【教学说明】这个问题的关键是把式子化成两个式子相乘的形式，而且要找
出12的约数.
四.师生互动，课堂小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
五.教学板书
8
布置作业:
教材“习题4.3”中第1、2题.
学生们通过本节课的学习已经能准确的找出公因式，并用提公因式法分解因式，但是在学习的过程中，我发现学生们还存在以下几个不足之处：
1.因式分解结果的书写不符合代数式的书写规范.当结果是几个因式的积时，
应把单项式写在前面，多项式写在后面.
2.因式分解最后的结果应该以最简的形式展现，有相同因式的，要写成幂的
形式.提公因式后，还有同类项的，一定要合并.
3.提取公因式一定要一次性提取完整，不能只看相同的因式，也要注意系数，
应该取各项系数的最大公约数.
4.遇到互为相反数的因式有的学生不能很好的处理.遇到互为相反数的项，先转化，再提公因式，转化原则：
变后不变前,变偶不变奇,变少不变多.
3公式法
第1课时用平方差公式进行因式分解
【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解.
【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性.
【情感态度】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.
【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.
【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式,正确判断因式分解的彻底性.
一.情景导入，初步认知
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填空：
（1）（x+5）（x-5）=________；
（2）（3x+y）（3x-y）=________；
（3）（3m+2n）（3m-2n）=________________
它们的结果有什么共同特征？
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
x2－25=________;9x2－y2=_______;9m2－4n2=______.
【教学说明】
对平方差公式进行复习，利于本节课的教学.
二.思考探究，获取新知
1.观察下列过程，谈谈你的感受.
将多项式a2-b2进行因式分解:
∵（a+b）（a-b）=a2-b2
整式乘法
∴a2-b2=（a+b）（a-b）
因式分解
【归纳结论】
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运
用公式法.
2.找特征
a2-b2=（a+b）（a-b）
（1）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，
且这两项异号，并且能写成（）2－（）2的形式.
（2）公式右边:
（是分解因式的结果）分解的结果是两个底数的和乘以两个底
数的差的形式.
三.运用新知，深化理解
1.见教材P99例1、例2
2.下列多项式能转化成（）2－（）2的形式吗？
如果能，请将其转
化成（）2－（）2的形式.
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（1）m2－81=m2－92;
（2）1－16b2=12－（4b）2;
（3）4m2+9;
（4）a2x2－25y2=（ax）2－（5y）2;
（5）－x2－25y2.
3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）
A．a2＋b2B．－a2＋b2C．－a2－b2D．－（－a2）＋b2
答案：
B
4.（x＋1）2－9（x－1）2
解：
原式=4（2x－1）（2－x）
5.将下列各式分解因式
（1）a2b2-a2c2=a2（b2-c2）=a2（b+c）（b-c）；
（2）-x5y3+x3y5=x3y3（-x2+y2）=x3y3（x+y）（-x+y）
（3）（a+b）2-9（a-b）2=［（a+b）+3（a-b）］［（a+b）-3（a-b）］=（a+b+3a-3b）
（a+b-3a+3b）=（4a-2b）（4b-2a）=4（2a-b）（2b-a）；（4）p4－1=（p2+1）（p2－1）=（p2+1）（p-1）（p+1）.
6.若a＋b=2011,a－b=1,求a2－b2的值.
解：
a2－b2=（a＋b）（a－b）=2011×1=2011
7.简便计算.
（1）5652－4352=（565+435）（565-435）=1000×130=130000.
【教学说明】
在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况.
四.师生互动,课堂小结
1.本节课我们主要学习了,运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时,先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：
1）是一个二项式（或可看成一个二项式）；
2）每项可写成平方的形式；
3）两项的符号相反.
2.在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后
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再用平方差公式分解因式.
3.分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止.
五.教学板书
布置作业:
教材“习题4.4”中第1、2题.
本节课下来能很好地完成了课前设定的目标，学生能利用平方差公式来进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好。
在教学过程中，教师应该语言
流畅、教态亲切、语速合适、设计合理、设计中小步骤.当然,本节课也存在一些
问题，其中比较突出的就是在例题的安排上对题目的把握不是很好.把所有类型的利用平方差进行因式分解的题型在同一道例题中出现，对于刚接触这种方法的学生来说要求过高，也违背了小步骤教学的教学特点.
第2课时用完全平方公式进行因式分解
【知识与技能】
使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首
先考虑的方法，然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式.
