高三数学试题精选高三立体几何章末综合测试题有答案.docx

高三数学试题精选高三立体几何章末综合测试题有答案.docx

《高三数学试题精选高三立体几何章末综合测试题有答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学试题精选高三立体几何章末综合测试题有答案.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高三数学试题精选高三立体几何章末综合测试题有答案

高三立体几何章末综合测试题（有答案）

5

2018届高三数学末综合测试题（13）立体几何

（1）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）

A．7B．6c．5D．3

解析A依题意，设圆台上、下底面半径分别为r、3r，则有π（r＋3r）3＝84π，解得r＝7

2．如图所示，在空间四边形ABcD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边Bc、cD上的点，且cFcB＝cGcD＝23，则（）

A．EF与GH平行

B．EF与GH异面

c．EF与GH的交点可能在直线Ac上，也可能不在直线Ac上

D．EF与GH的交点一定在直线Ac上

解析D依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因为EH＝12BD，FG＝23BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为因为点在EF上，故点在平面AcB上．同理，点在平面AcD上，即点是平面AcB与平面AcD的交点，而Ac是这两个平面的交线，所以点一定在Ac上．

3．已知向量a＝（1,1,0），b＝（－1,0,2），且a＋b与2a－b互相垂直，则＝（）

A．1B．15c．35D．75

解析Da＋b＝（1,1,0）＋（－1,0,2）＝（－1，,2），2a－b＝2（1,1,0）－（－1,0,2）＝

（3,2，－2），∵两向量垂直，∴3（－1）＋2－2×2＝0，∴＝75

4．已知直线、n和平面α，在下列给定的四个结论中，∥n的一个必要但不充分条是（）

A．∥α，n∥αB．⊥α，n⊥α

c．∥α，nαD．、n与α所成的角相等

解析D对于选项A，当∥α，n∥α时，直线、n可以是平行、相交或异面；而当∥n时，、n与α的关系不确定，故选项A是∥n的既不充分也不必要条；选项B是∥n的充分不必要条；选项c是∥n的既不充分也不必要条；对于选项D，由∥n可以得到、n与α所成的角相等，但是、n与α所成的角相等得不到∥n故选项D符合题意．

5．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）

A．288＋36π

B．60π

c．288＋72π

D．288＋18π

解析A依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8，因此该几何体的体积等于8×6×6＋12×π×32×8＝288＋36π，故选A

6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A．l1⊥l2，l2⊥l3l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3

c．l1∥l2∥l3l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面

解析B在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故c错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

7．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）

A．6a2B．12a2

c．18a2D．24a2

解析B依题意，小正方体的棱长为a3，所以27个小正方体的表面积总和为27×6×a32＝18a2，故表面积增加量为18a2－6a2＝12a2

8．在长方体ABcD－A1B1c1D1中，AB＝Bc＝2，AA1＝1，则Bc1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）

A63B265

c155D105

解析D如图，连接A1c1，B1D1，交于点1，由长方体的性质易知∠c1B1为Bc1与平面BB1D1D所成的角．

∵Bc＝2，cc1＝1，∴Bc1＝22＋1＝5，

又c11＝12A1c1＝1222＋22＝2，

∴在Rt△B1c1中，sin∠c1B1＝1c1Bc1＝25＝105

9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γβ⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有命题中，真命题有（）

A．0个B．1个

c．2个D．3个

解析c若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γb⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥bb⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥αa⊥b”，此命题为真命题．

10．如图所示，在长方体ABcD－A1B1c1D1中，AB＝10，AD＝5，AA1＝4分别过Bc、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FcF1D1，V3＝VB1E1B－c1F1c若V1∶V2∶V3＝1∶3∶1，则截面A1EFD1的面积为（）

A．410B．83

c．202D．162

解析c由V1＝V3，可得AE＝B1E1，设AE＝x，则12x×4×5∶[（10－x）×4×5]＝1∶3，得x＝4，则A1E＝42＋42＝42，所以截面A1EFD1的面积为202

11．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，c是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABc的值为（）

A．30°

B．45°

c．60°

D．90°

解析c还原正方体，如下图所示，连接AB，Bc，Ac，可得△ABc是正三角形，则∠ABc＝60°故选c

12．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、cD的长度分别等于27、43，、N分别为AB、cD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题

①弦AB、cD可能相交于点；

②弦AB、cD可能相交于点N；

③N的最大值为5；

④N的最小值为1

其中真命题的个数是（）

A．1B．2

c．3D．4

解析c易求得、N到球心的距离分别为＝3，N＝2，若两弦交于，则N⊥N，在Rt△N中，有N，符合题意，故①正确．若两弦交于N，同①推得，N，矛盾，故②错．当、、N共线，、N在同侧，则N取最小值1；、N在两侧，则N取最大值5，故③④正确．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13如图，在正四棱柱A1c中，E，F，G，H分别是棱cc1，c1D1，D1D，Dc的中点，N是Bc的中点，点在四边形EFGH及其内部运动，则只需满足条________时，就有N∥平面B1BDD1（注请填上你认为正确的一个条即可，不必考虑全部可能情况）

