0有两个不相等的正．实数根x1,x2，
a0
2
4a12a0
所以
xx
12
20
，..........8分
xgx
12
3
a
0
解得a3，所以a的取值范围是{a|a3}...........9分
因为
6
222
xx（xx）2xgx4，..........10分
121212
a
所以，
22
xx的取值范围是（2,4）...........11分
12
（17）（Ⅰ）
B
P
O
CA
图中点P即为所求............4分
（Ⅱ）xy且x0,y0；...........7分
说明：
如果丢掉了“x0,y0”，（Ⅱ）给2分
（Ⅲ）①A；,..........10分
②
E
B
O
CA
D
图中线段DE即为所求............12分
8
（18）（Ⅰ）因为满足性质，
所以对于任意的，f（2x）f（x）2恒成立.
又因为f
（1）0，
所以，f
（2）f
（1）22，...........1分
f（4）f
（2）24，...........2分
由
1
f
（1）f（）2可得
2
1
f（）f
（1）22，
2
由
11
f（）f（）+2可得
24
11
f（）f（）24，.........3分
42
所以，
1
f（4）f（）0.............4分
4
（Ⅱ）若正数T满足
TT），
log（Tx）logxT，等价于log1.2TT（或者1.2
1.21.2
x
记g（x）xlog1.2x，（或者设g（x）1.2x，x（0,））.........5分
显然g
（1）0，
g
（2）2log2log1.44log20，
1.21.21.2
因为
4
1.22，所以
16
1.216，16log1.216，即g（16）0............6分
因为g（x）的图像连续不断，
所以存在
T（1,2）,T（2,16），使得g（T1）g（T2）0，
12
因此，至少存在两个不等的正数
T1,T2，使得函数同时满足性质P（T1）和
P（T）.............7分
2
（Ⅲ）①若f
（1）0，则1即为的零点；...........8分
②若f
（1）M0，则f（T）f
（1）T，
2
f（T）f（T）Tf
（1）2T，L，
可得
kk1
f（T）f（T）Tf
（1）kT，其中kN.
取k[M]1M
TT
k
即可使得f（T）MkT0.
所以，存在零点............9分
③若f
（1）M0，则由
1
f
（1）f（）T
T
，可得
1
f（）f
（1）T
T
，
由
11
f（）f（）T
2
TT
，可得
11
f（）f（）Tf
（1）2T
2
TT
，L，
由
11
f（）f（）T
k1k
TT
，可得
11
f（）f（）Tf
（1）kT，其中kN.
kk1
TT
MM
取[]1
k
TT
即可使得
1
f（k）MkT0.所以，存在零点.
T
综上，存在零点............10分
9
附加题：
（本题满分5分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）
【答案】（Ⅰ）B、C...........2分
（Ⅱ）①...........4分
（Ⅲ）（1,1）
2
...........5分
注：
对于其它正确解法，相应给分.
10
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