中考数学专题训练专题一几何题型 中点M型无答案.docx
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中考数学专题训练专题一几何题型中点M型无答案
专题一中点 M 型
基本条件：
①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M 是 BC 的中点
A
4. 如图，以矩形 OABC 的邻边 OA、OC 分别为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，F 为线段
OA 上的一点，将△COF 沿直线 CF 翻折，点 O 落在 AB 的中点 E 处，且 OC＝6.
D Q
（1） 求直线 EF 的解析式；
基本结论：
①
∽EBM∽△MCF.
P
F
（2） 将直线 EF 绕点 F 逆时针旋转 90°，得到直线 m，直线 m 交 y 轴于点 D，求点 D 的坐标。
②EM 平分∠BEF，FM 平分∠EFC.E
③EM 2 ＝EB·EF，FM 2 ＝FC·EF.
y
C B
常见特例：
B
M C
特例一：
条件：
①等边△ABC；②∠MPN＝60°，③P 是 BC 的中点。
E
D
特例二：
条件：
①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90°；②∠EDF＝45°；③点 D 是 AB 的中点。
特例三：
条件：
①AB＝AC；②∠BAC＝120°，∠EDF＝30°，③D 是 BC 的中点。
O
F A
x
特例四：
条件：
①矩形 ABCD；②∠GEF＝90°，③E 是 AB 的中点。
特例五：
条件：
①直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°；②E 是 AD 的中点；③∠BEC＝90°。
A
D C
MA
D C
DN
D A E
F G
F
E
B
B
特例一 特例二 特例三
C
A
B
特例五
巩固练习：
1.已知：
梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，E 为 AB 的中点，若 AD＝2，
BC＝4，∠CED＝90°，则 CD 长为。
2.如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 在边 BC、CD 上，若AE＝2，EF＝1，
AF＝5 ，则正方形的边长为。
3.已知：
等边 △ABC 中，AB＝8，点 D 为 AB 的中点，点 M 为 BC 上一动点
，以 DM 为一边，在点 B 异侧作等边△DMN。
DN 交 AC 于点 F，当
∠DAN＝90°时，则 FN 的长为。
A D
E
B C
巩固1
A D
F
B E C
巩固2
A
N
D F
B M C
巩固3
1.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α ，点 D 为 BC 边的中点，BE⊥AC 于 E，DF⊥AB 于 F.
（1） 当 0 0 ＜α ＜90 0 ，（如图 1），求证：
AE＋2BF＝AB；
（2） 当 90 0 ＜α ＜180 0 ，（如图 2），则 AE、BF、AB 之间的数量关系；
2. 已知：
直角梯形 ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝BC，E 为射线 BC 上一点，连接 AE，过
点 E 作 AE 的垂线，分别交直线 AB、直线 CD 于点 G 和 F.
（1） 当点 E 在 BC 上时（如图 1），求证：
BE＝BG＋CF.
（2） 当点 E 在 BC 的延长线上时（如图 2），猜想 BE、BG 和 CF 的数量关系，并证明你的猜想；
（3） 在
（1）的条件下，过点 D 作 DG∥AB，交 AC 于 G，且 DF＝GE＝3 时（如图 3），求 BF 的值。
A
A
E
（3） 在
（2）的条件下，设 AE 交 CD 于点 H，若 CH＝ 2
9
4
BE，AB＝2，且 CD＜ ，求 EG 的长。
3
A
F
A
G
D
E
F
F
E
B
D C
F
B E C
BDC
B D C
G
图1
A
D
H
BCE
F
G
图2
“A”字型专题
1.已知，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 AB 上一点，点 G 在边 AD 上，连接 EG，EG＝DG，
作 EF⊥EG，交边 BC 于点 F（图 1）。
（1） 求证：
AE＋CF＝EF；
（2） 连接正方形 ABCD 的对角线 AC，连接 DF，线段 AC 与线段 DF 相交于点 K（图 2），
探究线段 AE、AD、AK 之间的数量关系，直接写出你的结论。
（3） 在
（2）的条件下，连接线段 DE 与线段 AC 相交于点 P， 图 3）若 AK＝8 2 ，△BEF
2. 如图，在△ABC 中，AB＝2AC，点 D 在 BC 上，且∠CAD＝∠B，点 E 在 AB 的中点，
连接 CE，CE 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上，且∠CEF＝∠BAC.
