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期末考试试卷(A卷)
2007学年第二学期考试科目:
数值分析考试时间:
120分钟
学号
姓名
年级专业
题号
一
二
三
四
总分
2
3
4
5
1
6
得分
评阅人
一、判断题(每小题
2分,共10分)
1.
用计算机求
1000
10001时,应按照n从小到大的顺序相加。
(
)
n1
n
2.
为了减少误差,应将表达式2001
1999改写为
2
进行计算。
(
)
2001
1999
3.
用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。
(
)
4.
采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,
公式阶数越高,数值解越精确。
(
)
5.用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有
关,与常数项无关。
(
)
二、填空题(每空
2分,共36
分)
1.
已知数a的有效数为
0.01,则它的绝对误差限为
________,相对误差限为_________.
1
0
1
0
2.
设A0
2
1
x
5,则A1_____,x
2______,Ax
_____.
1
3
0
1
3.
已知f(x)
2x5
4x3
5x,则f[
1,1,0]
f[
3,2,
1,1,2,3]
.
4.
为使求积公式
1
f(x)dx
A1f(
3)A2f(0)A3f(
3)的代数精度尽量高,应使
1
3
3
A1
,A2
,A3
,此时公式具有
次的代数精度。
5.
n阶方阵A的谱半径
(A)与它的任意一种范数
A的关系是
.
6.
用迭代法解线性方程组
AX
B时,使迭代公式
X(k1)
MX(k)
N(k
0,1,2,K)产
生的向量序列
X(k)收敛的充分必要条件是
.
7.
使用消元法解线性方程组
AXB时,系数矩阵
A可以分解为下三角矩阵
L和上三角矩
1/13
阵U的乘积,即A
LU.若采用高斯消元法解
AX
B,其中A
4
2
2
,则
1
L_______________
,U______________
;若使用克劳特消元法解
AX
B,则
u11
____;若使用平方根方法解
AXB,则l11与u11
的大小关系为_____(选填:
>,
<,=,不一定)。
8.
以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题
y
x
y
y(0)
的数值解,其迭代公式为
1
___________________________.
三、计算题(第1~3、6小题每题8分,第4、5小题每题
7分,共46
分)
1.
以x0
2为初值用牛顿迭代法求方程
f(x)x3
3x
1
0在区间(1,2)
内的根,要求
(1)
证明用牛顿法解此方程是收敛的;
(2)
给出用牛顿法解此方程的迭代公式,并求出这个根(只需计算
x1,x2,
计算结果
取到小数点后
4位)。
2/13
2.给定线性方程组
x10.4x2
0.4x3
1
0.4x1
x2
0.8x3
2
0.4x1
0.8x2x3
3
(1)分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式;
(2)试分析以上两种迭代方法的敛散性。
3.已知函数yf(x)在如下节点处的函数值
x
-1
0
1
2
y
1
4
3
0
(1)
建立以上数据的差分表;
(2)
根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式
P2(x),并计算
y(1.1)的近似值;
(3)
采用事后估计法计算(
2)中近似值的截断误差(结果保留四位小数)
。
3/13
4.已知如下数据表,试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。
x
-1
0
1
2
y
1
2
5
0
4/13
5.已知函数y
f(x)在以下节点处的函数值,利用差商表求
f(3)和f
(3)的近似值。
x
1
3
4
y
2
1
8
6.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式,并由这两个公式构造一个预估-校正公式求解下列常微分方程的数值解。
y
x2
y2
y(0)
0
(0x1,h0.2)
5/13
四、(8分)已知n+1个数据点(xi,yi)(i0,1,2,L,n),请用多种方法建立这些数据点之间
的函数关系,并说明各种函数的适用条件。
6/13
期末考试答案及评分标准(A卷)
2007学年第二学期考试科目:
数值分析
一、判断:
(每小
2分,共10分)
1.×2.√
3.×4.×5.×
二、填空:
(每空2分,共36分)
1.0.005或0.5102,0.5
2.5,26,15
3.0,2
4.1,0,1,3
5.(A)A
6.(M)1
1
0
4
2
1
1,
7.
0
2
1
2
8.
yn1
yn
(xn
yn)
1(1xnyn)或yn11.5xn2.5yn
0.5,n0,1,2,L
2
三、解答(第
1~4小每
8分,第5、6小每7分,共
46分)
1.
(1)明:
f(x)x33x1,由于
a)
f
(1)
3
0,f
(2)
1
0,
b)
f
(x)
3x2
30
(x(1,2)),
c)
f
(x)
6x
0
(x
(1,2)),即f
(x)在(1,2)上不号,
d)于初x02,足f
(2)f
(2)0,
所以用牛迭代法求解此方程是收的。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)解:
牛迭代法的迭代公式
7/13
xn1
xn
f(xn)
xn
xn3
3xn
1
f(xn)
3xn2
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
取初x02行迭代,得
x11.8889,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
x21.8795.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
2.解:
(1)Jacobi迭代公式
x1(k1)
0.4x2(k)
0.4x3(k)
1
x2(k1)
0.4x1(k)
0.8x3(k)
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
x3(k1)
0.4x1(k)
0.8x2(k)
3
Gauss-Seidel迭代公式
x1(k1)
0.4x2(k)
0.4x3(k)
1
x2(k1)
0.4x1(k1)
0.8x3(k)
2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
x3(k1)
0.4x1(k1)
0.8x2(k1)
3
0.4
0.4
(2
)Jacobi
迭代矩的特征方程0.4
0.8
0,展开得
0.4
0.8
3
0.96
0.256
0,即(
0.8)(
0.40.505)(
0.4
0.505)
0,
从而得1
-1.0928,
20.8000,
3
0.2928,(或由性易判断必有一个大于
1
的特征根,)因此迭代矩的半径等于必大于
1,所以Jacobi
迭代法散。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
0.4
0.4
Gauss-Seidel
迭代矩的特征方程
0.4
0.8
0,展开得
0.4
0.8
(2
0.832
0.128)0,解得
1
0,2
0.628,
30.204,迭代矩的半径
小于1,所以Gauss-Seidel迭代法收。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
3.解:
(1)建立差分表
8/13
x
y
y
2y
3y
1
1
3
0
4
4
1
2
1
3
2
3
2
0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
(2)建立牛后插公式
P2(x)0
3
(x2)
2
1!
