Matlab优化工具箱.docx
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Matlab优化工具箱
Matlab优化工具箱
MatlabOptimizationToolbox
优化工具箱提供了一般和大型的非线性优化函数，同时还提供了线性规划，二次规划，非线性最小二乘以及非线性方程求解的工具。
•主要特性：
–无约束非线性极小化问题
–约束性线性极小化、极大极小、多目标优化，半无穷极小化问题。
–二次规划和线性规划问题
–非线性最小二乘和边界曲线拟合问题
–非线性系统方程求解问题
–约束线性最小二乘问题
–大型问题的特殊算法
一．最小化问题Minimization
1-1规划（binaryintegerprogrammingproblems）
x=bintprog（f）
x=bintprog（f,A,b）
x=bintprog（f,A,b,Aeq,beq）
x=bintprog（f,A,b,Aeq,beq,x0）
x=bintprog（f,A,b,Aeq,Beq,x0,options）
[x,fval]=bintprog（...）
[x,fval,exitflag]=bintprog（...）
[x,fval,exitflag,output]=bintprog（...）
参数描述见help
fVectorcontainingthecoefficientsofthelinearobjectivefunction
AMatrixcontainingthecoefficientsofthelinearinequalityconstraints
bVectorcorrespondingtotheright-handsideofthelinearinequalityconstraints
AeqMatrixcontainingthecoefficientsofthelinearequalityconstraints
beqVectorcontainingtheconstantsofthelinearequalityconstraints
x0Initialpointforthealgorithm
optionsOptionsstructurecontainingoptionsforthealgorithm.
Example1:
f=[-9;-5;-6;-4];
A=[6352;0011;-1010;0-101];
b=[9;1;0;0];
x=bintprog（f,A,b）
Example2:
问题求解：
min3*x
（1）-2*x
（2）+5*x（3）
s.t.
x
（1）+2*x
（2）-x（3）<=2
x
（1）+4*x
（2）+x（3）<=4
x
（1）+x
（2）<=3
4*x
（2）+x（3）<=6
x
（1）,x
（2）,x（3）为0，1
f=[3,-2,5]’
A=[12-1;141;110;041]
b=[2436]’
问题求解：
min3*x
（1）-2*x
（2）+5*x（3）
s.t.
x
（1）+2*x
（2）-x（3）=2
x
（1）+4*x
（2）+x（3）=4
线性规划linearprogrammingproblem
x=linprog（f,A,b）%求minf'*xsub.to
线性规划的最优解。
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq）%等式约束
，若没有不等式约束
，则A=[]，b=[]。
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）%指定x的范围
，若没有等式约束
，则Aeq=[]，beq=[]
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0）%设置初值x0
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）%options为指定的优化参数
[x,fval]=linprog（…）%返回目标函数最优值，即fval=f'*x。
[x,lambda,exitflag]=linprog（…）%lambda为解x的Lagrange乘子。
[x,lambda,fval,exitflag]=linprog（…）%exitflag为终止迭代的错误条件。
[x,fval,lambda,exitflag,output]=linprog（…）%output为关于优化的一些信息
说明若exitflag>0表示函数收敛于解x，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于解x；
lambda=lower表示下界lb，lambda=upper表示上界ub，lambda=ineqlin表示不等式约束，lambda=eqlin表示等式约束，lambda中的非0元素表示对应的约束是有效约束；
output=iterations表示迭代次数，output=algorithm表示使用的运算规则，output=cgiterations表示PCG迭代次数。
例求下面的优化问题
min
sub.to
解：
>>f=[-5;-4;-6];
>>A=[1-11;324;320];
>>b=[20;42;30];
>>lb=zeros（3,1）;
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（f,A,b,[],[],lb）
结果为：
x=%最优解
0.0000
15.0000
3.0000
fval=%最优值
-78.0000
exitflag=%收敛
1
output=
iterations:
6%迭代次数
cgiterations:
0
algorithm:
'lipsol'%所使用规则
lambda=
ineqlin:
[3x1double]
eqlin:
[0x1double]
upper:
[3x1double]
lower:
[3x1double]
>>lambda.ineqlin
ans=
0.0000
1.5000
0.5000
>>lambda.lower
ans=
1.0000
0.0000
0.0000
表明：
不等约束条件2和3以及第1个下界是有效的
Example2:
max0.27x
（1）+0.19x
（2）+0.22x（3）+0.18x（4）
Subjectto
x
（1）-x
（2）-x（3）-x（4）<=0
x
（2）+x（3）+x（4）>=0
x
（1）+x
（2）+x（3）+x（4）=1
x（i）>=0,i=1,2,3,4
二次规划quadraticprogramming
二次规划问题（quadraticprogramming）的标准形式为：
sub.to
其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量
其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。
x=quadprog（H,f,A,b）
x=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq）
x=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
x=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0）
