八个有趣模型搞定空间几何体的外接球和内切球.docx
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八个有趣模型搞定空间几何体的外接球和内切球
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球
B
方法：
找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=a2-b2•c2,即2R^a2^2c2,求出R
例1
（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是（
A.16：
B.20二C.24二D•32二
（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为.3,则其外接球的表面积是9tt
解：
（1）V=a2h*6,a=2,4R2=a2a2h2=4416=24,s二24二，选C；
（2）4RJ333二9,SFRJ9；（3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的屮点，且AM_MN,若侧棱SA=2・..3,则
正三棱锥S-ABC外接球的表面积是。
36:
解：
引理：
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下：
如图（3）-1,取AB,BC的屮点D,E,连接AE,CD,AE,CD交于H,连接SH,则H是底面正三角
形ABC的屮心，SH_平面ABC,SH_AB,
AC二BC,AD二BD,CD_AB,AB_平面SCD,
-AB_SC,同理：
BC_SA,AC_SB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图（3）-2,AM_MN,SB//MN,
AMSB,ACSB,SB_平面SAC,
SB_SA,SB_SC,SB_SA,BC_SA,
■SA—T*ifnSBC,SA—SC,
故三棱锥S・ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
-（2R）2=（2*3）2（2一3）2（2.3）2=36,即4R2=36,
-正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36二
⑷在四面体S-ABC屮，SA_平面ABC,ZBAC=120,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接
球的表面积为（D）A.11二B.7二
（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为
（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为
何体外接球的体积为
1040
C.D.—
33
6、4、3,那么它的外接球的表面积是
1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几
解析：
（4）在ABC中，BC=AC2AB-2ABBCcos120
BC「7,ABC的外接球直径为
（2R）2=（2r）2
a,b,c（a,b,cER）,则
be=8,
ac=6
abc=24,
a=3,
b=4,
c=2,（2R）=
2
3・3
（6）（2R）2
二a
■b2c
2=3,
R2
—?
R二一一
42
43
4
3V3
.3
V口一
—H
——JT
3
3
8
9・
（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为
ab=12
22222
abc=29,s=4二R=29二,
图5
2R=.PA2（2r）2；
垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：
如图5,PA平面ABC
类型二、解题步骤：
第一步：
将」ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接PD,贝UPD必过球心O；
第二步：
Ch为ABC的外心，所以OOj平面ABC,算出小圆Q的半
径OiDz:
r（三角形的外接圆直径算法：
利用正弦定理，得
sinAsinB+=2r）,OOiJpA；
sinC2
第三步：
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①
222
（2R）二PA（2r）=
②R2二r2OO12Z1R»r200：
2.题设：
如图6,7,&P的射影是ABC的外心二三棱锥P-ABC的三条侧棱相等二三棱锥P・ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点
解题步骤：
第一步：
确定球心0的位置，取ABC的外心0仃则P,0o三点共线；
第二步：
先算出小圆0i的半径A0Ar,再算出棱锥的高P0Ah（也是圆锥的高）第三步：
勾股定理：
0A2=0iA292=R2=（h■旳2「2,解出R
方法二：
小圆直径参与构造大圆。
例2—个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为
16兀
A.3二B.2二C.D.以上都不对
3
解：
选C,（.3・R）21二R2,3-23R1二R2,4-2-3R=0,
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
1题设：
如图9-1,平面PAC_平面ABC,且AB_BC（即AC为小圆的直径）
第一步：
易知球心0必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC=2r:
第二步：
在APAC中，可根据正弦定理一bC2R,求出R
sinAsinBsinC
2•如图9-2,平面PAC_平面ABC,且AB_BC（即AC为小圆的直径）
OC2=OiC2OiO2=R2=r20i02=AC=2・R2-OQ2
3•如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心二三棱锥P・ABC的三条侧棱相等三棱P・ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆
锥的顶点解题步骤：
第一步：
确定球心0的位置，取ABC的外心Oi,则PQ,oJ三点共线；
第二步：
先算出小圆的半径AOAr,再算出棱锥的高POAh（也是圆锥的高）；
第三步：
勾股定理：
OA2=OiA2,oiCXRJ（h-R）2r2,解出R
4•如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC（即AC为小圆的直径），且PA_AC,贝U
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2R）2=PA2-（2r）2：
=2RffPA2•（2r）2；
②R2=r2OOj=RYr2OO,
例3（i）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为i,底面边长为2•3,则该球的表面积为
（2）正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为-
解：
（i）由正弦定理或找球心都可得2R=7,s=4r：
R2=49r：
4兀
（2）方法一：
找球心的位置，易知r=1,h=1,h=r,故球心在正方形的中心ABCD处，R=1,V=—
3
方法二：
大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是・SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，
4兀
2R=2,R=1,V=
（3）在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=・3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60'，则该三棱锥外
Di
2
