二次动态规划图论.docx
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二次动态规划图论
§1二次规划模型
数学模型：
其中H为二次型矩阵，A、Aeq分别为不等式约束与等式约束系数矩阵，f,b,beq,lb,ub,x为向量。
求解二次规划问题函数为quadprog（）
调用格式：
X=quadprog（H,f,A,b）
X=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq）
X=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
X=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0）
X=quadprog（H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）
[x,fval]=quadprog（…）
[x,fval,exitflag]=quadprog（…）
[x,fval,exitflag,output]=quadprog（…）
[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog（…）
说明：
输入参数中，x0为初始点；若无等式约束或无不等式约束，就将相应的矩阵和向量设置为空；options为指定优化参数。
输出参数中，x是返回最优解；fval是返回解所对应的目标函数值；exitflag是描述搜索是否收敛；output是返回包含优化信息的结构。
Lambda是返回解x入包含拉格朗日乘子的参数。
例1：
求解：
二次规划问题
minf（x）=x1-3x2+3x12+4x22-2x1x2
s.t2x1+x2≤2
-x1+4x2≤3
程序：
f=[1;-3];
H=[6-2;-28];
A=[21;-14];
b=[2;3];
[X,fval,exitflag]=quadprog（H,f,A,b）
结果：
X=
-0.0455
0.3636
fval=
-0.5682
exitflag=
1
例2：
求解：
二次规划问题
minx12+2x22-2x1x2-4x1-12x2
s.tx1+x2≤2
-x1+2x2≤2
2x1+x2≤3
0≤x1,0≤x2
程序：
H=[2-2;-24];
f=[-4;-12];
A=[11;-12;21];
b=[2;2;3];
lb=zeros（2,1）;
[x,fval,exitflag]=quadprog（H,f,A,b,[],[],lb）
结果：
x=
0.6667
1.3333
fval=
-16.4444
exitflag=
1
练习1求解下面二次规划问题
sub.to
解：
则，，
在MATLAB中实现如下：
>>H=[1-1;-12];
>>f=[-2;-6];
>>A=[11;-12;21];
>>b=[2;2;3];
>>lb=zeros（2,1）;
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog（H,f,A,b,[],[],lb）
结果为：
x=%最优解
0.6667
1.3333
fval=%最优值
-8.2222
exitflag=%收敛
1
output=
iterations:
3
algorithm:
'medium-scale:
active-set'
firstorderopt:
[]
cgiterations:
[]
lambda=
lower:
[2x1double]
upper:
[2x1double]
eqlin:
[0x1double]
ineqlin:
[3x1double]
>>lambda.ineqlin
ans=
3.1111
0.4444
0
>>lambda.lower
ans=
0
0
说明第1、2个约束条件有效，其余无效。
练习2求二次规划的最优解
maxf（x1,x2）=x1x2+3
sub.tox1+x2-2=0
解：
化成标准形式：
sub.tox1+x2=2
在Matlab中实现如下：
>>H=[0,-1;-1,0];
>>f=[0;0];
>>Aeq=[11];
>>beq=2;
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog（H,f,[],[],Aeq,beq）
结果为：
x=
1.0000
1.0000
fval=
-1.0000
exitflag=
1
output=
firstorderopt:
0
iterations:
1
cgiterations:
1
algorithm:
[1x58char]
lambda=
eqlin:
1.0000
ineqlin:
[]
lower:
[]
upper:
[]
§2 最大最小化模型
基本思想：
在对策论中，我们常遇到这样的问题：
在最不利的条件下，寻求最有利的策略。
在实际问题中也有许多求最大值的最小化问题。
例如急救中心选址问题就是要规划其到所有地点最大距离的最小值。
在投资规划中要确定最大风险的最低限度等等。
为此，对每个x∈R,我们先求诸目标值fi（x）的最大值，然后再求这些最大值中的最小值。
最大最小化问题的数学模型：
求解最大最小化问题的函数为fminimax
调用格式：
x=fminimax（F,x0,）
x=fminimax（F,x0,,A,b）
x=fminimax（F,x0,,A,b,Aeq,beq）