解析∵FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要∈FH，则N平面FHN，∴N∥平面B1BDD1（答案不唯一）

【答案】位于线段FH上

14．已知α、β是两个不同的平面，、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断①∥n，②α∥β，③⊥α，④n⊥β，以其中三个论断作为条，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________

解析同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行．

【答案】②③④①

15．已知命题“若x⊥，∥z，则x⊥z”成立，那么字母x，，z在空间所表示的几何图形有可能是①都是直线；②都是平面；③x，是直线，z是平面；④x，z是平面，是直线．上述判断中，正确的有________（请将你认为正确的序号都填上）．

解析当字母x，，z都表示直线时，命题成立；当字母x，，z都表示平面时，命题也成立；当x，z表示平面，表示直线时，由相关的判定定理知命题也成立；

当x，表示直线，z表示平面时，x⊥z不一定成立，还有可能x∥z或x与z相交，故①②④正确，③不正确．

【答案】①②④

16．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段ABα，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．

解析如图，作A⊥β于，Ac⊥l于c，连接B、c，则c⊥l设AB与β所成角为θ，

则∠AB＝θ，由图得sinθ＝AAB＝AcABAAc＝sin30°sin60°＝34

【答案】34

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）如图所示，矩形ABcD中，AB＝3，Bc＝4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BcD上的射影E落在Bc上．

（1）求证平面AcD⊥平面ABc;

（2）求三棱锥A－BcD的体积．

解析

（1）∵AE⊥平面BcD，∴AE⊥cD

又Bc⊥cD，且AE∩Bc＝E，

∴cD⊥平面ABc

又cD平面AcD，

∴平面AcD⊥平面ABc

（2）由

（1）知，cD⊥平面ABc，

又AB平面ABc，∴cD⊥AB

又∵AB⊥AD，cD∩AD＝D，

∴AB⊥平面AcD

∴VA－BcD＝VB－AcD＝13S△AcDAB

又∵在△AcD中，Ac⊥cD，AD＝Bc＝4，AB＝cD＝3，

∴Ac＝AD2－cD2＝42－32＝7

∴VA－BcD＝13×12×7×3×3＝372

18．（12分）如图，四边形ABcD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB＝2BF，DE⊥平面ABcD，G为EF的中点．

（1）求证cF∥平面ADE；

（2）求证平面ABG⊥平面cDG；

（3）求二面角c－FG－B的余弦值．

解析

（1）∵BF∥DE，Bc∥AD，BF∩Bc＝B，DE∩AD＝D，∴平面cBF∥平面ADE

又cF平面cBF，

∴cF∥平面ADE

（2）如图，取AB的中点，cD的中点N，连接G、GN、N、Ac、BD，设Ac、N、BD交于，连接G

∵四边形ABcD为正方形，四边形BDEF为矩形，

AB＝2BF，DE⊥平面ABcD，G为EF的中点，

则G⊥平面ABcD，G＝12N，

∴GN⊥G

又GN⊥Dc，AB∥Dc，

∴GN⊥AB

又AB∩G＝，

∴GN⊥平面GAB

又GN平面cDG，

∴平面ABG⊥平面cDG

（3）由已知易得cG⊥FG，由

（2）知G⊥EF，

∴∠cG为二面角c－FG－B的平面角，

∴cs∠cG＝GGc＝33

19．（12分）（2018南昌二模）如图所示的多面体ABc－A1B1c1中，三角形ABc是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥cc1，AA1⊥平面ABc，AA1＝BB1＝2cc1＝4