（1） 若∠BAC＝90°，如图 1，求证：
EG＋EF＝ 2 AC；
（2） 若∠BAC＝120°，如图 2，此时线段 EG、EF、AC 三者之间的数量关系为 ；
（3） 在
（2）的条件下，在∠BAD 的内部作∠DAM＝60°，∠DAM 的一边 AM 交 BC 于点 M，
AM 与 CE 交于点 N，若 AC＝2，求线段 MN 的长。
C
的周长为 24，求 PK 的长。
A G D
G
D
F
E
A
E B
图1
BFC
图1
C
D
AGD
G
E
K
BFC
图2
AGD
EP
K
BFC
图3
F
A E B
图2
3.已知，在△ABC 中， BC＝AC，∠MCN＝
⊥CB 交 CN 于点 F.
1
∠ACB，CM 交 AB 于点 E，过点 B 作 BF
1. 已知，A、C 分别为∠BOE 两边上的两点，D 为∠BOE 内一点，DC∥OB，DA∥OE，连接 OD、AC
相交于点 F，G 为 FD 上一点，过点 G 的直线交 OE 于 Q，交 CD 于点 P，交 AD 于点 N，交 OB 于点 M.
（1） 当 ∠ACB＝90°（如图 1 所示）时，求证：
BE－AE＝2 BF；
（2） 当∠ACB＝120°（如图 2 所示）时，线段 BE、AE 与 BF 之间的数量关系为；
（3） 在
（2）的条件下，FB、CE 的延长线相交于点 G，连接 AG、FE，直线 AG、FE 交于点
H,若 AC＝6，BF＝BE，求 AH 的长。
AM
E
F
1
（1） 若 FG＝ FD 时（如图 1），求证：
PQ＋MN＝PN；
3
1
（2） 若 FG＝ FD 时（如图
），且 OAC 为等边三角形，OC＝4，CQ＝3，现将∠DAC 绕点 A 顺时针
2
旋转，旋转后 AD 所在边交 OC 于 S，AC 所在边交 CD 于点 T，当旋转到 AT∥MQ 时，连接 ST，
求：
ST 长。
E
Q
N
C
P D
CB
G
图1
F
A
O
A M B
M
图1
E
CB
E
Q
F
图2N
C
P D
G
A
F
M
E
CB
F
备用图N
O
A M B
图2
2.如图，已知 R
ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，sin∠BAC＝
4
5 ），P 为 AB 边上
一点，过点 P 作 PM⊥BC，PN⊥AD 垂足为 M、N。
（1） 当点 M 与点 D 重合时，求证：
PM＝5 P N.
（2） 当点 N 与点重合时，连接 AM 交 PD 于点 E，将射线 PD 绕点 P 顺时针旋转 45°，交 AM 于点 F；
“M”字型专题
1. 已知，四边形 ABCD 中，AD＝AB，AD∥BC，∠A＝90°，M 为 AD 的中点，F 为 BC 边上一点，连接
MF，过 M 点作 ME⊥MF，交边 AB 于点 E。
（1） 如图 1，当∠ADC＝90°时，求证：
4AE＋2CF＝CD.
若 AC＝3，求 EF 的长。
B
（2） 如图 2，当∠ADC＝135°时，线段 AE、CF、CD 的数量关系为 .
（3） 如图 3，在
（1）的条件下，连接 EF、EC、EC 与 FM 相交于点 K，线段 FM 关于 FE 对称的线段与
P
D （M）
3 ，FC＝AE，求 MK 的长。
AMD
N
E
A
C
B
P
M
B F C
图1
D （N）
AC
A M
E
D
P
B
M
B F C
图2
A M D
E
E
F
D （N）
N
K
B F C
AC
图3
2.如图，已知 R
ABC 中，∠C＝90°，过点 B 作∠BAC 平分线 AD 的垂线，垂足为 D，AD 交 BC 于点 E.2.如图
，在ABC 中，AC＝BC ，∠ACB＝90°，点 D 为 AB 边中点，以点 D 为顶点，作∠PDQ＝
（1）当
BC 3 1
＝ 时，求证：
DE＝ AE；
AC 5 8
90°，DP、DQ 分别交直线 AC、BC 于 E、F，分别过点 E、F 作 AB 的垂线，垂足分别为 M、N.
