八个有趣模型搞定空间几何体的外接球和内切球.docx

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球和内切球八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球B方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R) 2 =a2 - b2 c2,即2Ra22 c2,求出R例1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4,体积为16,则这个球的表面积是(A. 16： B . 20 二 C . 24 二 D 32 二(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 .3,则其外接球的表面积是 9tt解：(1) V =a2h *6 , a =2, 4R2 =a2 a2 h2 =4 4 16=24 , s 二 24 二，选 C；(2)4RJ3 3 3 二9, SFRJ9；

2、(3)在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的屮点，且AM _ MN,若侧棱SA=2.3,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 。36 :解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图(3) -1,取AB, BC的屮点D,E,连接AE,CD, AE,CD交于H,连接SH,则H是底面正三角形ABC的屮心， SH_平面ABC, SH_AB ,AC 二 BC , AD 二 BD , CD _ AB, AB _ 平面 SCD ,-AB_SC,同理：BC _ SA, AC _ SB,即正三棱锥的对棱互垂直, 本题图如图(3) -2 , AM_MN , SB/MN ,AM SB, AC SB

3、, SB_平面 SAC ,SB_SA, SB_SC, SB_SA, BC _ SA,SA T*ifn SBC, SA SC,故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，-(2R)2 =(2 *3)2 (2 一 3)2 (2.3)2 =36,即 4R2 =36 ,-正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36二在四面体S-ABC屮，SA_平面ABC, ZBAC =120 ,SA= AC =2, AB =1,则该四面体的外接球的表面积为(D ) A.11二 B.7二(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为10 40C. D.3

4、 36、4、3,那么它的外接球的表面积是 1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几解析：(4)在 ABC 中，BC = AC2 AB-2AB BC cos 120BC7, ABC的外接球直径为(2R)2 =(2r)2a,b, c( a,b,cE R ),则be =8,ac = 6abc = 24,a=3,b=4,c=2, (2R)=23 3(6) (2R)2二 a b2 c2=3,R2? R 二一一4 24 343V3.3V 口一HJT3389(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为ab =1222222a b c =29, s = 4 二 R = 29 二,图52R = . PA2 (

5、2r)2 ；垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设：如图5, PA平面ABC类型二、 解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连 接PD,贝U PD必过球心O ；第二步：Ch为ABC的外心，所以OOj平面ABC,算出小圆Q的半径OiDz:r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得sin A sinB + =2r), OOi JpA ；sin C 2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：222(2R)二 PA (2r)= R2 二 r2 OO12 Z1 Rr2 00：2.题设：如图6, 7, & P的射影是ABC的外心二三棱锥P - ABC的

6、三条侧棱相等二三棱锥 PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 0的位置，取ABC的外心0仃则P,0o三点共线；第二步：先算出小圆0i的半径A0Ar,再算出棱锥的高P0Ah (也是圆锥的高) 第三步：勾股定理：0A2 =0iA2 92= R2 =(h旳22,解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为16兀A. 3二 B. 2二 C. D .以上都不对3解：选 C, ( .3 R)2 1 二 R2, 3-2 3R 1 二 R2, 4-2-3R = 0,类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）1题设：如图9

7、-1,平面PAC_平面ABC,且AB_BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心0必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC=2r:第二步：在APAC中，可根据正弦定理一b C2R,求出Rsin A sin B sin C2如图9-2,平面PAC_平面ABC,且AB_BC （即AC为小圆的直径）OC2 =OiC2 OiO2= R2=r2 0i02= AC = 2 R2-OQ23如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心二三 棱锥PABC的三条侧棱相等 三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题

8、步骤：第一步：确定球心0的位置，取ABC的外心Oi,则PQ,o J三点共线；第二步：先算出小圆的半径AOAr,再算出棱锥的高POAh （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2 =OiA2, oiCXRJ （h-R） 2 r2,解出R4如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC （即AC为小圆的直径），且PA_AC,贝U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： （2R） 2=PA2- （2r） 2： = 2RffPA2 （2r） 2； R2 =r2 OOj = R Yr2 OO,例3 （i）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为i,底面边长为2 3,则该球的表面积为（2）正四棱锥S -A

9、BCD的底面边长和各侧棱长都为 2,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 -解：（i）由正弦定理或找球心都可得2R=7, s=4 r： R2=49 r：,4兀（2）方法一：找球心的位置，易知r =1 , h=1, h=r,故球心在正方形的中心ABCD处，R =1, V =3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是 SAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球半径，4兀2R =2 , R =1 , V =（3）在三棱锥P - ABC中，PA = PB = PC =3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ，则该三棱锥外Di2（4）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球 O的求面上，UABC是

10、边长为1的正三角形，SC为球0的直 径，且SC = 2,则此棱锥的体积为（ aA. Al6题设：如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角 形）第一步：确定球心0的位置，01是ABC的外心，则00平面ABC；1 1 亠第二步：算出小圆0i的半径A0”i=r, 00i AAi h （ AA-A = h也是圆柱的咼）；2 2第三步：勾股定理：0A2 =0 小 2+01。2 二 R2= （） 2+产二 R = Jr2+J ） 2,解出 R2 V2例4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个