x=fminimax（F,x0,,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
x=fminimax（F,x0,,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon）
x=fminimax（F,x0,,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options）
x=fminimax（F,x0,,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2）
[x,fval]=fminimax（…）
[x,fval,maxfval]=fminimax（…）
[x,fval,maxfval,exitflag,output]=fminimax（…）
[x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda]=fminimax（…）
说明：
F为目标函数；x0为初值；A、b为线性不等式约束的矩阵与向量；Aeq、beq为等式约束的矩阵与向量；lb、ub为变量x的上、下界向量；nonlcon为定义非线性不等式约束函数c（x）和等式约束函数ceq（x）；options中设置优化参数。
x返回最优解；fval返回解x处的目标函数值；maxfval返回解x处的最大函数值；exitflag描述计算的退出条件；output返回包含优化信息的输出参数；lambda返回包含拉格朗日乘子的参数。
例1求解下列最大最小值问题：
首先编辑M文件ff14.m
functionf=ff14（x）
f
（1）=3*x
（1）^2+2*x
（2）^2-12*x
（1）+35;
f
（2）=5*x
（1）*x
（2）-4*x
（2）+7;
f（3）=x
（1）^2+6*x
（2）;
f（4）=4*x
（1）^2+9*x
（2）^2-12*x
（1）*x
（2）+20;
取初值x0=（1,1）调用优化函数
x0=[11];
[x,fval,maxfval]=fminimax（@ff14,x0）
结果：
x=
1.76370.5317
fval=
23.73319.56216.301023.7331
例2：
选址问题
设某城市有某种物品的10个需求点，第i个需求点Pi的坐标为（ai,bi）,道路网与坐标轴平行，彼此正交。
现打算建一个该物品的供应中心，且由于受到城市某些条件的限制，该供应中心只能设在x界于[5,8]，y界于[5.8]的范围之内。
问该中心应建在何处为好?
P点的坐标为：
ai
1
4
3
5
9
12
6
20
17
8
bi
2
10
8
18
1
4
5
10
8
9
建立数学模型：
设供应中心的位置为（x,y），要求它到最远需求点的距离尽可能小，此处采用沿道路行走计算距离，可知每个用户点Pi到该中心的距离为|x-ai|+|y-bi|，于是有：
编程：
首先编辑M文件：
ff15.m
functionf=ff15（x）
a=[1435912620178];
b=[2108181451089];
f
（1）=abs（x
（1）-a
（1））+abs（x
（2）-b
（1））;
f
（2）=abs（x
（1）-a
（2））+abs（x
（2）-b
（2））;
f（3）=abs（x
（1）-a（3））+abs（x
（2）-b（3））;
f（4）=abs（x
（1）-a（4））+abs（x
（2）-b（4））;
f（5）=abs（x
（1）-a（5））+abs（x
（2）-b（5））;
f（6）=abs（x
（1）-a（6））+abs（x
（2）-b（6））;
f（7）=abs（x
（1）-a（7））+abs（x
（2）-b（7））;
f（8）=abs（x
（1）-a（8））+abs（x
（2）-b（8））;
f（9）=abs（x
（1）-a（9））+abs（x
（2）-b（9））;
f（10）=abs（x
（1）-a（10））+abs（x
（2）-b（10））;
然后用以下程序计算：
x0=[6;6];
AA=[-10
10
0-1
01];
bb=[-5;8;-5;8];
[x,fval]=fminimax（@ff15,x0,AA,bb）
结果：
x=
8
8
fval=
1365138851491
即：
在坐标为（8,8）处设置供应中心可以使该点到各需求点的最大距离最小，最小的最大距离为14单位。
练习求下列函数最大值的最小化问题
其中：
解：
先建立目标函数文件，并保存为ff16.m：
functionf=ff16（x）
f
（1）=2*x
（1）^2+x
（2）^2-48*x
（1）-40*x
（2）+304;
f
（2）=-x
（1）^2-3*x
（2）^2;
f（3）=x
（1）+3*x
（2）-18;
f（4）=-x
（1）-x
（2）;
f（5）=x
（1）+x
（2）-8;
然后，在命令窗口键入命令：
x0=[0.1;0.1];%初始值
[x,fval,maxf]=fminimax（@ff16,x0）
结果为：
x=
4.0000
4.0000
fval=
0.0000-64.0000-2.0000-8.0000-0.0000
maxf=
2.2737e-013
§3 动态规划模型
如图所示，给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间距离，试求一条从A到E的路线，使总距离为最短。
Mattlab求解：
首先利用Exc
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