高中数学第1章立体几何初步12123直线与平面的位置关系练习苏教版必修.docx
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高中数学第1章立体几何初步12123直线与平面的位置关系练习苏教版必修
2019-2020年高中数学第1章立体几何初步1.2-1.2.3直线与平面的位置关系练习苏教版必修
1．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内
解析：
如图所示，
因为l∥平面α，P∈α，
所以直线l与点P确定一个平面β，
α∩β＝m.
所以P∈m.所以l∥m且m是唯一的．
答案：
B
2．三棱锥S-ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则（ ）
A．EF与BC相交 B．EF与BC平行
C．EF与BC异面D．以上均有可能
解析：
由线面平行的性质定理可知EF∥BC.
答案：
B
3.如图所示，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
解析：
因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，
平面PAD∩平面PAC＝PA，
所以MN∥PA.
答案：
B
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：
对③，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是①②.
答案：
B
5．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面（ ）
A．有且只有一个B．至多一个
C．有一个或无数个D．不存在
解析：
若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
答案：
B
6．（xx·浙江卷）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面成立的是（ ）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：
根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案．
A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．
答案：
C
7．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
解析：
如图所示，AC⊥α，AB∩α＝B，
则BC是AB在平面α内的射影，
则BC＝
AB，所以∠ABC＝60°，
它是AB与平面α所成的角．
答案：
C
8．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；
④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．
其中正确命题的序号是________．
解析：
根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断．
答案：
①②③④
9．给出下列命题：
①垂直于同一平面的两条直线互相平行；
②垂直于同一直线的两个平面互相平行；
③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；
④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．
其中正确的命题的序号是________．
解析：
由线面垂直的性质知①②③④均正确．
答案：
①②③④
10.如图所示，四面体PABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形有________．
解析：
因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥AC，PA⊥AB.
所以△PAC、△PAB均为直角三角形，且底面△ABC也是直角三角形．由BC⊥AB，BC⊥PA知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.
所以△PBC也是直角三角形，故直角三角形有4个．
答案：
4个
11．以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面）：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b⊂α，则a∥b.
其中正确命题的个数是________．
解析：
用定理来判定线面平行需满足三个条件．
答案：
0
12.如图所示，△BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．
（1）求PB与平面BCD所成的角；
（2）求BP与平面PCD所成的角．
解：
（1）因为PD⊥平面BCD，
所以BD是PB在平面BCD内的射影．
所以∠PBD为PB与平面BCD所成的角．
因为BD⊥BC，由三垂线定理得BC⊥BP，
又因为CD的长等于点P到BC的距离，
所以BP＝CD.
设BC＝a，则BD＝a，BP＝CD＝
a，
所以在Rt△BPD中，cos∠DBP＝
.
所以∠DBP＝45°，
即PB与平面BCD所成角为45°.
（2）如图所示，过点B作BE⊥CD于点E，连接PE.
由PD⊥平面BCD得PD⊥BE，又PD∩CD＝D，
所以BE⊥平面PCD.
所以∠BPE为BP与平面PCD所成的角．
在Rt△BEP中，由
（1）知：
BE＝
a，BP＝
a，
所以∠BPE＝30°，即BP与平面PCD所成角为30°.
B组 能力提升
13．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解析：
如图所示，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
答案：
C
14．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：
①三角形的两边；②梯形的两边；
③圆的两条直径；④正六边形的两边．
不能保证该直线与平面垂直的是（ ）
A．①② B．②
C．②④D．①②④
解析：
三角形的两边及圆的两条直径一定相交，而梯形的两边及正六边形的两边可能平行，故②④不能保证该直线与平面垂直．
答案：
C
15．如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是________．
解析：
由题知，当A、B在平面α同侧时，直线AB和平面α平行；当A，B在平面α异侧时，直线AB和平面α相交．
答案：
平行或相交
16.如右图，已知：
M，N分别是△ADB和△ADC的重心，点A不在平面α内，B，D，C在平面α内．求证：
MN∥α.
证明：
如图所示，连接AM，AN并延长分别交BD，CD于点P，Q，连接PQ.
因为M，N分别是△ADB，△ADC的重心，
所以
＝
＝2.
所以MN∥PQ.
又PQ⊂α，MN⊄α，
所以MN∥α.
17.如图所示，在底面是菱形的四棱锥
P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝
a，点E在PD上，且PE：
ED＝2∶1.那么，在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？
证明你的结论．
证明：
如图所示，
当F为PC的中点时，BF∥面AEC.
取PE的中点M，连接FM，有FM∥CE. ①
由EM＝
PE＝ED知：
E是MD的中点，
连接BM，BD，设BD∩AC＝O，
则O为BD的中点，连OE，
所以BM∥OE. ②
由①②知：
平面BFM∥平面ACE.
又BF⊂平面BFM，
所以BF∥平面AEC.