11、球面上，9且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3,则这个球的体积为 81解：设正六边形边长为a,正六棱柱的咼为h,底面外接圆的关径为r,则a二一，2底面积为 S =6 出（丄）2 二口， V 柱二 h , h , R2 二（3）2 （丄）2 =1 ,4 2 8 8 8 2 2R=1,球的体积为V(2)直三棱柱ABC ABC的各顶点都在同一球面上，若AB二AC二AAi二2 ,BAC = 120,则此球的表面积等于AA2(T)28401604S =333类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)第一步：先画出如图所示的图形，将BCD 01在小圆上，找出BCD和A

12、 BD的外心Hi和H2第二步：过Hi和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC ；222第三步：解OEH 1,算出OHi,在Rt OCH 1中，勾股定理：OH1, CHi = OC例5三棱锥PABC中，平面PAC_平面ABC, PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，贝9三棱锥尸- ABC外接球的半径为解析：2rA2r2122 sin 604, 2 1J3 3, q2H 1.3,22,RR=O2H333法二：O2HAH-1PR2 =AO2 =AH2OiH2 O1O2类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接

13、球半径第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；(AB 二 CD , AD 二 BC , AC 二 BD)第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c, AD二BC二x, AB二CD二y, AC二BD二z,列方程组,a2b22c补充:b2c2 22 2,2 2=y = (2R) = a b c = a2 2=z1va_bcd =abc abc 4 abc6第三步：根据墙角模型， 2R二a2 b2 c2图42222x y z ,求出R,8例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6 （ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是题（

14、2） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上，其中底面的三个顶在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 点A. 口 B . 4 3 312解：（1）截面为PCO,面积是2 ；（2）高h=R=1,底面外接圆的半径为R= 1,直径为2R =2,题解答图aa3, S 一二 a2一空，设底面边长为a,则2R44， 1三棱锥的体积为V Sh二32 2 2 2 2 2 2 222b c =4, c a =16. 2( a(3)在三棱锥A-BCD屮，AB二CD =2,AD二BC =3,AC二BD =4,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长， 设长

15、宽高分别为a,b5c,则a2 bA9 ,b c ) =9 4 16=29, 2(a b c )=9 4 16=29,b2 C2 29 4R2 二里，S 二 29 二2 22(4)如图所示三棱锥ABCD,其中AB =CD =5, AC = BD二6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的 表面积为 . 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a,b,c,2(a2 b2 c2) =25 36 49 =110, a2 b2 c2 =55, 4R?二 55, S = 55【55二；对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为-.2,则该正面体外接球的体积

16、为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中， 2R = 3,)模型类型七、两直角三角形拼接在一起 (斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥O,连接题设：APB=/ACB=90,求三棱锥PABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点OP,OC,则OA =OB =OC =OP二* AB, O为三棱锥P - ABC外接球球心，然后在OCP中求出 半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定解析：(2) BD 的屮点是球心 O, 2R = BD=J 13, s =4 二 R2 =13 二;图1532R类型八、锥体的内切球问题1题设：如

17、图14,三棱锥P _ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一 步：先现出内切球的截面图， E,H分别是两个三角形的外心；1第二步：求DH BD, P0二PHr, PD是侧面ABP的高；3第三步：由POE相似于PDH,建立等式：匹=-po,解出rDH PD2题设：如图15,四棱锥P-ABC 正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图， P,0, H三点共线；1第二步：求FH BC , P0 = PH r, PF是侧面-PCD的高；2第三步：由POG相似于PFH,建立等式：99二史，解出HF PF3题设：三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构

18、成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r,建立等式：VpaBCI2 VoJBC - Vo_PAB - VAPAC Vo_PBCA，11111VP -ABCSABCrSPABrSPAC TSPBC r(S ABC f s PAB 1 SPAC 1 s PBC )订33333第三步:解出r3VSo SBCSo-PABSo _PACSo_PBC习题：1 若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2, SB = SC = 4 ,则该三棱锥的外接球半径为（ ）A. 3 B. 6 C. 36 D. 9解:J（2R）2 = _4 16* 16

19、=6, R =3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】 【共两种】2三棱锥5ABC中，侧棱SA_平面ABC,底面ABC是边长为. 3的正三角形，SA= 2 - .3,则该三棱锥的外接球体积等于|3 2 2解析：2r 2, （2R） =4 72=16, R=4 , R =2,外接球体积sin 60【外心法（加屮垂线）找球心:正弦定理求球小圆半径】3正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为 2,则该三棱锥的外接球体积等于-解2 4 2,外接球半径R=-, Ar r析： ABC外接圆的半径为,三棱锥SABC的直径为2R96.三棱锥卩ABC屮，平面PAC_平面ABC外接 AC = 2, PA_PC, AB_BC,则三棱锥尸-ABC 球的半径为解：AC是公共的斜边， AC的中点是球心O,球半径为R = 1