同济第五版线性代数分模块复习要点及指导doc.docx
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同济第五版线性代数分模块复习要点及指导
第一模块行列式
1.
排列的逆序数
2・
行列式按行（列）展开法则
3.
行列式的性质及行列式的计算
第二模块矩阵
1.
矩阵的运算性质
2.
矩阵求逆及矩阵方程的求解
3・
伴随阵的性质、正交阵的性质
4.
矩阵的秩的性质
第三模块线性方程组（合并2,3,4章内容）
1.
线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定
2.
齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）
3・
非齐次线性方程组的解的结构（通解）
第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换合并2,3,4章内容）
1・向量组的线性表示
2.向量组的线性相关性
3・向量组的秩
第五部分方阵的特征值、特征向量及二次型
1.施密特正交化过程
2.特征值、特征向量的性质及计算
3・矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化
4.二次型矩阵的写法，二次型的秩，如何化成标准二次型
要注意的知识点：
线性代数
1•〃行列式共有，个元素，展开后有沁项，可分解为2”行列式；
2.代数余子式的性质：
1、令和知的大小无关;
2、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;
3、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为⑷;
3.代数余子式和余子式的关系：
叫=（-1严令A,=（-iy+>M,
4.行列式的重要公式：
1、主对角行列式：
主对角元素的乘积；
2、副对角行列式：
副对角元素的乘积x（-l）^;
3、上、下三角行列式（）:
主对角元素的乘积；
4、in和I纠：
副对角元素的乘积心一1）呼；
5、拉普拉斯展开式：
：
討州B|、；：
=:
：
=（-1）”"|测
6、范德蒙行列式：
大指标减小指标的连乘积；
7、特征值
5.证明|A|=0的方法：
①、A=-A；
②、反证法；
③、构造齐次方程组心“，证明其有非零解;
4、利用秩，证明r（A）5、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.4是〃阶可逆矩阵：
o|4|工0（是非奇异矩阵）；
or（A）=n（是满秩矩阵）
oA的行（列）向量组线性无关；
o齐次方程组心"有非零解；
oPbwR”,心"总有唯一解；
o4与E等价；
oA可表示成若干个初等矩阵的乘积；
oA的特征值全不为0；
o"A是正定矩阵；
oA的行（列）向量组是肥的一组基；
04是疋中某两组基的过渡矩阵；
2.对于〃阶矩阵4:
AA'=A^A=\A\E无条件恒成立；
3.（4为・=（"尸（A-y=（"尸（A丁=（"）•
（AB）t=BtAt（AB）'=X/f（ARY1=Bl
4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5.关于分块矩阵的重要结论，其中均a、〃可逆：
②、
0、
-1
=
O、
B,
沪丿
③、
（O
-1
=
■
B'、
o’
上1
o>
④、
c、
-1
-A"
CB“
B,
A丿
⑤、
-1
'A
-1
0、
9
CA'
BJ
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1.—个加X畀矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：
F护；
I。
。
丿,”“
等价类：
所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵A、B,若r（A）=r（B）«AB；
2.行最简形矩阵：
1、只能通过初等行变换获得；
2、每行首个非0元素必须为1;
3、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
3.初等行变换的应用：
（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
1、若（4,E）'（E,X）,则A可逆，且；
2、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，〃就变成,即：
（A,〃）：
（£,小）；
3、求解线形方程组：
对于"个未知数〃个方程心"，如果G4"）「（E,Q，则A可逆，且x=A]b；
4.初等矩阵和对角矩阵的概念:
1、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：
左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
22入.,左乘矩阵A,&乘A的各行元素；右乘，人乘A的各列
■
元素；
11F11）
3、对调两行或两列，符号,且，例如：
1=1；
IJIL
4、倍乘某行或某列，符号Edik））,且E（i（k）y}=,例如：
k
“V'f1
k=丄（RhO），
〔JJ
\/
5、倍加某行或某列，符号E（ij（k））,且E（ij（k）Yl=E（ij（-k））,如:
（\k、
1
-1
<1-k、
1
伙H0）；
<1丿
<1丿
5.矩阵秩的基本性质：
1、02、r（Ar）=r（A）；
3、若AB,则r（A）=r（B）；
4、若P、0可逆，贝lJr（A）=r（PA）=r（Ae）=r（PAe）；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
5、max（r（A）,r（B））6、r（A+B）7、r（AB）8、如果A是加X”矩阵，〃是舁x$矩阵，且A〃=（），则：
（探）
I、〃的列向量全部是齐次方程组AX-0解（转置运算后的结论）；
II、r（A）+r（B）<«
9、若A、B均为〃阶方阵，则r（AB）>r⑷+"B）-〃；
6.三种特殊矩阵的方摹：
1、秩为1的矩阵：
一定可以分解为列矩阵（向量）x行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
：
1ac、
2、型如oib的矩阵：
利用二项展开式
<0°b
3、利用特征值和相似对角化：
7.伴随矩阵：
■
nr（A）=n
1、伴随矩阵的秩：
r（A*）=\1r（A）=n-\；
0r（A）2、伴随矩阵的特征值:
^（ax=ax^=\a\a-^a^xMx）;
AA
3、A=AA1x=A"1
8.关于a矩阵秩的描述：
1、r（A）=n,A中有〃阶子式不为0,”+1阶子式全部为0；（两句话）
2、r（A）3、r（A）>n,A中有畀阶子式不为0；
9.线性方程组：
仏“,其中A为加X刃矩阵，则：
1、加与方程的个数相同，即方程组如:
"有加个方程；
2、〃与方程组得未知数个数相同，方程组4“=方为n元方程；10•线性方程组血"的求解：
1、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）
2、齐次解为对应齐次方程组的解；
3、特解：
自由变量赋初值后求得；
"•由〃个未知数加个方程的方程组构成〃元线性方程：
①、
a11x1+«12x2+---+«I„xn=b,
a2^+a22x2+-+a2nxn=b2
«!