（1）若是AB的中点，求证c1⊥A1B1；

（2）求平面AB1c1与平面A1B1c1所成的角的余弦值．

解析

（1）设线段A1B1的中点为E，连接E，c1E

由AA1⊥平面ABc得AA1⊥AB，

又BB1∥AA1且AA1＝BB1，

所以AA1B1B是矩形．

又点是线段AB的中点，

所以E∥AA1，所以E⊥A1B1

由AA1⊥平面ABc得AA1⊥Ac，A1A⊥Bc

又BB1∥AA1∥cc1，

所以BB1⊥Bc，cc1⊥Ac，cc1⊥Bc，

且Ac＝Bc＝4，AA1＝BB1＝4，cc1＝2，

所以A1c1＝B1c1，所以c1E⊥A1B1

又c1E∩E＝E，

所以A1B1⊥平面c1E，

因为c1平面c1E，所以c1⊥A1B1

（2）如图，以为原点，E→，A→，c→所在方向分别为x，，z轴的正方向建立空间直角坐标系－xz，

则A（0,2,0），A1（4,2,0），B1（4，－2,0），c1（2,0,23），

设平面AB1c1的法向量为n1＝（x1，1，z1），则有

n1AB1→＝0，n1Ac1→＝0

x1，1，z14，－4，0＝0，x1，1，z12，－2，23＝0x1＝1，z1＝0，

令x1＝1，则n1＝（1,1,0）．

设平面A1B1c1的法向量为n2＝（x2，2，z2），则有

n2A1B1→＝0，n2A1c1→＝0x2，2，z20，－4，0＝0，x2，2，z2－2，－2，23＝0

2＝0，x2＝3z2，令z2＝1，则n2＝（3，0,1）．

所以cs〈n1，n2〉＝n1n2|n1||n2|＝32×2＝64，

所以平面AB1c1与平面A1B1c1所成的角的余弦值是64

20．（12分）如图所示，在直四棱柱ABcD－A1B1c1D1中，DB＝Bc，DB⊥Ac，点是棱BB1上一点．

（1）求证B1D1∥平面A1BD；

（2）求证D⊥Ac；

（3）试确定点的位置，使得平面Dc1⊥平面cc1D1D

解析

（1）由直四棱柱概念，得BB1綊DD1，

∴四边形BB1D1D是平行四边形，

∴B1D1∥BD

而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD

（2）∵BB1⊥平面ABcD，Ac平面ABcD，

∴BB1⊥Ac

又∵BD⊥Ac，且BD∩BB1＝B，

∴Ac⊥平面BB1D1D

而D平面BB1D1D，

∴D⊥Ac

（3）当点为棱BB1的中点时，取Dc的中点N，D1c1的中点N1，连接NN1交Dc1于，连接，如图所示．

∵N是Dc的中点，BD＝Bc，∴BN⊥Dc

又∵Dc是平面ABcD与平面Dcc1D1的交线，

而平面ABcD⊥平面Dcc1D1，

∴BN⊥平面Dcc1D1

又可证得，是NN1的中点，∴B綊N，

即四边形BN是平行四边形，

∴BN∥，∴⊥平面cc1D1D，

∵平面Dc1，∴平面Dc1⊥平面cc1D1D

21．（12分）如图所示，在直角梯形ABcP中，Bc∥AP，AB⊥Bc，cD⊥AP，AD＝Dc＝PD＝2E，F，G分别为线段Pc，PD，Bc的中点，现将△PDc折起，使平面PDc⊥平面ABcD

（1）求证PA∥平面EFG；

（2）求二面角G－EF－D的大小．

解析

（1）∵PE＝Ec，PF＝FD，∴EF∥cD

又cD∥AB，∴EF∥AB，∴EF∥平面PAB

同理，EG∥平面PAB

又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG，

而PA在平面PAB内，∴PA∥平面EFG

（2）如图，以D为坐标原点，DA，Dc，DF所在直线分别为x轴，轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（2,0,0），P（0,0,2），E（0,1,1），F（0,0,1），G（1,2,0），

易知DA→＝（2,0,0）为平面EFD的一个法向量．

设平面EFG的一个法向量为n＝（x，，z），

又EF→＝（0，－1，0），EG→＝（1,1，－1），

由nEF→＝0，nEG→＝0，得x，，z0，－1，0＝0，x，，z1，1，－1＝0，

即＝0，x＋－z＝0，取x＝1，得n＝（1,0,1）．

设所求二面角为θ，csθ＝nDA→|n||DA→|＝222＝22，

∴θ＝45°，即二面角G－EF－D的平面角的大小为45°

22．（12分）在侧棱垂直于底面的四棱柱ABcD－A1B1c1D1中，底面ABcD为菱形，且∠BAD＝60°，A1A＝AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1Ac

（1）求二面角E－Ac－D1的大小；

（2）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥平面EAc？

若存在，求D1P∶PE的值；若不存在，说明理由．

解析设Ac与BD交于，建立如图所示的空间直角坐标系－xz，设AB＝2，则A（3，0,0），B（0,1,0），c（－3，0,0），D（0，－1,0），D1（0，－1,2），A1（3，0,2）．

（1）设E（0,1,2＋h），则D1E→＝（0,2，h），Ac→＝（－23，0,0），D1A→＝（3，1，－2），

∵D1E⊥平面D1Ac，

∴D1E⊥Ac，D1E⊥D1A，

∴D1E→Ac→＝0，D1E→D1A→＝0，

∴2－2h＝0，∴h＝1，即E（0,1,3），

∴D1E→＝（0,2,1），AE→＝（－3，1,3）．

设平面EAc的法向量为＝（x，，z），

则⊥Ac→，⊥AE→，

∴x＝0，－3x＋＋3z＝0，

令z＝－1，得＝（0,3，－1），

∴cs〈，D1E→〉＝D1E→|||D1E→|＝22，

∴二面角E－Ac－D1的大小为45°

（2）设D1P→＝λPE→＝λ（D1E→－D1P→），

则D1P→＝λ1＋λD1E→＝0，2λ1＋λ，λ1＋λ，

∴A1P→＝A1D1→＋D1P→

＝（－3，－1,0）＋0，2λ1＋λ，λ1＋λ

＝－3，λ－11＋λ，λ1＋λ

∵A1P∥平面EAc，

∴A1P→⊥，

∴A1P→＝0，

∴－3×0＋3×λ－11＋λ＋（－1）×λ1＋λ＝0，

∴λ＝32

∴存在点P使A1P∥平面EAc，

此时D1P∶PE＝3∶2

5