BC4
（2）当＝时，判断 DE、AE 的关系；
AC5
（1） 求证：
EM＋FN＝
2
2
AC.
（3）在
（2）的条件下，取 CD 中点 F，连结 EF 并延长交 AC 延长线于点 G，交 CD 于 F，现有一个 45°
角顶点与 F 重合，将它旋转一边交 CG 于点 M，另一边交 BC 于点 N，若 CM＝MG，AC＝3，求 CN 的长。
B
（2） 把∠PDQ 绕点 D 旋转，当点 E 在线段 AC 的延长线上时（如图 2）
A
E D
C
B
E
D
F
N
A
C M G
特别资料
已知：
AB
、 BCE 均为等边三角形，且 A、B、C 共线，
一、基本图形：
“A”字型
AB +
1
BC =
1
MN
E
1.计算，已知：
△ABC 中，DA 交 BF 于点 E，AE＝ED，BD：
CD＝1:
2，AC＝4，求 AF 的值。
A
D
F
M N
E
A
B C
B
D C
2.已知，△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠BAC＝120°，若 AC＝6，BC＝37 ，求 AD 的长。
B
A
D C
已知， ABC 中，AD、CE 分别平分∠BAC，∠ACB ，∠B＝60°，
求证：
（1）AE＋CD＝AC
（2）若 AD＝5，PC＝6，求 AE 的长。
A
E
2 ，求 DE 的长度。
A
B
P
D C
B
E F
D C
二、基本图形：
“X”字型
1.已知：
ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥DE，且 DB＝BC，若 AE:
EC＝1:
3，AB＝5，求 AD 的长。
B
4.已知，D 在 BC 的延长线上，DF 交 AC 于点 E，E 为 AC 的中点，BF＝3AF.
求证：
BC＝2CD.A
F
E
B
CD
A
D
E C
2.已知：
△ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC 交 AD 于点 F，若∠BAC＝45°，CD＝1，BD＝ 3
2
求 AD 的长。
A
5. 已知：
△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB⊥BD，∠DAE＝60°，求证：
BD＋2EC＝ 3 AC.
A
B
E
F
D C
B
D
E C
2 AB.
F
3.已知，矩形 ABCD 沿 BE 折叠后 C 与 G 重合，若 DE＝1，CE＝2，BC＝6，求 AF 的长。
G
G
AD
F
E
A
D
BC
4.已知：
R
ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BF 平分∠ABC，且 FC＝2AF，求证：
BE＝EF.
A
F
E
B E C
7. 已知：
矩形 ABCD 中，B（8，5），点 P（m，0）且 0＜m＜8，点 O 关于直线 PC 的对称点为 O ' ，
直线 CO ' 交直线 AB 于 Q,求 m 为何值时，△PCQ 是以 PQ 为底边的等腰三角形。
y
C B
B
D C
O A
x
三、基本图形“直射影、斜射影”
1.已知：
△ABC 中，∠BAD＝∠C， 若 AB＝4，BD＝2，求 AD 长。
5.已知：
R
ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，延长 AC 至 E 使∠CED＝∠CBE，求证：
AC＝CE .
A
A
B
D
C
BDC
E
6. 已知：
R
ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E 为 AD 中点，且 EF⊥EC，求证：
BF＝3DF .