因此当F为PC中点时满足题意．
2019-2020年高中数学第1章立体几何初步1.2-1.2.4平面与平面的位置关系练习苏教版必修
1．平面α内有两条直线a，b都平行于平面β，则α与β的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．重合D．不能确定
解析：
两条直线不一定相交，所以两个平面的位置关系不能确定．
答案：
D
2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（ ）
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数多条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：
因为平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，设直线a与点B确定的平面为γ，则α∩γ＝a，设β∩γ＝b，且B∈b，则a∥b，所以过点B与a平行的直线只有直线b.
答案：
D
3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ）
A．0个B．1个
C．无数个D．1个或无数个
解析：
当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．
答案：
D
4．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（ ）
A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：
因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.
又m⊂α，所以α⊥β.
答案：
C
5．过空间一点引和二面角两个面垂直的射线，则该两条射线夹角和二面角的平面角的大小关系是（ ）
A．相等B．互补
C．相等或互补D．以上都不对
解析：
由二面角的平面角的做法之“垂面法”可知，当二面角为锐角时相等，为钝角时互补．
答案：
C
6．已知三条互相平行的直线a，b，c，且a⊂α，b⊂β，c⊂β，则两个平面α，β的位置关系是________．
解析：
如图①所示，满足a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，此时α与β相交．如图②所示，亦满足条件a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，此时α与β平行．故填相交或平行．
图① 图②
答案：
相交或平行
7．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是______（填序号）．
①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；
②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；
③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β.
解析：
①中缺少了条件l⊂α，故①错误．
②中缺少了条件α⊥β，故②错误．
③中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故③错误．
④具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故④正确．
答案：
④
8．下列说法中正确的是________（填序号）．
①二面角是两个平面相交所组成的图形；
②二面角是指角的两边分别在两个平面内的角；
③角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角就是二面角的平面角；
④二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱．
解析：
由二面角的平面角的定义可知④正确．
答案：
④
9．如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小关系是________．
解析：
可作出这两个二面角的平面角，易知这两个二面角的平面角的两边分别平行，故这两个二面角相等或互补．
答案：
相等或互补
B级 能力提升
10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
解析：
分点P在两面中间和点P在两面的一侧两种情况来计算．
答案：
24或
11.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动时，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：
取B1C1的中点R，连接FR，NR，
可证面FHNR∥面B1BDD1，
所以当M∈线段FH时，有MN⊂面FHNR.
所以MN∥面B1BDD1.
答案：
M∈线段FH
12.如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，问过点A1作与截面PBC1平行的截面也是三角形吗？
并求该截面的面积．
解：
如图所示，取AB的中点M，取C1D1的中点N，连接A1M，A1N，CM，CN.
由于A1N綊PC1綊MC，
所以四边形A1MCN是平行四边形．
由于A1N∥PC1，A1N⊄平面PBC1，
则A1N∥平面PBC1.
同理，A1M∥平面PBC1.
于是，平面A1MCN∥平面PBC1.
过A1有且仅有一个平面与平面PBC1平行．
故过点A1作与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN.
因为A1M＝MC，A1N綊MC,
所以四边形A1MCN是菱形，连接MN.
因为MB綊NC1，所以四边形MBC1N是平行四边形，所以MN＝BC1＝2
cm.
在菱形A1MCN中，A1M＝
cm，
所以A1C＝2
＝2
（cm）．
所以S菱形A1MCN＝
×A1C·MN＝
×2
×2
＝2
（cm2）．
13.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
（1）若G为AD边的中点，求证：
BG⊥平面PAD；
（2）求证：
AD⊥PB.
证明：
（1）在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接BD，则△ABD为正三角形．
因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.
（2）连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD中点，所以PG⊥AD.
由
（1）知BG⊥AD，因为PG∩BG＝G，
所以AD⊥平面PBG.
又因为PB⊂平面PBG，
所以AD⊥PB.
14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，其棱长为1.求证：
平面AB1C∥平面A1C1D.
证明：
法一：
⇒AA1綊CC1⇒AA1C1C为平行四边形⇒AC∥A1C1.
⇒
平面AB1C∥平面A1C1D.
法二：
易知AA1和CC1确定一个平面ACC1A1，于是，
⇒A1C1∥AC.
⇒A1C1∥平面AB1C.
⇒平面AB1C∥平面A1C1D.
15．在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，AB＝BC，能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？
若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．
解：
如图所示，作EM⊥A1C于点M.
因为截面A1EC⊥侧面AA1C1C，
所以EM⊥侧面AA1C1C.
取AC的中点N，因为AB＝BC，
所以BN⊥AC.
又因为平面ABC⊥侧面AA1C1C，
所以BN⊥侧面AA1C1C.所以BN∥EM.
因为平面BEMN∩侧面AA1C1C＝MN，
BE∥侧面AA1C1C，所以BE∥MN∥A1A.
因为AN＝NC，所以A1M＝MC.
又因为四边形BEMN为矩形，所以BE＝MN＝
A1A.
故BE＝
BB1，即E为BB1的中点．
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