x=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）
[x,fval]=quadprog（...）
[x,fval,exitflag]=quadprog（...）
[x,fval,exitflag,output]=quadprog（...）
[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog（...）
EXAMPLE1：
求解下面二次规划问题
sub.to
解：
则
，
，
在MATLAB中实现如下：
>>H=[1-1;-12];
>>f=[-2;-6];
>>A=[11;-12;21];
>>b=[2;2;3];
>>lb=zeros（2,1）;
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog（H,f,A,b,[],[],lb）
结果为：
x=%最优解
0.6667
1.3333
fval=%最优值
-8.2222
exitflag=%收敛
1
output=
iterations:
3
algorithm:
'medium-scale:
active-set'
firstorderopt:
[]
cgiterations:
[]
lambda=
lower:
[2x1double]
upper:
[2x1double]
eqlin:
[0x1double]
ineqlin:
[3x1double]
>>lambda.ineqlin
ans=
3.1111
0.4444
0
>>lambda.lower
ans=
0
0
说明第1、2个约束条件有效，其余无效。
EXAMPLE2：
求二次规划的最优解
maxf（x1,x2）=x1x2+3
sub.tox1+x2-2=0
解：
化成标准形式：
sub.tox1+x2=2
在Matlab中实现如下：
>>H=[0,-1;-1,0];
>>f=[0;0];
>>Aeq=[11];
>>b=2;
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog（H,f,[],[],Aeq,b）
结果为：
x=
1.0000
1.0000
fval=
-1.0000
exitflag=
1
output=
firstorderopt:
0
iterations:
1
cgiterations:
1
algorithm:
[1x58char]
lambda=
eqlin:
1.0000
ineqlin:
[]
lower:
[]
upper:
[]
fminbnd
Findaminimumofafunctionofonevariableonafixedinterval
求一元函数在（xl,x2）区间中的极小值点x和最小值fval。
x=fminbnd（fun,x1,x2）
x=fminbnd（fun,x1,x2,options）
[x,fval]=fminbnd（...）
[x,fval,exitflag]=fminbnd（...）
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（...）
functionf=myfun（x）
f=（x-3）^2-1;
x=fminbnd（@myfun,0,5）
例：
求函数
在区间（-10，1）和（1，10）上的最小值点。
首先建立函数文件fx.m：
functionf=f（x）
f=x-1/x+5;
上述函数文件也可用一个语句函数代替：
f=inline（'x-1/x+5'）
再在MATLAB命令窗口，输入命令：
fminbnd（'fx',-10,-1）%求函数在（-10，-1）内的最小值点和最小值
fminbnd（f,1,10）%求函数在（1，10）内的最小值点。
注意函数名f不用加'
fminsearch
Findaminimumofanunconstrainedmultivariablefunction基于单纯形算法求一元函数或多元函数的极小值点x和最小值fval。
x=fminsearch（fun,x0）
x=fminsearch（fun,x0,options）
[x,fval]=fminsearch（...）
[x,fval,exitflag]=fminsearch（...）
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch（...）
Example1:
100*（x
（2）-x
（1）^2）^2+（1-x
（1））^2
banana=@（x）100*（x
（2）-x
（1）^2）^2+（1-x
（1））^2;
Passthefunctionhandletofminsearch:
[x,fval]=fminsearch（banana,[-1.2,1]）
Example2:
设
求函数f在（0.5,0.5,0.5）附近的最小值。
建立函数文件fxyz.m：
functionf=fxyz（u）
x=u
（1）;y=u
（2）;z=u（3）;
f=x+y.^2./x/4+z.^2./y+2./z;
在MALAB命令窗口，输入命令：
[U,fmin]=fminsearch（'fxyz',[0.5,0.5,0.5]）%求函数的最小值点和最小值
fminunc
Findaminimumofanunconstrainedmultivariablefunction：
基于拟牛顿法求多元函数的极小值点x和最小值fval。
[x,fval]=fminunc（filename,x0,option）
functionf=myfun（x）
f=3*x
（1）^2+2*x
（1）*x
（2）+x
（2）^2;%Costfunction
x0=[1,1];
[x,fval]=fminunc（@myfun,x0）
fmincon（非线性目标函数和约束条件）
Findaminimumofaconstrainednonlinearmultivariablefunction
x=fmincon（fun,x0,A,b）
x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq）
x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon）
x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options）
[x,fval]=fmincon（...）
[x,fval,exitflag]=fmincon（...）
[x,fval,exitflag,output]=fmincon（...）
[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon（...）
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad]=fmincon（...）
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon（...）
MATLAB最优化工具箱提供了一个fmincon函数，专门用于求解各种约束下的最优化问题。
该函数的调用格式为：
[x,fval]=fmincon（filename,x0,A,b,Aeq,beq,Lbnd,Ubnd,NonF,option）
