同济第五版线性代数分模块复习要点及指导doc.docx

1、同济第五版线性代数分模块复习要点及指导doc同济第五版线性代数分模块复习要点及指导第一模块行列式1 .排列的逆序数2行列式按行（列）展开法则3 .行列式的性质及行列式的计算第二模块矩阵1 .矩阵的运算性质2 .矩阵求逆及矩阵方程的求解3伴随阵的性质、正交阵的性质4 .矩阵的秩的性质第三模块 线性方程组（合并2,3,4章内容）1 .线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定2 .齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换合并2,3, 4章内容）1向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3向量组

2、的秩第五部分方阵的特征值、特征向量及二次型1 .施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化4. 二次型矩阵的写法，二次型的秩，如何化成标准二次型要注意的知识点：线性代数1 行列式共有，个元素，展开后有沁项，可分解为2”行列式；2. 代数余子式的性质：1 、令和知的大小无关;2 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;3 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为;3. 代数余子式和余子式的关系：叫=（-1严令 A, =（-iy+M,4. 行列式的重要公式：1 、主对角行列式：主对角元素的乘积；2 、副对角行列式：副对角

3、元素的乘积x（-l） ;3 、上、下三角行列式（）:主对角元素的乘积；4 、in和I纠：副对角元素的乘积心一1）呼；5 、拉普拉斯展开式：討州B|、； ： = : ：=（-1）”|测6 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；7 、特征值5. 证明|A| = 0的方法：、A = - A ；、反证法；、构造齐次方程组心“，证明其有非零解;4 、利用秩，证明r(A)n ；5 、证明0是其特征值；2、矩阵1. 4是阶可逆矩阵：o |4|工0 (是非奇异矩阵)；o r(A) = n (是满秩矩阵)oA的行(列)向量组线性无关；o齐次方程组心有非零解；oPbwR” ,心总有唯一解；o 4与E等价；oA可

4、表示成若干个初等矩阵的乘积；o A的特征值全不为0 ；o A是正定矩阵；o A的行(列)向量组是肥的一组基；04是疋中某两组基的过渡矩阵；2. 对于阶矩阵4 : AA =AA =AE无条件恒成立；3. (4为=(尸 (A-y=(尸 (A 丁 =()(AB)t = BtAt (AB) = X/f (ARY1 = B l4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均a、可逆：、c、-1-ACB“B,A丿、-1A-10、9CA BJ3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 个加X畀矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： F 护

5、；I。丿,”“等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形 为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B ,若r(A) = r(B) A B ；2. 行最简形矩阵：1 、只能通过初等行变换获得；2 、每行首个非0元素必须为1 ;3 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0 ;3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)1 、 若(4,E) (E,X),则 A 可逆，且；2 、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，就变成,即： (A,)：(,小)；3 、求解线形方程组：对于个未知数个方程心，如果G4)(E,Q，则A 可逆，且x = Ab ；4. 初等

6、矩阵和对角矩阵的概念:1 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、 右乘为初等列矩阵；2 2 入. ,左乘矩阵A , &乘A的各行元素；右乘，人乘A的各列元素；1 1 F 1 1 )3 、对调两行或两列，符号,且，例如：1 =1 ；I J I L4 、倍乘某行或某列，符号Edik),且E(i(k)y = ,例如：k“ V f1k = 丄 (RhO)，J J /5 、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)Yl = E(ij(-k),如:( k、1-11 -k、1伙 H0)； 1丿 1丿5. 矩阵秩的基本性质：1 、0r(Awxw)min(JM,n)；2 、r(

7、Ar) = r(A)；3 、若 A B ,则 r(A) = r(B)；4 、若P、0可逆，贝lJr(A) = r(PA) = r(Ae)= r(PAe)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)5 、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A) + r(B)；(探)6 、r(A + B)r+ 讪)；(探)7 、r(AB)min(r(A),r(B)；(探)8 、如果A是加X”矩阵，是舁x$矩阵，且A = ()，则：(探)I、 的列向量全部是齐次方程组AX-0解(转置运算后的结论)；II、 r(A) + r(B)r+B)- ；6. 三种特殊矩阵的方摹：1 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(

8、向量)的形 式，再采用结合律；：1 a c、2 、型如oi b的矩阵：利用二项展开式0 b3 、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：n r(A) = n1 、伴随矩阵的秩： r(A*) = 1 r(A) = n- ；0 r(A)n-l2 、伴随矩阵的特征值:(ax = ax=aa-axMx);A A3 、A = A A 1 x = A 18. 关于a矩阵秩的描述：1 、r(A) = n , A中有阶子式不为0 , ” + 1阶子式全部为0 ；(两句话)2 、r(A)n , A中有畀阶子式不为0 ；9.线性方程组：仏“,其中A为加X刃矩阵，则：1 、加与方程的个数相同，即方程组如:有加个方程

9、；2 、与方程组得未知数个数相同，方程组 4“ =方为n 元方程； 10线性方程组血的求解：1 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）2 、齐次解为对应齐次方程组的解；3 、特解：自由变量赋初值后求得；由个未知数加个方程的方程组构成元线性方程：、a11x1+12x2+- + Ixn =b,a2+a22x2+-+a2nxn =b2!2 ain:们22a* X2=b2AX =B 有解；o r(A) = r(A,B)向量组A能由向量组等价or(A) = r(B) = r(A,B)8. 方阵4可逆o存在有限个初等矩阵片,马,巧，使A = P,P2 Pt ；1 、矩阵行等价：A-BPA =

10、B (左乘，P可逆)oAr = 0与处=0同解2 、矩阵列等价：ABAQ = B (右乘，0可逆)；3 、矩阵等价：A-B Bx = ()只有零解；2 、Bx =0有非零解= ABx = 0 定存在非零解；*12 设向量组灯:勺，2,以可由向量组A”心：4|。2,4$线性表示为:(b2,b=(兔宀,aJK ( B = AK )其中K为xr ,且A线性无关，则B组线性无关o r(K) = r ；( 与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性：.27*(3)=AK)S(K),/(K).(K) = r ；充分性：反证法)注：当zs时，K为方阵，可当作定理使用；13 、对矩阵仏”，存在0绅，= 0心)

11、=加、0的列向量线性无关；、对矩阵Amxn ,存在代柿，PA = E“ oz*(A)f、P的行向量线性无关；14. a，乞线性相关O存在一组不全为0的数何也，人,使得g+g+5=0成立；(定义)0 04切”2 =。有非零解，即心有非零解；申丿,系数矩阵的秩小于未知数的个数；15 设加的矩阵A的秩为，贝心元齐次线性方程组山=0的解集S的秩为：r(S) = n-r ；16 若zf为心的一个解，金，爲为心=0的一个基础解系，则八线性无关；5、相似矩阵1. 正交矩阵= E或(定义),性质：1 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即也= ：可(门=1,2,.)；0 IJ2 、若A为正交矩阵，则也为正交阵，且|A| = 1 ；3 、若A、正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正父化：(網,勺,匕)32 2 也,bj3、 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4、 写出二次型矩阵，化标准型5、 将一个实对称矩阵相似化为一个对角矩阵