排列与组合解题技巧.docx
《排列与组合解题技巧.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列与组合解题技巧.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
排列与组合解题技巧
高二数学（理）讲义
专题：
排列与组合解题技巧
主要技巧：
一.运用两个基本原理
例1：
n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
练习1：
同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种
二.特殊元素（位置）优先
例2：
从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？
练习2：
8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？
三.捆绑法
例3：
8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
练习3：
记者要为
名志愿者和他们帮助的
为老人拍照，要求排成一排，
位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
种
种
种
种
四.插入法
例4：
排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？
练习4：
安排
位工作人员在
月
日到
月
日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在
月
日和
日，不同的安排方法共有种。
五.排除法
例5：
求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
练习5：
100件产品中有3件是次品，其余都是正品。
现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？
练习6：
8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？
六.机会均等法
例6：
10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？
练习7：
用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。
七.转化法
例7：
一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
练习8：
动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？
八.隔板法
例14：
20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？
练习9：
把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。
请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？
针对练习：
1、7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？
2、7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？
3、（1996年全国高考题）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个.
4、（1995年上海高考题）1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．
5、（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.
6、（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）
A．42B．30C．20D．12
7、（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）
8、（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）
A．种B．种C．种D．种
9、（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
?
?
?
A．24种?
?
?
?
?
?
?
?
?
B．18种?
?
?
?
?
?
?
?
?
C．12种?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
D．6种
10、（2008年陕西卷）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．
11、（2008年天津卷）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．
12、（2008年浙江卷）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）。
参考答案：
一.运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例1：
n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
解法1：
用分类记数的原理，没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n个人通过，有种结果。
所以一共有种可能的结果。
解法2：
用分步记数的原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。
所以一共有种可能的结果。
例2：
同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种
解：
设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有种分配方式。
二.特殊元素（位置）优先
例3：
从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？
解：
个位选0，有个，个位不选0且万位不能选0，有个，所以一共可以得到个偶数。
注0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。
例4：
8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？
解：
先排甲，有种排法。
再排乙，有种排法，再排其余的人，又有种排法，所以一共有种排法。
三.捆绑法
例5：
8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
解：
把甲、乙、丙先排好，有种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有种排法，所以一共有=1440种排法。
四.插入法
例6：
排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？
解：
先排5个不是小品的节目，有种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有种排法，所以一共有=7200种排法。
注：
捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。
五.排除法
例7；求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
解：
从8个点中取4个点，共有种方法，其中取出的4个点共面的有种，所以符合条件的四面体的个数为个。
例8：
100件产品中有3件是次品，其余都是正品。
现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？
解：
从100件产品中取5件产品，有种取法，从不含次品的95件中取出5件产品有种取法，所以符合题意的取法有种。
例9：
8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？
解：
无限制条件有种排法。
A与B或A与C在一起各有种排法，A、B、C三人站在一起且A在中间有种排法，所以一共有+=21600种排法。
六.机会均等法
例10：
10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？
解：
甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为。
例11：
用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。
解：
若不为0，在每一个数位上1，4，5，，出现的机会是均等的。
由于一共可以得到24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到：
，解得。
若为0，无解。
七.转化法
例12：
一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
解：
10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。
显然，必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。
记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。
其余的填写A，这是一个组合问题，所以一共有种走法。
例13：
动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？
解：
动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14，把动点运动1个单位看成是1步，则动点走了14步，于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”，这也是一个组合的问题，于是得到一共有种走法。
八.隔板法
例14：
20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？
解：
将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可以插在同一空隙中），规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给3个人，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为种方法。
注：
本题可转化成求方程的非负整数解的个数。
升级会员 