其中x、fval、filename、x0和option的含义与求最小值函数相同。
其余参数为约束条件，参数NonF为非线性约束函数的M文件名。
如果某个约束不存在，则用空矩阵来表示。
functionf=myfun（x）
f=-x
（1）*x
（2）*x（3）;
x0=[10;10;10];%Startingguessatthesolution
[x,fval]=fmincon（@myfun,x0,A,b）
Z=2*（xy+yz+zx）
zyz=2
functionf=myobj（X）
x=X
（1）;
y=X
（2）;
z=X（3）;
f=2*（x*y+y*z+z*x）
function[c,ceq]=mycon（X）
x=X
（1）;
y=X
（2）;
z=X（3）;
c=[];
ceq=x*y*z-2
[x,f]=fmincon（@myobj,[1;1;1],[],[],[],[],[],[],@mycon）
求解有约束最优化问题。
首先编写目标函数M文件fop.m。
functionf=fop（x）
f=0.4*x
（2）+x
（1）^2+x
（2）^2-x
（1）*x
（2）+1/30*x
（1）^3;
再设定约束条件，并调用fmincon函数求解此约束最优化问题。
x0=[0.5;0.5];
A=[-1,-0.5;-0.5,-1];
b=[-0.4;-0.5];
lb=[0;0];
option=optimset;option.LargeScale='off';option.Display='off';
[x,f]=fmincon（'fop’,x0,A,b,[],[],lb,[],[],option）
二．EquationSolving
fsolve
Solveasystemofnonlinearequations
x=fsolve（fun,x0）
x=fsolve（fun,x0,options）
[x,fval]=fsolve（fun,x0）
[x,fval,exitflag]=fsolve（...）
[x,fval,exitflag,output]=fsolve（...）
[x,fval,exitflag,output,jacobian]=fsolve（...）
First,writeanM-filethatcomputesF,thevaluesoftheequationsatx.
functionF=myfun（x）
F=[2*x
（1）-x
（2）-exp（-x
（1））;
-x
（1）+2*x
（2）-exp（-x
（2））];
Next,callanoptimizationroutine.
x0=[-5;-5];%Makeastartingguessatthesolution
options=optimset（'Display','iter'）;%Optiontodisplayoutput
[x,fval]=fsolve（@myfun,x0,options）%Calloptimizer
fzero
Zeroofacontinuousfunctionofonevariable
Syntax
x=fzero（fun,x0）
x=fzero（fun,x0,options）
[x,fval]=fzero（...）
[x,fval,exitflag]=fzero（...）
[x,fval,exitflag,output]=fzero（...）
Example1:
functiony=f（x）
y=x.^3-2*x-5;
Tofindthezeronear2,enter
z=fzero（@f,2）
z=
2.0946
Example2:
functionf=myd（x）
f=exp（x）+10*x-2
x=fzero（@myd,0）
Example3:
functionf=mdys（x）
f=x^3-3*x-1
Example3:
求
的根
解：
>>fun='x^3-2*x-5';
>>z=fzero（fun,2）%初始估计值为2
结果为
z=
2.0946
约束线性最小二乘Solvetheconstrainedlinearleast-squaresproblem
有约束线性最小二乘的标准形式为
其中：
C、A、Aeq为矩阵；d、b、beq、lb、ub、x是向量。
x=lsqlin（C,d,A,b）
x=lsqlin（C,d,A,b,Aeq,beq）
x=lsqlin（C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
x=lsqlin（C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0）
x=lsqlin（C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）
[x,resnorm]=lsqlin（...）
[x,resnorm,residual]=lsqlin（...）
[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqlin（...）
[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqlin（...）
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqlin（...）
函数 lsqlin
格式 x=lsqlin（C,d,A,b） %求在约束条件下，方程Cx=d的最小二乘解x。
x=lsqlin（C,d,A,b,Aeq,beq） %Aeq、beq满足等式约束，若没有不等式约束，则设A=[]，b=[]。
x=lsqlin（C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub） %lb、ub满足，若没有等式约束，则Aeq=[]，beq=[]。
x=lsqlin（C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0） %x0为初始解向量，若x没有界，则lb=[]，ub=[]。
x=lsqlin（C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options） %options为指定优化参数
[x,resnorm]=lsqlin（…） %resnorm=norm（C*x-d）^2，即2-范数。
[x,resnorm,residual]=lsqlin（…） %residual=C*x-d，即残差。
[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqlin（…） %exitflag为终止迭代的条件
[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqlin（…） %output表示输出优化信息
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqlin（…） %lambda为解x的Lagrange乘子
例:
求解下面系统的最小二乘解
系统：
Cx=d
约束：
A；b
先输入系统系数和x的上下界：
C=[0.9501 0.7620 0.6153 0.4057;…
0.2311 0.4564 0.7919 0.
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