届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查数学答案及评分标准.docx

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届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查数学答案及评分标准

说明：

2021届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查

数学试题参考答案及评分标准

1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．

2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．

一、选择题：

本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．

1．A2．B3．B4．B5．D6．D7．C8．A

二、选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0

分，部分选对的得3分．

9．CD10．BC11．ACD12．ACD

三、填空题：

本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．

13．[9,+∞）

14．202015．12π16．13

3

8.解：

设AB的中点为P，由NP⋅CP=0可得点P的轨迹方程为（x-5）2+y2=1。

所以|MP|的最大值为

ME1516（E为NC中点），

又|MA+MB|=2|MP|，所以|MA+MB|最大值为12

12.解：

由f（x）0得

tx22x，

函数f（x）的零点个数即为函数ytx2与y

的图像交点个数.如图可知：

当t4时，有0个交点；

当t4时，有3个交点；

当2t4时，有4个交点；

当t2时，有2个交点；

当0t2时，有0个交点，

所以f（x）的零点个数的可能取值为0，2，3，4.故

A正确.

f（x）0即函数ytx2图像在y

才有f（x）0恒成立.故B不正确.

图像的上方，由上可知，当且仅当t

4时，

显然f（x）=x+

t-2x

-2（t>0为偶函数，故只需研究x∈[0,t

时的情形，此时

f（x）=x+

'

t-2x-2

x

f（x）=1-=

t-x2

令f'（x）=0，解得x=

2t，

2

为减函数，

且当x∈[0,

2t]时f'（x）>0，x∈[

2

2t，t]时f'（x）<0，

2

所以x=

2t为极大值点，同理可知x=-也为极大值点，故C正确；

所以f（x）

2

极大值

=f（

2

2t）=-2，

2

又f（0）=-2，f（t）=-2，

所以f（x）的值域为[

故选ACD.

-2,

-2]，D正确.

B也可通过t=3时的情形予以排除.本题还可通过三角换元求解

15.解：

设AB的中点为O1，则O1为Rt∆SAB外接圆的圆心由已知可得CO1⊥平面SAB

等边∆ABC外接圆的圆心即为外接球的球心O

设AB=2x

则S∆ABC=

3（2x）2=

4

3x2

三棱锥S-ABC高的最大值为x

所以VS-ABC

解得x=3

2

的最大值为

3x3=93C

38

所以球O的半径R=2⨯3⨯2x=

32

所以球O的表面积为12π

16.

解：

设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设BF

所以AF'=2a+2t，BF'=2a+t.

由对称性可知，四边形AF'PF为平行四边形，故∠F'AB=60

=t，则AF

。

=2t，

在∆F'AB中，由余弦定理得，（2a+t）2=（2a+2t）2+（3t）2-2⨯（2a+2t）⨯3t⨯cos60，

解得t=a.

3

故AF'=8a，AF=2a.

33

在∆F'AF中，由余弦定理得，

64a2

4a2

8a2a

4c2=+-2⨯⨯⨯cos60，

99339

解得：

e=

13.

3

三、解答题：

本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分10分．

解：

选条件①

2cba

由①

cosB

cosA

及正弦定理可得

（2sinC

sinB）cosA

sinAcosB，1分

2sinCcosA

2sinCcosA

sinAcosB

sin（AB）

cosAsinB，

……………………………………………………………3分

因为sin（AB）sinC0，

所以cosA

1

，4分

2

因为A

（0,π）,所以A=6005分

由S1bcsinA93得bc=9，6分

∆ABC

2164

又b+c=3，可得b=c=3,8分

2

所以∆ABC是等边三角形，从而a

310分

2

另解：

a2=b2+c2-2bccosπ

3

…………………………………………………………7分

=（b+c）2-3bc

…………………………………………………………………8分

=9，9分

4

则a=3

2

……………………………………………………………………………10分

选条件②

由②mn可得mn=0，

即2acoCs+c-2b=1分

由正弦定理可得

2sinAcosC+sinC-2sinB=02分

因为sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinC

2cosAsinC

0，3分

因为sinC

0,cosA

1,4分

2

因为A

（0,π），所以A=60.

…………………………………………………………5分

下同选择①.选条件③

由③asinAcosC+1csin2A=

2

3bcosA及正弦定理可得

sinA（sinAcosC

cosAsinC）3sinBcosA,

……………………………………………1分

sinAsin（AC）3sinBcosA,2分

因为sin（AC）sinB0,3分

所以sinA

所以tanA

3cosA,

3.

…………………………………………………………………4分

因为A

（0,π）,所以A=60.