（4）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上，UABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（a
A.Al
6
题设：
如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：
确定球心0的位置，01是ABC的外心，则00—平面ABC；
11亠
第二步：
算出小圆0i的半径A0”i=r,00iAAih（AA-A=h也是圆柱的咼）；
22
第三步：
勾股定理：
0A2=0小2+01。
2二R2=（»）2+产二R=Jr2+J）2,解出R
2V2
例4
（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
9
且该六棱柱的体积为，底面周长为3,则这个球的体积为
8
1
解：
设正六边形边长为a,正六棱柱的咼为h,底面外接圆的关径为r,则a二一，
2
底面积为S=6出（丄）2二口，V柱二h,■h,R2二（3）2（丄）2=1,
4288822
R=1,球的体积为V—…
（2）直三棱柱ABC・ABC的各顶点都在同一球面上，若AB二AC二AAi二2,・BAC=120,则此球的表
面积等于
AA]2
（T）
28
40
160
4
S=・
3
3
3
类型五、折叠模型题设：
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
（如图11）
第一步：
先画出如图所示的图形，将
BCD01在小圆上，找出BCD和ABD的外心Hi和H2
第二步：
过Hi和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC；
222
第三步：
解OEH1,算出OHi,在RtOCH1中，勾股定理：
OH1,CHi=OC
例5三棱锥P・ABC中，平面PAC_平面ABC,△PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，贝9三棱锥尸-ABC外接球的半径为
解析：
2rA2r2
1
2
2sin60
4,21
J33,q2H1.3,
22
R
R=O2H
333
法二：
O2H
AH-1
P
R2=AO2=AH2OiH2O1O2
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径
第一步：
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
（AB二CD,AD二BC,AC二BD）
第二步：
设出长方体的长宽高分别为a,b,c,AD二BC二x,AB二CD二y,AC二BD二z,列方程组,
a2
«b2
2
c
补充:
b2
c2222,22
=y=（2R）=abc=a22
=z
1
va_bcd=abcabc4abc
6
第三步：
根据墙角模型，2R二a2b2c2
图42
222
xyz,求出R,
8
例如，正四面体的外接球半径可用此
法。
例6
（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若
个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是
⑴题
（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是点
A.口B.£■
433
12
解：
（1）截面为PCO,,面积是2；
（2）高h=R=1,底面外接圆的半径为R=1,直径为2R=
2,
⑴题解答图
a
a「3,S一二a2一空，
设底面边长为a,则2R
4
4
，1
三棱锥的体积为VSh二
3
2222222222
bc=4,ca=16.2（a
（3）在三棱锥A-BCD屮，AB二CD=2,AD二BC=3,AC二BD=4,则三棱锥A-BCD外接球的表
面积为
解析：
如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b5c,则a2bA9,
bc）=9416=29,2（abc）=9416=29,
b2C2294R2二里，S二29二
222
（4）如图所示三棱锥A・BCD,其中AB=CD=5,AC=BD二6,AD=BC=7,则该三棱锥外接球的表面积为.
解析：
同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,
2（a2b2c2）=253649=110,a2b2c2=55,4R?
二55,S=55…
【55二；对称几何体；放到长方体中】
（5）正四面体的各条棱长都为-..2,则该正面体外接球的体积为
解析：
这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R=3,
）模型
类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥
O,连接
题设：
・APB=/ACB=90,求三棱锥P・ABC外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点
OP,OC,则OA=OB=OC=OP二*AB,■O为三棱锥P-ABC外接球球心，然后在OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定
解析：
（2）BD的屮点是球心O,2R=BD=J13,s=4二R2=13二;
图15
32
■
R
类型八、锥体的内切球问题
1题设：
如图14,三棱锥P_ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：
先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；
1
第二步：
求DHBD,P0二PH・r,PD是侧面ABP的高；
3
第三步：
由POE相似于PDH,建立等式：
匹=-po,解出r
DHPD
2•题设：
如图15,四棱锥P-ABC±正四棱锥，求其外接球的半径
第一步：
先现出内切球的截面图，P,0,H三点共线；
1
第二步：
求FHBC,P0=PH—r,PF是侧面-PCD的高；
2
第三步：
由」POG相似于PFH,建立等式：
99二史，解出
HFPF
3•题设：
三棱锥P・ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：
先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：
设内切球的半径为r,建立等式：
VpaBCI2VoJBC-Vo_PAB-VAPACVo_PBCA，
1
1
1
1
1
VP-ABC
S
ABCr
SPAB
r
SPACT
—SPBCr
（SABCfsPAB1SPAC1sPBC）订
3
3
3
3
3
第三步:
解出
r
3V
SoSBC
So
-PAB
So_PAC
So_PBC
习题：
1•若三棱锥S・ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球半径为（）
A.3B.6C.36D.9
解:
[J（2R）2=_416*16=6,R=3
【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】
2•三棱锥5・ABC中，侧棱SA_平面ABC,底面ABC是边长为■.3的正三角形，SA=2-.3,则该三
棱锥的外接球体积等于
|322
解析：
2r2,（2R）=472=16,R=4,R=2,外接球体积
sin60
【外心法（加屮垂线）找球心:
正弦定理求球小圆半径】
3•正三棱锥S・ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2,则该三棱锥的外接球体积等
于-
解
242
外接球半径R=-,
■Ar\r\
析：
ABC外接圆的半径为,三棱锥S・ABC的直径为2R
9
6.三棱锥卩・ABC屮，平面PAC_平面ABC外接AC=2,PA_PC,AB_BC,则三棱锥尸-ABC球的半径为
解：
AC是公共的斜边，AC的中点是球心O,球半径为R=1
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