完整数值分析学期期末考试试题与答案A推荐文档docx.docx

1、完整数值分析学期期末考试试题与答案A推荐文档docx期末考试试卷（ A 卷）2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分234516得分评阅人一、判断题（每小题2 分，共 10 分）1.用计算机求100010001 时，应按照 n 从小到大的顺序相加。（）n 1n2.为了减少误差 ,应将表达式 20011999 改写为2进行计算。 （）200119993.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4.采用龙格库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高， 数值解越精确。（）5.用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向

2、量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）二、填空题（每空2 分，共 36分）1.已知数 a 的有效数为0.01 ，则它的绝对误差限为_ ，相对误差限为 _.10102.设 A021, x5 , 则 A 1 _ ， x2 _ ， Ax_.13013.已知 f ( x)2x54x35x, 则 f 1,1,0, f 3, 2,1,1,2,3.4.为使求积公式1f (x) dxA1 f (3 ) A2 f (0) A3 f (3 ) 的代数精度尽量高，应使133A1， A2， A3，此时公式具有次的代数精度。5.n 阶方阵 A 的谱半径( A) 与它的任意一种范数A 的关系是.6.用迭

3、代法解线性方程组AXB 时，使迭代公式X ( k 1)MX ( k )N (k0,1,2,K ) 产生的向量序列X ( k ) 收敛的充分必要条件是.7.使用消元法解线性方程组AX B 时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩1 / 13阵 U 的乘积，即 ALU . 若采用高斯消元法解AXB ，其中 A422，则1L _， U _；若使用克劳特消元法解AXB ，则u11_ ；若使用平方根方法解AX B ，则 l11 与 u11的大小关系为 _ （选填： ， =，不一定）。8.以步长为 1 的二阶泰勒级数法求解初值问题yxyy(0)的数值解，其迭代公式为1_.三、计算题（第 1 3、

4、 6 小题每题 8 分，第 4、 5 小题每题7 分，共 46分）1.以 x02 为初值用牛顿迭代法求方程f (x) x33x10 在区间 (1,2)内的根，要求（1 ）证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2 ）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算x1, x2 ,计算结果取到小数点后4 位）。2 / 132.给定线性方程组x1 0.4 x20.4 x310.4 x1x20.8 x320.4 x10.8 x 2 x33（1 ） 分别写出用 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。3.已知函数 y f ( x

5、) 在如下节点处的函数值x-1012y1430（ 1）建立以上数据的差分表；（ 2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式P2 ( x ) ，并计算y(1.1) 的近似值；（ 3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。3 / 134.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1012y12504 / 135. 已知函数 yf ( x) 在以下节点处的函数值，利用差商表求f (3) 和 f(3) 的近似值。x134y2186.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估校正公式求解下列常微分方程的数值解。yx 2y2y(0)0(0 x 1

6、, h 0.2)5 / 13四、（ 8 分）已知 n+1 个数据点 (xi , yi )(i 0,1,2,L , n) ，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。6 / 13期末考试答案及评分标准（ A 卷）2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析一、判断 ： （每小 2 分，共 10 分）1. 2. 3. 4. 5. 二、填空 ： （每空 2 分，共 36 分）1. 0.005或 0.5 10 2 ， 0.52. 5, 26,153. 0,24. 1,0,1,35. ( A) A6. ( M ) 110421,1,7.0,2128.yn 1yn(xnyn )1

7、 (1 xn yn ) 或 yn 1 1.5 xn 2.5 yn0.5, n 0,1,2,L2三、解答 （第1 4 小 每 8 分，第 5 、 6 小 每 7 分，共46 分）1.（ 1） 明： f ( x) x3 3x 1，由于a)f (1)30, f (2)10,b)f( x)3x23 0( x (1,2),c)f( x)6x0( x(1,2), 即 f( x) 在 (1,2) 上不 号，d) 于初 x0 2 ， 足 f (2) f (2) 0,所以用牛 迭代法求解此方程是收 的。 4 分（ 2）解：牛 迭代法的迭代公式 7 / 13x n 1xnf ( xn )x nxn33 xn1f

8、( xn )3 xn23 2 分取初 x0 2 行迭代，得x1 1.8889, 1 分x2 1.8795. 1 分2.解：（1 ） Jacobi 迭代公式 x1(k 1)0.4 x2(k )0.4 x3(k )1x2(k 1)0.4 x1(k)0.8 x3(k )2 2 分x3(k 1)0.4 x1(k)0.8 x2(k )3Gauss-Seidel 迭代公式 x1( k 1)0.4 x2(k )0.4 x3(k )1x2(k 1)0.4 x1(k 1)0.8 x3(k )2 2 分x3(k 1)0.4 x1(k 1)0.8 x2(k 1)30.40.4（ 2） Jacobi迭 代 矩的 特