(x2)(x1)
2!
3(x
2)
(x
2)(x
1)
x2
4
所求近似
P2(1.1)
2.79
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
(3)根据前三个点建立牛后插公式
P2
(1)(x)
3
1
(x
1)
4
(x
1)x
1!
2!
3
(x
1)
2x(x
1)
2x2
x
4
P2
(1)(1.1)
2.68
根据事后差估法
R2(x)
x
2P2(0.9)
P2
(1)(0.9)
x
1
故截断差
R2(1.1)
0.9
0.0471
(2.792.68)
2.1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
4.解:
所求二次最小平方逼近多式
P2(x)
a0
a1xa2x2.根据已知数据,得
1
1
1
a0
1
1
0
0
2
A
a1
M
1
1
Y
1
a2
5
1
2
4
0
9/13
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
4
2
6
8
MM2
6
8
MY
4
6
8
18
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
建立法方程
4
2
6
a0
8
2
6
8
a1
4
6
8
18
a2
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
解得
a03.5,a11.5,a21.5.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
从而得所求一次最小平方逼近多式P1(x)3.51.5x1.5x2.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
5.解:
P2(x)已知点数据的插二次多式。
构造如下差商表:
x
y
一差商
二差商
1
2
2
5
4
8
7
2
3
1
P2[3,3]
P2[4,3,3]
3
P2(3)
P2[3,3]
P2[3,3,3]
3
P2(3)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
因二次多式的二差商常数,又
P2(x)是f(x)的插函数,故有
P2[4,3,3]
P2
5
[3,3,3]
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
而
P2[4,3,3]
P2[3,3]
7
5,
3
4
2
因此得
10/13
P2[3,3]
9
,
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
由于
f
(k)(x)k!
Pn[x,x,x,L,x],
1
442
443
k
1
从而得
f(3)
P[3,3]
9,
2
2
f(3)
2!
P2[3,3,3]
5.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
6.解:
前欧拉公式:
yn1
yn
h
f(xn,yn)
yn
0.2xn2
0.2yn2
⋯⋯⋯⋯1分
后退欧拉公式:
yn1
yn
h
f(xn1,yn1)
yn
0.2xn2
1
0.2yn2
1⋯⋯1分
估采用欧拉公式
yn*
1
yn
0.2xn2
0.2yn2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
校正采用后退欧拉公式
yn1yn0.2xn210.2yn*
2
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
由初x
0
0,y0,h0.2知,点分xi0.2i,(i1,2,3,4,5)
0
当x10.2,
y1*
y00.2x02
0.2y02
0,
y1y0
0.2x12
0.2
y1*
2
0.008,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当x20.4,
y2*
y10.2x12
0.2y12
0.0160,
11/13
y2y10.2x22
0.2y2*
2
0.0401.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当x30.6,
y*
y
2
0.2x
2
0.2y2
0.0724,
3
2
2
0.2x32
0.2y3*
2
y3
y2
0.1131.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当x40.8,
y4*
y3
0.2x32
0.2y32
0.1877,
0.2x42
0.2y4*
2
y4
y3
0.2481.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当x51.0,
y5*
y4
0.2x42
0.2y42
0.3884,
2
*
2
y5
y4
0.4783.
0.2x5
0.2y5
四、(8分)
答:
1、可以建立插函数:
(1)Newton基本差商公式
Pn(x)f(x0)(xx0)f[x1,x0](xx0)(xx1)f[x2,x1,x0]L(xx0)(xx1)L(xxn1)f[xn,L,x1,x0]
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
(2)Lagrange插多式
Ln(x)a0f(x0)a1f(x1)L
aif(xi)L
anf(xn)
其中ai
(xx0)L(xxi1)(xxi1)L
(xxn)
0,1,L,n).
(xi
(i
x0)L(xixi1)(xixi1)L(xixn)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
两插函数的适用条件是:
n不太大;而且要求函数格通已知数据点。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
2、可以建立合函数:
12/13
Pm(x)a0a1xa2x2Lamxm
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
其中系数a0,a1,a2,L
an足法方程MMA
MY,
1
x0
x02
K
x0m
a0
f(x0)
y0
1
x1
x12
K
x1m
a1
Y
f(x1)
y1
M
K
K
K
A
L
L
L
K
K
1
xn
xn2
K
xnm
am
f(xn)
yn
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
合函数的适用条件是:
n比大,而且并不要求函数格通已知数据点,或者已知数据点本身的差大。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
13/13