基础闯关全练02第三章2用频率估计概率.docx
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基础闯关全练02第三章2用频率估计概率
2 用频率估计概率
基础闯关全练
拓展训练
1.为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大,小明做了大量重复试验,发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%,下列说法错误的是（ ）
A.钉尖着地的频率是0.4
B.随着试验次数的增加,钉尖着地的频率稳定在0.4附近
C.钉尖着地的概率约为0.4
D.前20次试验结束后,钉尖着地的次数一定是8次
答案 D 钉尖着地的频率是0.4,故选项A正确,不符合题意;随着试验次数的增加,钉尖着地的频率稳定在0.4附近,故选项B正确,不符合题意;∵钉尖着地的频率是0.4,∴钉尖着地的概率大约是0.4,故选项C正确,不符合题意;前20次试验结束后,钉尖着地的次数应该在8次左右,故选项D错误,符合题意.故选D.
2.（2018江苏南京五中期末）做重复试验:
抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次,经过统计得“凸面向上”的频数为550次,则由此可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（ ）
A.0.4 B.0.45
C.0.5 D.0.55
答案 D ∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次,经过统计得“凸面向上”的频数为550次,∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为
=0.55,故选D.
3.某种玉米种子在相同条件下的发芽结果如下表:
每批粒数n
100
150
200
500
800
1000
发芽的粒数m
65
111
136
345
560
700
发芽的频率
0.65
0.74
0.68
0.69
（1）计算并完成表格;
（2）请估计当n很大时,频率将接近 ;
（3）这种玉米种子发芽的概率的估计值是多少?
请简要说明理由.
解析
（1）填表如下:
每批粒数n
100
150
200
500
800
1000
发芽的粒数m
65
111
136
345
560
700
发芽的概率
0.65
0.74
0.68
0.69
0.70
0.70
（2）当n很大时,频率将接近0.70.
（3）这种玉米种子发芽的概率的估计值是0.70.
理由:
在相同条件下,经过多次重复试验,某一事件发生的频率近似等于概率.
能力提升全练
拓展训练
1.从一副52张（没有大、小王）的扑克牌中,每次抽出1张,然后放回洗匀再抽,在试验中得到下列表中部分数据:
试验
次数
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
出现
方块
的次数
11
18
40
49
63
68
80
91
100
出现
方块
的频率
27.5%
22.5%
25%
25%
24.5%
26.25%
24.3%
25.28%
25%
（1）将数据表补充完整;
（2）从上面的数据表中估计出现方块的概率为 ;
（3）从这副扑克牌中取出两组牌,分别是方块1,2,3和红桃1,2,3,将它们背面朝上分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,若摸出的两张牌的牌面数字之和等于3,则甲方赢;若摸出的两张牌的牌面数字之和等于4,则乙方赢.你认为这个游戏对双方公平吗?
若不公平,有利于谁?
请你用概率知识（列表或画树状图）加以分析说明.
解析
（1）30;25%.
（2）
.
（3）这个游戏对双方不公平.理由:
列表如下:
方块
红桃
1
2
3
1
（1,1）
（1,2）
（1,3）
2
（2,1）
（2,2）
（2,3）
3
（3,1）
（3,2）
（3,3）
由表格可知,共有9种等可能的情况,其中摸出的两张牌的牌面数字之和等于3的情况有2种,摸出的两张牌的牌面数字之和等于4的情况有3种,
∴P（甲方赢）=
P（乙方赢）=
=
∵P（乙方赢）≠P（甲方赢）,
∴这个游戏对双方不公平,有利于乙方.
2.A,B两位同学在学习“概率”时,共做了60次的投掷骰子（质地均匀的正方体）试验,试验的结果如下表:
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“5点朝上”的频率;
（2）同学A说:
“根据试验,出现5点朝上的概率最大.”同学B说:
“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次.”两位同学的说法正确吗?
请直接给出判断,不必说明理由;
（3）A,B两位同学各投掷一枚骰子,用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和是4的倍数的概率.
解析
（1）“5点朝上”的频率为
=
.
（2）两位同学的说法都是错误的.