9、征 方 程0.40.80 ， 展 开 得0.40.830.960.2560 ，即 (0.8)(0.40.505)(0.40.505)0 ，从而得 1-1.0928,2 0.8000,30.2928 ，（或由 性易判断必有一个大于1的特征根，）因此迭代矩 的 半径等于必大于1 ，所以 Jacobi迭代法 散。2 分0.40.4Gauss-Seidel迭代矩 的特征方程 0.40.80，展开得0.40.8( 20.8320.128) 0 ，解得10, 20.628,3 0.204, 迭代矩 的 半径小于 1，所以 Gauss-Seidel 迭代法收 。 2 分3.解：（1 ）建立差分表8 / 13

10、xyy2 y3 y113044121323202 分（ 2）建立牛 后插公式 P2( x) 03( x 2)21!( x 2)( x 1)2!3( x2)( x2)( x1)x24 所求近似 P2 (1.1)2.793 分（ 3）根据前三个 点建立牛 后插公式 P2(1) ( x)31( x1)4( x1) x1!2!3( x1)2 x( x1)2x 2x4P2(1) (1.1)2.68根据事后 差估 法R2 ( x )x2 P2 ( 0.9)P2(1) ( 0.9)x1故截断 差R2 (1.1)0.90.0471( 2.79 2.68)2.1 3 分4. 解： 所求二次最小平方逼近多 式 P

11、2 ( x)a0a1 x a2 x2 . 根据已知数据，得111a011002, Aa1M11,Y1a2512409 / 13 2 分4268M M268, M Y468186 1 分建立法方程 426a08268a146818a26 2 分解得a0 3.5, a1 1.5, a2 1.5. 1 分从而得所求一次最小平方逼近多 式 P1 ( x) 3.5 1.5 x 1.5x2 . 1 分5.解： P2 (x) 已知 点数据的插 二次多 式。构造如下差商表：xy一 差商二 差商1225487231P23, 3P24,3,33P2 (3)P23, 3P23,3,33P2 (3)2 分因 二次多

12、式的二 差商 常数，又P2 ( x) 是 f (x) 的插 函数，故有P24,3,3P253,3,322 分而P24,3,3P2 3,375 ，342因此得10 / 13P2 3, 39，2 1 分由于f( k ) ( x) k ! Pn x , x , x ,L , x ，144 24 43k1从而得f (3)P 3, 39 ,22f (3)2 ! P2 3, 3,35. 2 分6. 解：前 欧拉公式：yn 1ynhf ( xn , yn )yn0.2xn20.2 yn2 1 分后退欧拉公式： yn 1ynhf (xn 1 , yn 1)yn0.2 xn210.2 yn21 1 分 估 采用

13、欧拉公式yn*1yn0.2xn20.2 yn2 1 分校正 采用后退欧拉公式yn 1 yn 0.2xn2 1 0.2 yn*21 1 分由初 x00, y 0, h 0.2知， 点分 xi 0.2i, (i 1,2,3, 4,5)0当 x1 0.2,y1*y0 0.2x020.2 y020,y1 y00.2 x120.2y1*20.008 ， 1 分当 x2 0.4,y2*y1 0.2x120.2 y120.0160,11 / 13y2 y1 0.2 x 220.2 y2*20.0401 . 1 分当 x3 0.6,y*y20.2 x20.2 y20.0724,3220.2 x320.2 y3

14、*2y3y20.1131 . 1 分当 x4 0.8,y4*y30.2x320.2 y320.1877,0.2 x420.2 y4*2y4y30.2481 . 1 分当 x5 1.0,y5*y40.2 x420.2 y420.3884,2*2y5y40.4783 .0.2 x50.2 y5四、（ 8 分）答： 1、可以建立插 函数：（1）Newton 基本差商公式Pn ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f x1 , x0 ( x x0 )( x x1) f x2 , x1 , x 0 L ( x x0 )( x x1 )L ( x x n 1 ) f xn ,L , x1 , x

15、0 1 分（2）Lagrange 插 多 式Ln ( x ) a0 f ( x0 ) a1 f ( x1 ) Lai f ( xi ) Lan f ( xn )其中 ai( x x0 )L ( x x i 1 )( x x i 1)L( x xn )0,1,L , n) .( x i, (ix0 )L ( xi x i 1 )( xi xi 1 )L ( x i xn )1 分 两 插 函数的适用条件是：n 不太大；而且要求函数 格通 已知数据点。2 分2、可以建立 合函数：12 / 13Pm ( x) a0 a1 x a2 x 2 L am x m 1 分其中系数 a0 ,a1 , a2 ,L, an 足法方程 M MAM Y ,1x0x02Kx0ma0f ( x0 )y01x1x12Kx1ma1, Yf ( x1 )y1MKKK, ALLLKK1xnxn2Kxnmamf ( x n )yn 1 分 合函数的适用条件是： n 比 大，而且并不要求函数 格通 已知数据点，或者已知数据点本身的 差 大。 2 分13 / 13