…………………………………………………………………5分

下同选择①.

18.本小题主要考查等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等．满分12分．

解法一:

（1）设{an}的公比为q，由题意得

⎧⎪a1+a1q=3

⎪⎩11

⎨aq+aq2=6

⎧a1=1

………………………………………………………………………2分

⎩

解得:

⎨q=2

………………………………………………………………………4分

所以an

（2）因为a

=1⨯2n-1=2n-15分

=2n-1

n

⎧⎪20-2n-1,

n<6,

所以bn

=2n-1-20=⎨

⎪⎩2n-1-20,

n≥6.

………………………………………………6分

所以n<6时，Tn=20n-（2+2+

01

1⨯（1-2n）n

=20n-=20n-2+11-2

……………………………………8分

n≥6时，Tn

56n-1

=T5+（2+2++2）-20（n-5）

525（1-2n-5）

………………………………9分

=100+1-2

+-20（n-5）

1-2

………………………………10分

=2n-20n+13711分

⎧⎪20n-2n+1，n<6,

所以Tn=⎨

⎪⎩2n-20n+137,

n≥6.

………………………………………………………12分

解法二：

（1）同解法一

（2）因为an

=2n-1

所以bn

⎧⎪20-2n-1,

=2n-1-20=⎨

⎪⎩2n-1-20,

n<6,

n≥6.

……………………………………………………6分

n

设数列{2n-1-20}的前n项和为S

1-2nn

则Sn=1-2-20n=2-20n-1

S5=-698分

当n<6时，T=-S

=20n+1-2n9分

nn

当n≥6时，

T=S-2S=2n-20n-1+138=2n-20n+137

………………………………………11分

nn5

⎧⎪20n-2n+1，n<6,

所以Tn=⎨

⎪⎩2n-20n+137,

n≥6.

………………………………………………………12分

19.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．

解法一：

x2y2

1E:

+=>>

F（1,0）

c=1.1

（）因为椭圆

a2b2

1（ab

0）的焦点为

，所以

………………分

又a+c=b2,a2=b2+c2，3分

所以a2=4,b2=34分

x2+y2=

即椭圆方程为

43

15分

（2）由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的解析式为x=my+2，

则C点为（0，-2）．6分

m

⎧x2+y2=

⎨

1，可得：

（3m2+4）y2+12my=0，7分

⎪⎩x=my+2

解得：

y

=-12m

，8分

B4+3m2

故S1=

FAyB

S2=

FAyC

……………………………………………………10分

由此可得：

S1⋅S2

=1⋅FA2⋅y

4

B⋅yC

=6

3m2+4

．11分

所以S1⋅S2

∈（0,）

2

．12分

解法二：

（1）同解法一

（2）由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的解析式为y=k（x-2），

则C点为（0,-2k）．6分

⎧x2+y2=

由⎪431，可得：

（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=07分

⎪y=k（x-2）

设A（x1,y1）,B（x2,y2）

16k2

由韦达定理得：

x1+x2=3+4k2

x1x2=

16k2-12

3+4k2

………………………………………8分

则AB=

12⋅

3+4k2

，点F到直线l的距离为：

d=，

所以S

=1⋅AB⋅d=1⋅12⋅⋅



=6k

1223+4k23+4k2

S=1⨯1⨯2k=k10分

22

6k6k2

由此可得：

S1⋅S2=k⋅3+4k2=3+4k2．11分

故S1⋅S2

∈（0,）

2

．12分

20.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想

等．满分12分．P

（1）连接BD，DE，

因为AD⊥AB且AD=2,AB=1，

解得BD=，又PD=2,PB=3，

则PD2+BD2=PB2，C

所以PD⊥BD1分

又PD⊥AD，BDAD=D，

所以PD⊥平面ABCD，………………………2分AB

又PD⊂平面PAD

所以平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，3分

又AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，又DE⊂平面PAD，

则AB⊥DE4分

又PD=AD，E为PA的中点，所以DE⊥PA，

又PAAB=A，

所以DE⊥平面PAB，5分

则DE⊥PB6分

（2）由

（1）得，PD⊥平面ABCD，

且AD⊥CD，如图建立空间直角坐标系D-xyz

A（2,0,0）,B（2,1,0）,D（0,0,0）,P（0,0,2）7分

易知，平面DEA的一个法向量为n1=（0,1,0），8分

假设存在满足题意的点E设AE=λAP（0≤λ≤1）AE=（-2λ,0,2λ）

DE=DA+AE=（2-2λ,0,2λ）9分

DB=（2,1,0），

设平面BDE的一个法向量为n2=（x,y,z），

⎧⎪DBn=0,⎧2x+y=0,

⎨2则⎨

⎪⎩DEn2=0,

⎩（2-2λ）x+2λz=0.