（3）解法一:
列表如下:
1
2
3
4
5
6
1
（1,1）
（1,2）
（1,3）
（1,4）
（1,5）
（1,6）
2
（2,1）
（2,2）
（2,3）
（2,4）
（2,5）
（2,6）
3
（3,1）
（3,2）
（3,3）
（3,4）
（3,5）
（3,6）
4
（4,1）
（4,2）
（4,3）
（4,4）
（4,5）
（4,6）
5
（5,1）
（5,2）
（5,3）
（5,4）
（5,5）
（5,6）
6
（6,1）
（6,2）
（6,3）
（6,4）
（6,5）
（6,6）
由表格可知,共有36种等可能的情况,其中符合条件的情况有（1,3）,（2,2）,（2,6）,（3,1）,
（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,（6,6）,共9种,∴P（两枚骰子朝上的点数之和是4的倍数）=
=
.
解法二:
画树状图如图.
由树状图可知,共有36种等可能的情况发生,其中符合条件的情况有9种,∴P（两枚骰子朝上的点数之和是4的倍数）=
=
.
3.牛牛元旦那天和爸爸、妈妈一起回家看望爷爷、奶奶.因为期末考试将至,他把书包也带了回去,准备抽空看看书.书包内有语文、数学、英语、物理四本课本.他想通过试验的方法了解从书包中任意取出一本书,恰好是数学课本的概率.于是他把四本课本的顺序打乱后,闭上眼睛从书包中任取一本书,记录结果后将书放回书包中,再重复上面的做法,得到了下表中的数据:
取书次数
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
取出数学
课本的频数
8
22
29
42
51
59
70
81
89
102
取出数学
课本的频率
（1）请根据表中提供的数据,求出取出数学课本的频率（结果精确到0.001）;
（2）根据统计表画出折线统计图;
（3）从统计图中你发现了什么?
（4）你还能用别的替代物进行模拟试验吗?
请说明一种方法.
解析
（1）从左到右依次填0.200;0.275;0.242;0.263;0.255;0.246;0.250;0.253;0.247;
0.255.
（2）折线统计图如图.
（3）取出数学课本的频率随着取书次数的增加,越来越接近0.25.
（4）能.用扑克牌,每一种花色取一张即能替代.
4.某工厂封装圆珠笔的箱子,每箱只装2000支,在一次封装时误把一些已做标记的不合格的圆珠笔也装入一个箱子里,若每次随机拿出100支圆珠笔,共做15次试验,100支圆珠笔中不合格的圆珠笔的平均支数是5,你能估计这个箱子里混入了多少支不合格的圆珠笔吗?
若每支合格圆珠笔的利润为0.50元,而发现不合格的要退货并每支赔偿商店1.00元,你能根据你的估计推算出这箱圆珠笔是亏损还是盈利吗?
亏损或盈利多少?
解析 设这个箱子里有x支不合格的圆珠笔,则
=
解得x=100.故估计这个箱子里混入了100支不合格的圆珠笔.（2000-100）×0.5-100×1.00=950-100=850（元）>0元.故这箱圆珠笔是盈利的,盈利850元.
三年模拟全练
拓展训练
1.（2018山东青岛黄岛期中,10,★★☆）在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同）,现随机从中摸出10枚,记下颜色后放回,这样连续做了10次,记录了如下的数据:
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
黑棋子数
1
3
0
2
3
4
2
1
1
3
根据以上数据,估算袋中的白棋子数为 .
答案 40
解析 根据试验提供的数据得出:
黑棋子所占的百分比为（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）÷100×100%=20%,
所以白棋子所占的百分比为1-20%=80%.
设白棋子有x枚,由题意得
=80%,
所以x=40,经检验,x=40是原方程的解,且符合题意.
即袋中的白棋子数约为40.
2.（2017广东东莞中堂星晨中学模拟,21,★★☆）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个,这些球除颜色外其余完全相同.小颖做摸球试验,搅匀后,她从盒子里随机摸出一个球
记下颜色后,再把球放回盒子中,不断重复上述过程,下表是试验中的一组统计数据:
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计:
当n很大时,摸到白球的频率将会接近 ;（精确到0.1）
（2）若从盒子里随机摸出一个球,则摸到白球的概率的估计值为 ;
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个.
