高中数学 第三章《不等式》全部教案 北师大版必修5.docx

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高中数学第三章《不等式》全部教案北师大版必修5

2019-2020年高中数学第三章《不等式》全部教案北师大版必修5

一、教学目标：

（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．

二、教学重点，难点：

（1）通过具体情景，建立不等式模型；

（2）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．

三、教学方法：

启发引导式

四、教学过程

（一）．问题情境

在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：

（1）某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?

（2）某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？

（3）下表给出了三种食物,,的维生素含量及成本：

维生素（单位/kg）

维生素（单位/kg）

成本（元/kg）

300

700

5

500

100

4

300

300

3

某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素及40000单位的维生素，设,这两种食物各取kg，kg，那么,应满足怎样的关系？

2．问题：

用怎样的数学模型刻画上述问题？

（二）．学生活动

在问题

（1）中,设人（）买20人的团体票不比普通票贵,则有．

在问题

（2）中,设每本杂志价格提高元,则发行量减少万册,杂志社的销售收入为万元．根据题意，得，

化简，得．

在问题（3）中,因为食物,分别为kg，kg，故食物为kg，则有

即

上面的例子表明，我们可以用不等式（组）来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用（）表示不等关系.

（三）．建构数学

1．建立不等式模型：

通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．

问题

（1）中的数学模型为一元一次不等式,问题

（1）中的数学模型为一元二次不等式,问题

（1）中的数学模型为线形规划问题．

2．比较两实数大小的方法——作差比较法：

比较两个实数与的大小，归结为判断它们的差的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．

（四）．数学运用

1．例题：

例1．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？

解：

假设截得的500mm钢管根，截得的600mm钢管根．

根据题意，应有如下的不等关系：

说明：

关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．

例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食百克、米饭百克，试写出满足的条件．

解：

满足的条件为

．

例3．比较大小：

（1）与；

（2）与（其中，）．

分析：

此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．

解：

（1）

∴

．

（2）

，

∵，，∴，所以．

说明：

不等式（，）在生活中可以找到原型：

克糖水中有克糖（），若再添加克糖（），则糖水便甜了．

例4．已知比较与的大小．

解：

=-----------------（*）

（1）当时，（*）式，所以；

（2）当时，（*）式，所以；

（3）当时，（*）式，所以

说明：

1．比较大小的步骤：

作差－变形－定号－结论；2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．

2．练习：

（1）比较的大小；

（2）如果,比较的大小．

（五）．回顾小结：

1．通过具体情景，建立不等式模型；2．比较两实数大小的方法——求差比较法．

（六）．课外作业：

课本第68页练习第1，2，3题（“不求解”改为“并求解”）．

补充：

1．比较与的大小；2．已知且，比较与的大小．

第二课时§3.1不等关系

（二）

一、教学目标

1．知识与技能：

掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；

2．过程与方法：

通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

3．情态与价值：

通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.

二、教学重点：

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

教学难点：

利用不等式的性质证明简单的不等式。

三、教学方法：

探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）.课题导入：

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若

（二）.探析新课

1、不等式的基本性质：

师：

同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？

证明：

1）∵（a＋c）－（b＋c）＝a－b＞0，∴a＋c＞b＋c

2）

，∴．

实际上，我们还有，（证明：

∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．根据两个正数的和仍是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0，即a－c＞0，∴a＞c．

于是，我们就得到了不等式的基本性质：

（1）

（2）

（3）

（4）

2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：

（1）

；

（2）

；

（3）

。

证明：

1）∵a＞b，∴a＋c＞b＋c．①

∵c＞d，∴b＋c＞b＋d．　②。

由①、②得　a＋c＞b＋d．

2）

3）反证法）假设，则：

若这都与矛盾，∴．

[范例讲解]：

例1、已知求证：

。

证明：

以为，所以ab>0,。

于是，即

由c<0，得

（三）.随堂练习1：

（1）、课本P82的练习3

（2）、在以下各题的横线处适当的不等号：

（1）（＋）2６＋2；

（2）（－）2（－1）2；（3）；

（4）当a＞b＞0时，logalogb

答案：

（1）＜

（2）＜（3）＜（4）＜

[补充例题]：

例2、比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。

分析：

此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）。

根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。

比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。

解：

由题意可知：

（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）

＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）

随堂练习2：

（1）、比较大小：

（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2

（2）

（四）.课时小结：

本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：

作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：

判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：

得出结论

（五）.作业布置：

课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题

五、教后反思

第三课时§3.2一元二次不等式及其解法

一、教学目标：

1．知识与技能：

理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：

激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

二、教学重点：

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

教学难点：

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

三、教学方法：

探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）.课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

教材P84互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：

…………………………

（1）

（二）.探析新课

1）一元二次不等式的定义：

象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式

2）探究一元二次不等式的解集。

怎样求不等式

（1）的解集呢？

探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：

二次方程的有两个实数根：

二次函数有两个零点：

于是，我们得到：

二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集

画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：

当x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即；

当0

所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。

3）探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：

 一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？

组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：

（1）抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况；

（2）抛物线的开口方向，也就是a的符号

总结讨论结果：

（l）抛物线 （a>0）与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程=0的判别式三种取值情况（Δ>0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论

（2）a<0可以转化为a>0；分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集

一元二次不等式

的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

（让学生独立完成课本第86页的表格）

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

[范例讲解]

例2（课本第87页）求不等式的解集.

解：

因为

.所以，原不等式的解集是

例3（课本第88页）解不等式.

解：

整理，得.因为

无实数解，

所以不等式的解集是.从而，原不等式的解集是.

（三）.随堂练习：

课本第89的练习1

（1）、（3）、（5）、（7）

（四）.课时小结：

解一元二次不等式的步骤：

①将二次项系数化为“+”：

A=>0（或<0）（a>0）②计算判别式，分析不等式的解的情况：

ⅰ.>0时，求根<，

ⅱ.=0时，求根＝＝，

ⅲ.<0时，方程无解，③写出解集.

（五）.评价设计：

课本第89页习题3.2[A]组第1题

五、教后反思

第四课时§3.2一元二次不等式的应用

一、教学目标

1．知识与技能：

巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练