令x=1，则y=-2,z=λ-1，

λ

则n=（1,-2,λ-110分

2λ）

cos=

=-2

若二面角B-DE-A的余弦值为2,

3

则=2

3

解得λ=1或λ=-1（舍去）11分

3

2

所以棱PA上存在点E，使二面角B-DE-A的余弦值为3，此时

=112分

3

21.本小题主要考查频率分布直方图、二项分布、正态分布等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查统计思想、化归与转化思想．满分12分．

解:

（1）由题意可得

P（57≤d≤

5=8）P

<（6d2≤=3=

63）

100

P（61

100

=0.1

P（59

2

所以a=0.03=0.03，b=0.1=0.1，c=0.35=0.353分

111

x=（57.5+62.5）⨯0.03+58.5⨯0.14+（59.5+60.5）⨯0.35+61.5⨯0.1=59.94≈60

…………………………5分

（2）由

（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件，长度d在（59,61]的概率

P=2⨯0.35=0.7

且随机变量ξ服从二项分布ξ

B（3,0.7），

3

3

3

所以P（ξ=0）=C0⨯（1-0.7）3=0.027，P（ξ=1）=C1⨯0.7⨯（1-0.7）2=0.189P（ξ=2）=C2⨯0.72⨯（1-0.7）=0.441

3

P（ξ=3）=C3⨯0.73=0.3437分

所以随机变量ξ分布列为

ξ

0

1

2

3

P

0.027

0.189

0.441

0.343

…………………………………………………………8分

Eξ=0⨯0.027+1⨯0189+2⨯0.441+3⨯0.343=2.1

（另解：

Eξ=3⨯0.7=2.1）9分

（3）由

（1）及题意可知x=60，σ=1.

所以P（x-σ

P（x-σ

…………………10分

P（x-2σ

P（x-2σ

所以这批新零件的长度d满足近似于正态分布N（x,12）的概率分布.

所以能让该批零件出厂12分

22.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、

创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分．

'kekx⋅x-ekxekx（kx-1）

解：

（1）f（x）==，1分

x2

定义域为（-∞,0）

x2

……………………………………………………………2分

当k=0时，f'（x）<0，所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞,0）和（0,+∞），无增区间；

………………………………………………3分

当k>0时，由f'（x）<0得x<1且x≠0；由f'（x）>0得x>1，

kk

11

所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞,0）和（0,），递增区间为（,+∞）；4分

kk

当k<0时，由f'（x）<0得x>1且x≠0；由f'（x）>0得，x<1

kk

所以函数f（x）的单调递减区间为（1,0）和（0,+∞），递增区间为（-∞1

.……………5分

kk

综上，当k=0时，函数f（x）的单调递减区间为（-∞,0）和（0,+∞），无增区间；

11

当k>0时，函数f（x）的单调递减区间为（-∞,0）和（0,），递增区间为（,+∞）；

kk

当k<0时，函数f（x）的单调递减区间为（1,0）和（0,+∞），递增区间为（-∞1.

kk

（未考虑定义域扣2分）

2g（x）≥f（x）

ex-1-x≥ex-



（）由

，即e，

lnxx

ex-1-xe（ex-1-x）

从而，

lnxx

即（ex-1-x）（1-e）≥0，

lnxx

（ex-1-x）（x-elnx）

x⋅lnx0

.…………………………………………………………………7分

设p（x）=ex-1-x（x>0），

令p'（x）=ex-1-1=0，得x=1，

当x∈（0,1）时，p'（x）<0，当x∈（1,+∞）时，p'（x）>0，所以p（x）在（0,1）单调递减，在（1,+∞）单调递增，

所以p（x）min=p

（1）=0，即ex-1-x≥0恒成立；9分

设h（x）=x-elnx（x>0），

令h'（x）=1-e=x-e=0，

xx

当x∈（0,e）时，h'（x）<0，当x∈（e,+∞）时，h'（x）>0，所以h（x）在（0,e）单调递减，在（e,+∞）单调递增，

所以h（x）min=h（e）=0，即x-elnx≥0恒成立；10分

又当x∈（0,1）时，lnx<0，x∈（1,+∞）时，lnx>0，11分

所以不等式

ex-1-x≥ex-



lnxx

e的解集为

（1,+∞）12分

（注：

构造函数不唯一，请阅卷老师根据具体情况酌情给分）