解析
（1）由题表中数据知,
当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6.
（2）当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6,
利用频率估计概率知摸到白球的概率约为0.6.
（3）40×0.6=24（个）,40-24=16（个）.
估计盒子里白、黑两种颜色的球各有24个,16个.
五年中考全练
拓展训练
1.（2017甘肃兰州中考,7,★★☆）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A.20 B.24 C.28 D.30
答案 D 由频率估计概率,知摸到黄球的概率约为0.3,由题意可知
=0.3,解得n=30,故选D.
2.（2017贵州黔东南州中考,14,★★☆）黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客.某果农今年的蓝莓得到了丰收,为了了解自家蓝莓的质量,随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测,发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7,该果农今年的蓝莓总产量约为800kg,由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是
kg.
答案 560
解析 由题意可得,该果农今年的“优质蓝莓”产量约是800×0.7=560kg.
3.（2015广东广州中考,22,★★☆）4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品.（12分）
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率;
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率;
（3）在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:
随机抽取1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?
解析
（1）P（抽到的是不合格品）=
=
.
（2）解法一:
（列表法）
设1件不合格品为A,3件合格品分别为B1,B2,B3.
A
B1
B2
B3
A
（A,B1）
（A,B2）
（A,B3）
B1
（B1,A）
（B1,B2）
（B1,B3）
B2
（B2,A）
（B2,B1）
（B2,B3）
B3
（B3,A）
（B3,B1）
（B3,B2）
由上表可知所有等可能的结果有12种,其中满足条件的结果有6种.
∴P（抽到的都是合格品）=
=
.
解法二:
（画树状图法）
设1件不合格品为A,3件合格品分别为B1,B2,B3.
根据题意,画出树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中都是合格品的结果有6种.
∴P（抽到的都是合格品）=
=
.
（3）∵抽到合格品的频率稳定在0.95,
∴抽到合格品的概率约为0.95.
根据题意,得
=0.95,解得x=16.
经检验,x=16是原方程的解且符合题意.
答:
可以推算x的值大约是16.
核心素养全练
拓展训练
1.小红和小明在操场上做游戏,他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图所示）,然后蒙上眼在一定距离外向圆内掷小石子,若石子落在阴影部分,则小红胜,否则小明胜,未掷入圆内不算.
（1）你认为游戏公平吗?
为什么?
（2）游戏结束,小明边走边想:
“能否用频率估计概率的方法来估算非规则图形的面积呢?
”请你设计方案,解决这一问题.（要求画出图形,说明设计步骤、原理,写出公式）
解析
（1）不公平.
因为P（小红胜）=
=
P（小明胜）=
=
≠
所以游戏对双方不公平.
（2）设计方案:
①设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来（如正方形,其面积为S,如图所示）;
②往图形中掷点（如蒙上眼往图形中随意掷石子,掷在图形外不记录）;
③当掷点数充分多时,记录并统计结果,设掷入正方形内m次,其中n次掷入阴影（非规则图形）内（n④设非规则图形的面积为S1,由频率估计概率,得
≈
所以S1≈
.
2.某珠宝商店的一个暗箱里存有50个金球和50个银球,一天夜里不小心被盗贼偷走了某种球若干个.若在不能把暗箱中的球全部倒出来数的情况下:
（1）请你设计一个方案,估计被盗走的是金球还是银球;
（2）若在剩下的球中随便摸一个球,摸到金球的概率为62.5%,试判断珠宝商店丢了什么球,并计算其丢失的数量.
解析
（1）可这样设计方案:
从暗箱中随机摸出一个球,并记下球的种类,记为一次试验,然后将球放回箱内,摇匀后再摸一球,记下种类.重复这样的试验50次,统计摸出金球和银球的次数,若摸出金球比银球多,则估计被盗的球为银球,反之,则估计被盗的球为金球.
（2）∵摸到金球的概率为62.5%>50%,∴被盗的是银球.
设丢失银球的数量为x个,则根据题意,得
×100%=62.5%,
解得x=20,经检验,x=20是所列方程的解,且符合题意.故丢失银球的数量为20个.
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