小学三年级秋季奥数经典讲义第3讲和倍差倍问题提高教师.docx

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小学三年级秋季奥数经典讲义第3讲和倍差倍问题提高教师

第三讲和倍、差倍问题

在今天这节课中，老师首先要引导学生通过具体的题目分析，来理解什么是“和差”“和倍”“差倍”问题，然后再通过相同类型题目的层层训练，让学生掌握运用图示法解决“和差”“和倍”“差倍”问题的方法，通过讲解量与倍的对应关系，使学生体会到数学中的对应思想．

本讲主要学习三个主要知识点：

1、理解掌握解决和差、和倍、差倍问题的一般方法；

2、掌握并熟练运用图示法解答和差、和倍和差倍问题；

3、通过量与倍数的对应关系，让学生体会对应的数学思想．

想挑战吗？

用红、黄、蓝三种颜色的小球分别表示不同的自然数.如果，红球=2×黄球，蓝球=4×红球，蓝球-黄球=63，那么“红球+黄球+蓝球”等于多少？

分析：

用黄球来表示红球和蓝球，红球=2×黄球，蓝球=4×红球=8×黄球，所以由蓝球－黄球=56，也就是8个黄球-1个黄球=7个黄球=63，黄球=9，因此，红球+黄球+蓝球=11×黄球=99

1、8的8倍减去8是多少？

分析：

8×8-8=56

　　　2、点点有15本书，豆豆的书数是点点的3倍，请问豆豆有多少本书？

分析：

15×3=45（本）

　　　3、王老伯有15只鸭，李老伯家的鸭的数量是王老伯家鸭的数量的2倍还多9只，那么李大妈家有多少只鸡？

分析：

20×2+9=49（只）

（一）和差问题

和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题．解答这类应用题通常用假设法，同时结合线段图进行分析．解题时，我们可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数再求大数．我们可以用以下的数量关系式表示：

（和＋差）÷2＝大数

（和－差）÷2＝小数

【例1】（★★奥数网题库）学而思三年级基础班与提高班4天共用去纸张264张，已知基础班每天比提高班多用6张．两个班每天各用多少张纸?

分析:

已知两班4天共用纸张264张，可以知道两班每天共用纸张264÷4＝66张．根据基础班每天比提高班多用6张，可以假设基础班每天少用6张就和提高班每天用的同样多，从两班每天用的总（264÷4）张数中减去6张，就相当于提高班每天用的张数的2倍．两班每天共用264÷4＝66（张）;假设基础班每天少用6张，两班每天共用66－6＝60（张）;提高班每天用60÷2＝30（张）;基础班每天用30＋6＝36（张）或66－30＝36（张）．

[前铺]实验小学舞蹈团共有72名成员，其中男舞蹈员比女舞蹈员少6名，舞蹈团中男、女队员各有多少名?

分析：

（法1）我们先用图来表示题意：

已知男舞蹈员比女舞蹈员少6名，从线段图上可以看出，假设男舞蹈员增加6名，就和女舞蹈员同样多，那么舞蹈团的人数就是72＋6＝78（名）．这78人就相当于女队员人数的2倍，由此可知，女队员有78÷2＝39（名），男队员有39－6＝33（名）．

（法2）也可以假设女队员减少6名，那么就和男队员同样多，这时舞蹈团的人数是72－6＝66（名）．这66人就相当于男队员人数的2倍，由此可知男队员的人数是66÷2＝33（名），女队员的人数是33＋6＝39（人）．用图表示：

【例2】（★★★奥数网题库）甲乙两校共有学生2346人，如果甲校增加146人，乙校减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗?

分析：

我们用图来表示题意：

已知两校的人数和是2346人，而两校人数的差没有直接告诉我们．只要求出两校人数的差，就能解决问题了．差是多少呢?

从图上可以看出，甲校增加146人，乙校减少88人，两校的学生人数就相等．在甲校人数没有增加，乙校人数没有减少之前，两校的人数相差：

146＋88＝234（人），利用（和＋差）÷2＝大数，就可以求出乙校实际的人数：

（2346＋146＋88）÷2＝1290（人）………………乙校

2346－1290＝1056（人）………………………甲校

[拓展]学而思三年级基础班和提高班共83人，提高班和精英班共86人，精英班和竞赛班共88人，问基础班和竞赛班共多少人?

分析：

由题意，题目中的三个条件可以分别用三个等式表示：

基础＋提高＝83（人）．

提高＋精英＝86（人）．

精英＋竞赛＝88（人）．

所以，基础、提高、精英、竞赛四个班的总人数为：

83＋88＝171（人）．再用四个班的总人数减去提高班和精英班的人数，得出基础班和竞赛班的人数为：

171－86＝85（人）．

（二）和倍问题

和倍问题，顾名思义就是已知两个数的和以及这两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，它是常见的典型应用题之一．要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确迅速地列出算式．

这里大数是小数的2倍，倍数是2．可以看出，小数为1倍数，大数为2倍数．根据图意，和所对应的倍数为（2+1），那么每份是：

和÷（倍数+1），每份的数也就是一倍的教．所以数量关系式可以这样表示：

两数和÷（倍数+1）=小数（一倍数）

小数（一倍数）×倍数=大数（几倍数）或两数和-小数（一倍数）=大数（几倍数）

【例3】（★★奥数网题库）学而思三年级奥数基础班和提高班共有图书160本.基础班的图书本数是提高班的3倍，基础班和提高班各有图书多少本？

分析：

设提高班的图书本数为1份，则基础班图书为提高班的3倍，那么基础班和提高班图书本数的和相当于提高班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了提高班的图书本数，然后再求基础班的图书本数.用下图表示它们的关系：

所以，提高班：

160÷（3+1）=40（本），基础班：

40×3=120（本）或160-40=120（本）

[巩固]中关村一小三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模?