【过程与方法】
经历整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.
【情感态度】
培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值.
【教学重点】
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掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式
【教学难点】
灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性问题.
一.情景导入，初步认知完全平方公式
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方.
【教学说明】
对完全平方公式进行复习，为本节课的教学作准备.
二.思考探究，获取新知
形如的多项式称为完全平方式.
【归纳结论】
我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫公式
法.
三.运用新知，深化理解
1.见教材P101例3、例4
2.判别下列各式是不是完全平方式．
（1）x2+y2;
（2）x2+2xy+y2;（3）x2-2xy+y2;（4）x2+2xy-y2（5）-x2+2xy-y2.
答案：
（2）（3）（5）是完全平方式
3.当m=______时，x2＋2（m－3）x＋25是完全平方式．
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答案:
8或－2
4.分解因式：
-8ax2+16axy-8ay2
解：
原式=-8a（x2-2xy+y2）=-8a（x-y）2
5.分解因式：
（a2+1）2-4a2
解：
原式=（a2+1+2a）（a2+1-2a）=（a+1）2（a-1）2
6.分解因式:
（a2-4a+4）-c2
解：
原式=（a-2）2-c2=（a-2+c）（a-2-c）
7.（x+3y）2+（2x+6y）（3y-4x）+（4x-3y）2
解：
原式=（x+3y）2-2（x+3y）（4x-3y）+（4x-3y）2=（x+3y-4x+3y）2
=（-3x+6y）2=9（x-2y）2
8.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+11,并对小刚说:
“无论x取何值,
这个代数式的值都是正值,你不信试一试?
”
解：
4x2+8x+11=（2x+2）2+7
∵（2x+2）2+7≥0∴无论x取何值,这个代数式的值都是正值
【教学说明】
在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：
（1）有公因式，先提公因式；
（2）再用公式法进行因式分解.
四.师生互动,课堂小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
你认为分解因式
中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
五.教学板书
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布置作业:
教材“习题4.5”中第1、2题.
因式分解虽然与整式的乘法是互逆运算，但是对于学生而言，它是一个新的知识，学生在前面的学习中虽然已经掌握平方差公式和完全平方公式，然而受思维定势的影响，学生对公式的逆用会产生混淆，学生的惯性思维是：
平方差公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式是（a±b）2=a2±2ab+b2，一旦要将公式逆向，部分学生就比较难以接受，特别是学习能力较弱的学生，难度就更大一些。
在练习中，根据学生的个体差异，有效分层，开展课内技能训练，让每个学生都学有
所成.
第四章因式分解
章末复习
【知识与技能】
掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，及在实数范围内分解因式
的运用，培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力.
【过程与方法】
通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义.
【情感态度】
通过因式分解的学习，体会整体数学思想和转化的数学思想.
【教学重点】
熟练运用各种方法来进行因式分解.
【教学难点】
因式分解各种方法的综合运用，利用因式分解解决数学问题.
一.知识结构
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【教学说明】
引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系
二、释疑解惑，加深理解
1.因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分
解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而
将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
3.公式法
（1）平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）.即两个数的平方差，等于这两个数的和与这
个数的差的积.
（2）完全平方公式：
a2±2ab+b2=（a±b）2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
【教学说明】
（1）因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算;
（2）因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.
三、典例精析，复习新知
1.下列变形是否是因式分解？
为什么，
（1）3x2y-xy+y=y（3x2-x）；
（2）x2-2x+3=（x-1）2+2；
（3）x2y2+2xy-1=（xy+1）（xy-1）；
（4）xn（x2-x+1）=xn+2-xn+1+xn.
【解析】
（1）不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其正确性.
（2）不是因式分解，不满足因式分解的含义;
（3）不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等;
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（4）不是因式分解，是整式乘法.
2.下列变形是否正确？
为什么？
（1）x2-3y2=（x+3y）（x-3y）；
（2）4x2-6xy+9y2=（2x-3y）2；
（3）x2-2x-1=（x-1）2.
【解析】
（1）不正确，目前在有理数范围内不能再分解.
（2）不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.
（3）不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且
在有理数范围内也不能分解.
3.用提公因式法将下列各式因式分解.
（1）ax-ay；
（2）6xyz-3xz2；
（3）-x3z+x4y；（4）36aby-12abx+6ab；
（5）3x（a-b）+2y（b-a）；（
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