A
已知：
ABC 中，AD⊥AC， 若 AB＝AC＝6，BD＝1，求 BC 的长。
A
E
B
F D C
BDC
3.已知：
AB⊥CD，∠CED＝90°，DF⊥AC 交 BE 于点 G，若 BG＝3，AE＝6，求 EG 的长。
A
7.已知：
梯形 OABC 中，BC∥OA，B（3，6），A（8,0）点 P（m，n）在 AB 边上（3＜m＜8），过 P
作 OA 平行线 OA，交 AC 于 D，过 P 作 OA 的垂线交 OA 于点 E，
y
求，当 m 为何值时，△ODE 为直角三角形？
C B
F
C
4.已知：
AD 平分∠BAC，E 在 BC 的延长线上，EF 垂直平分 AD 且 CE＝2CD，
求证：
DE＝2BD.A
F
E
G
B D
O A x
y
C B
O A x
B
D C E
已知：
ABC 中，BC＝2AB，P 为 BC 中点，∠ABC＝∠APF＝120°，且∠ABD＝∠C，
3. 已知：
Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，D 为 BC 中点，∠EDF＝∠B＝45°，若 BF＝2，AE＝3，求 EF 的
（1）求证：
PF＝AE
（2）若 AD＝7 ，求 DE 的长。
长。
E
A
A
D
E
F
BPC
F
B D C
已知：
ABC 为等边三角形，D 为 BC 中点，∠EDF＝60°，若 AE＝3，EF＝7，求 FC 的长。
A
E
F
B
D C
四、基本图形“M”型①直 M 型②斜 M 型
5. 已知：
△ABC 中，∠BAC＝120°，∠EDF＝∠B＝30°，且 AB＝2AE，求证:
DF＝CF。
E
1.已知：
Rt △ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 中点，∠ADE＝∠B，若 AC＝2，BC＝4，求 BE 的长。
A
A
F
E
B
D C
CDB
2.已知：
梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠AEF＝90°，若 AB＝3，BE＝1，AD＝6，EC＝8，求 DF 的长。
6. 已知：
Rt △ABC 中，∠A＝90°，∠EDF＝∠B＝45°，若 AE:
BD＝1:
2 ，求证：
EC＝2AE。
A
E
F
AD
B
D C
F
7.已知：
梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，PA:
PD＝1:
2，且 ∠A＝∠EPF＝120°
BEC
求证：
PF＝3PE.
A P D
E
B C F
上，PO⊥PQ，求当 m 为何值时， BQ3 5
2 ，8），点 P 在 BC 边上，点 Q（m，n）在 AB 边
五、基本图形：
（1）“双高型”①含 45°必全等②有 6+2 对相似，
（2）斜“A”型，（3）斜“X” 型，
（2）“双斜”型，
已知：
ABC 中，BD⊥AC，CE⊥AB，AD:
BD＝1:
2，BC＝ 5 ，求 DE 的长。
CP
B
Q
E
A
OA
D
B C
2.已知：
矩形 ABCD 中，BC＝3AB，CE:
BE＝1:
2，求∠1＋∠2 的度数。
A D
9. Rt △ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AD，且 AC＝2CD,
（1）求证：
BD＝2BE.
（2）连接 EC 交 AD 于 F，BD·CD＝60，求 DF 的长。
A
E
2 1
B E C
3.已知：
Rt △ABC 中，∠C＝90°， AB＝AC,D 为 BC 的中点，∠EDF＝45°，若 BE＝4，DE＝2 3 ，
求 EF 的长。
A
F
E
B
D C
B
D C
已知：
等边ABC 边长为 8
间的函数关系式。
B
3 AC，求证：
∠1＝∠2。
DEF ＝y，求 y 与 x 之
E
A
F
D C
A
D
7.已知：
梯形 ABCD 中，AD∥BC，BD＝CD，∠AEB＝∠C＝60°，求证：
AD＋DE＝BD.
A D
O
E
B C
已知：
ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，DE⊥AC，F 为 DE 中点，求证：
AF⊥BE.
A
E
E
1
D C
2
9.已知：
Rt △ABC 中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，∠EDF＝90°，且 AD:
BD＝1:
2，
（1）求证：
DE＝2DF.
（2）若 CD·PE＝DF·AF，AC＝5，求 PF 的长。
已知：
ABC 中，AD⊥BC，BF⊥AC，且∠ABC＝60°，求证：
AB＋3 CE＝2CB.
A
A
E
P
F
F
E
B
D C
B
D C
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