分析：

已知四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，可以想到三年级同学制作的航模件数是1倍数．两个年级共制作了318件，这318件就相当于1＋2＝3倍，这样就可以求得1倍数——三年级同学的制作件数是：

318÷3＝106（件）．再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系，求出四年级同学制作航模的件数是：

106×2＝212（件）.

【例4】（★★★奥数网题库）小猴子聪聪和明明共有28个香蕉，聪聪的香蕉比明明的2倍少2个．聪聪和明明各有几个香蕉?

分析：

从线段图可以看出，如果让聪聪增加2个香蕉，那么就正好是明明香蕉个数的2倍．聪聪增加了2个香蕉，两人香蕉的总个数也应增加2个，是28＋2＝30（个）．30个正好是明明香蕉个数的1＋2＝3倍，这样就可以分别求出聪聪和明明各有多少个香蕉．

（28＋2）÷（1＋2）＝30÷3＝10（个）…………………………明明

10×2－2＝18（个）或28－10＝18（个）…………………………聪聪

[拓展]小强和小明共有50本练习本，小强的练习本比小明的2倍多2本．小强和小明各有几本练习本?

分析：

由例4的线段图可以得出：

（50－2）÷（1＋2）＝48÷3＝16（本）…………………………小明

16×2＋2＝34（本）或50－16＝34（本）…………………小强

【例5】（★★★奥数网题库）果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

分析：

下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍.

　所以：

①梨树的棵数：

（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）

　　②桃树的棵数：

140×2＋12=292（棵）

　　③苹果树的棵数：

140-20=120（棵）

[拓展一]甲乙丙三个数的和是359，已知甲是乙的3倍多8，乙是丙的2倍少9，求甲乙丙三个数各是多少?

分析：

把丙看作一倍数，乙是丙的2倍少9，而甲就是丙的2×3＝6倍少（3×9－8），与和相寸应的倍数和就是1＋2＋6＝9倍，由此可分别求出三个数．

（359－8＋4×9）÷（1＋2＋2×3）＝387÷9＝43……………………丙

　　　　　43×2－9＝77…………………………………乙

　　　　　　77×3＋8＝239……………………………甲

[拓展二]某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只．这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只?

分析：

我们把鸭的只数看作1份，鸡的只数看作4份，鹅的只数看作2份，鸡、鸭、鹅的总只数就相当于鸭的：

1＋4＋2＝7（份）．而鸡、鸭、鹅的总只数可以看作：

1462－132＋70＝1400（只）．用总只数除以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数．

鸭的只数：

（1462－132＋70）÷（1＋4＋2）＝1400÷7＝200（只）；

鸡的只数：

200×4＋132＝800＋132＝932（只）；

鹅的只数：

200×2－70＝400－70＝330（只）．

【例6】（★★★奥数网题库）学而思学校三年级提高班有课外读物120本，四年级提高班有课外读物30本，三年级提高班给四年级提高班多少本，三年级提高班的课外读物是四年级提高班课外读物的2倍？

分析：

解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管三年级提高班给四年级提高班多少本书，还是四年级提高班从三年级提高班得到多少本书，三年级、四年级提高两班课外读物总和是不变的量.最后要求三年级提高班课外读物是四年级提高班课外读物的2倍，那么三年级、四年级提高两班课外读物总和相当于四年级提高班现有课外读物的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出四年级提高班现有课外读物多少本，再与原有课外读物本数相比较，可以求出三年级提高班给四年级提高班多少本书（见上图）.所以①三年级、四年级提高两班共有课外读物的本数是：

　30＋120=150（本）

　　②三年级提高班给四年级提高班若干本课外读物后，三年级、四年级提高两班共有的倍数是：

2＋1＝3倍

　　③四年级提高班现有的课外读物本数是：

150÷3=50（本）

　　④三年级提高班给四年级提高班课外读物本数是：

50-30=20（本）

　　综合算式：

（30＋120）÷（2+1）=50（本）50-30=20（本）

[巩固]学而思学校三年级基础班有图书108本，提高班有图书140本，要使基础班图书是提高班的3倍．必须从提高班拿出多少本放入基础班?

分析：

由于要求基础班应有图书为提高班的3倍，如果将提高班的应有图书量看做一倍量，那么提高班存量的总和相当于提高班应有图书量的（1＋3）倍量，从而可求出提高班应有图书量．再来具体看问题“必须从提高班拿出多少本放入基础班”，很明显用提高班原来的有图书量减去应有图书量，便可以解答了．基础班、提高班图书的总和108＋140＝248（本），提高班应有图书量：

248÷（1＋3）＝62（本），提高班拿出图书数量：

140－62＝78（本）．

[拓展]学而思学校三年级基础班有图书108本，提高班有图书140本，要使基础班图书是提高班的3倍多20本．必须从提高班拿出多少本放入基础班?

分析：

将提高班的应有图书量看做一倍量，那么提高班存量的总和相当于提高班应有图书量的（1＋3）倍量＋