2
・••ain
:
们
■
«22
•
•
…a*
••
••
X2
■
■
=
b2
■
•
■
■
%
••
•…％
mn
7
■
•
丿
\m/
②、
匕”內+①沁乞+…+①”忑=bn
^Ax=b（向量方程，A为加x/z矩阵，加个方程，〃个
未知数）
③、（—
+（全部按列分块，其中处
们
2;
■
A
④、a,Xj+a2x2+••+«„x„=fl（线性表出）
⑤、有解的充要条件：
/•⑷=7*（4,0）"（"为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1•加个畀维列向量所组成的向量组4:
0©2，...,0”构成加矩阵人=（$,硯,…,％）；
加个〃维行向量所组成的向量组B:
0役0：
…,0：
构成加X/1矩阵B=朋；
■
心丿
含有有限个向量的有序向量组与矩阵对应;
2.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）
2、向量的线性表出。
心"是否有解；（线性方程组）
3、向量组的相互线性表示a是否有解；（矩阵方程）
3.矩阵与％”行向量组等价的充分必要条件是：
齐次方程组心“和处“同
解；
4.r（ArA）=r（A）；
5."维向量线性相关的几何意义：
1、a线性相关O0=（）；
2、a,0线性相关o00坐标成比例或共线（平行）；
3、a,0,y线性相关0a、队丫共面；
6.线性相关与无关的两套定理：
若aPa2,--,as线性相关,则ay,a2,,as,as+l必线性相关；
若apa2,--,a5线性无关,则懾心，…，％必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）
若/•维向量组4的每个向量上添上〃-/•个分量，构成〃维向量组〃：
若＜4线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：
无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7.向量组A（个数为厂）能由向量组B（个数为$）线性表示，且A线性无关，
则厂"；
向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）＜r（B）；
向量组A能由向量组B线性表示
^>AX=B有解；
or（A）=r（A,B）
向量组A能由向量组〃等价or（A）=r（B）=r（A,B）
8.方阵4可逆o存在有限个初等矩阵片,马,…,巧，使A=P,P2Pt；
1、矩阵行等价：
A-B<^PA=B（左乘，P可逆）oAr=0与处=0同解
2、矩阵列等价：
A~B<^AQ=B（右乘，0可逆）；
3、矩阵等价：
A-B<^PAQ=B（P、0可逆）；
9-对于矩阵仏”与％”：
1、若4与B行等价，贝山与B的行秩相等；
2、若A与〃行等价，则Ar=0与处=0同解，且4与〃的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
4、矩阵A的行秩等于列秩；
40•若AmxsBsxn=Cmxn,则:
1、Q的列向量组能由A的列向量组线性表示，〃为系数矩阵；
2、c的行向量组能由〃的行向量组线性表示，"为系数矩阵；（转置）
"•齐次方程组处=0的解一定是A处=0的解，考试中可以直接作为定理使用，
而无需证明；
1、ABx=（）只有零解=>Bx=（）只有零解；
2、Bx=0有非零解=>ABx=0—定存在非零解；
*12•设向量组灯:
勺，〃2,…'以可由向量组A”心：
4|'。
2,…,4$线性表示为:
（b」2,…,b"=（兔宀,…,aJK（B=AK）
其中K为^xr,且A线性无关，则B组线性无关or（K）=r；（〃与K的列向量
组具有相同线性相关性）
（必要性：
•.•27*（3）="AK）S（K）,/«（K）"."（K）=r；充分性：
反证法）
注：
当zs时，K为方阵，可当作定理使用；
13•①、对矩阵仏”，存在0绅，=0心）=加、0的列向量线性无关；
②、对矩阵Amxn,存在代柿，PA=E“oz*（A）f、P的行向量线性无关；
14.©a，…‘乞线性相关
O存在一组不全为0的数何也，…人,使得g+g+…+5=0成立；（定义）
004…切”2=。
有非零解，即心"有非零解；
■
申丿
…,系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15•设加"的矩阵A的秩为「，贝心元齐次线性方程组山=0的解集S的秩为：
r（S）=n-r；
16•若zf为心"的一个解，金，…，爲为心=0的一个基础解系，则八―…线
性无关；
5、相似矩阵
1.正交矩阵=E或（定义）,性质：
1、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即也•=£：
可（门=1,2,."）；
[0I^J
2、若A为正交矩阵，则也为正交阵，且|A|=±1；
3、若A、〃正交阵，则AB也是正交阵；
注意：
求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；
2.施密特正父化：
（網,勺,…,匕）
—3
22也,bj
3、对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；
4、写出二次型矩阵，化标准型
5、将一个实对称矩阵相似化为一个对角矩阵
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