同济大学工程数学线性代数第六版答案全.docx
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同济大学工程数学线性代数第六版答案全
第一章行列式
1利用对角线法则计算下列三阶行列式
⑴210431
201
解141
183
2（4）30
（1）
（1）118
0132
（1）81（4）
（1）
2481644
abc
（2）bca
cab
abc
解bca
cabacbbaccbabbbaaaccc
3abca3b3c3
1C2
1b2
1C2
1b2
bc2ca2ab2ac2ba2cb2
（ab）（bc）（ca）
xyxy
⑷yxyx
xyxy
xyxy
解yxyx
xyxy
x（xy）yyx（xy）（xy）yxy（xy）x
3xy（xy）y3x2yx3y3x3
2（x3y3）
2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数
（1）1234
解逆序数为0
（2）4132
解逆序数为441434232
（3）3421
解逆序数为
314241,21
（4）2413
解
逆序数为
（5）1
3（2n
逆序数为
1）24n（n1）
2
（2n）
（2n1）2（2n1）4（2n1）6
（2n1）（2n2）（n1个）
（6）13（2n1）（2n）（2n2）2
解逆序数为n（n1）
32（1个）
5254（2个）
（2n1）2（2n1）4（2n1）6（2n1）（2n2）（n1个）
42（1个）
6264（2个）
（2n）2（2n）4（2n）6（2n）（2n2）（n1个）
3写出四阶行列式中含有因子ana23的项
解含因子ana23的项的一般形式为
（1）tana23a3ra4s
其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和
42
所以含因子ana23的项分别是
t1
（1）ana23a32a44
（1）ana23a32a44ana23a32a44
（1）tana23a34a42
（1）2ana23a34a42ana23a34a42
4计算下列各行列式
3
4
W2M
4207
2021
1251
41wo
123
4111
04
1210
2021
1230
41wo
577
5q
42072021125141100
角
024didi90仃90仃Q-C3QGo24didi1234110
1122
4236
1120
2315
0200
4234
1121
2312
0202
4236
1120
2315
1122
4236
1120
2315
角
0200
4230
1120
2310
ee
ad
aacd
a
ef
blbf
ab
ac
ae
b
c
e
解
bd
cd
de
adf
b
c
e
bf
cf
ef
b
c
e
1
1
1
adfbce
d
1
1
4abcdef
1
1
1
nuoldo1C1a1oo
oo1d
a1C1b
ab1o
O1ooa
A
oo1d
O1C1
1b1O
a1oo
角
1）（
1）21
ab
1
0
dC2i
ab
1
0
aded0
1）（
1）3
ab
1
ad
ed
abed
ab
edad
5证明:
a2
（1）2f
ab
a
1
b2
2b
（a
b）3；
证明
a2
2a
1
ab
ab
1
b2
2b
1
C3C1
a2
2a
1
aba2
ba
0
b2
2b
a2
2a0
1）31
ab
b
a2b2a2a2b2a
（ba）（b
a）
（ab）3
axbyaybzazbx
xyz
⑵
aybzazbxaxby
（a3b3）
yzx
azbxaxbyaybz
zxy
证明
ax
by
ay
bz
az
ay
bz
az
bx
ax
az
bx
ax
by
ay
bxbybz
xaybzazayazbxax
zaxbyay
bx
by
bz
yaybzazbx
bzazbxaxby
xaxbyaybz
xaybzz
yzazbx
yazbxx
b
zxaxby
zaxbyy
xyaybz
a2
xyz
yzx
a3
yzx
b3
zxy
zxy
xyz
xyz
xyz
a3
yzx
b3
yzx
zxy
zxy
x
y
z
b3）y
（a3
abed
/（%
cc
abed
r—l
得
C2
<3
C4
5555
2a2b2c2d
3333
2222
x\7
1111
2222abed
abed
2a2b2c2d
2222x\7x\71111
2222abed
1111
2a2b2c2d
2222abed
a
a）
a12*）
d（d
d2（d2
o
2222
2222
1111abcd
2222
2222abcd
-241ddd1C2C4C1bt）2b4
-24
1aaa
1
1
1
a
b
c
a
b2
c2
d2
a4
b4
c4
d4
111
0baca
0b（ba）c（ca）
0b2（b2a2）c2（c2a2）
（ba）（ca）（d
1dbb）（dba）
111
a）bcd
b2（ba）c2（ca）d2（da）
（ba）（ca）（d
a）（cb）（db）c（c
11ba）d（dba）
=（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）
an
oo
T—
ooXa2
O1o
xooan
6
证明用数学归纳法证明
当n2时D2
x1
a2xa1
x2a1x
a2命题成立
假设对于（n1）阶行列式命题成立
Dn1xn1a1xn2则Dn按第一列展开有
an2X
an1
DnxDn1an（1丁1
xDn1anxna1Xn1
因此对于n阶行列式命题成立
an1Xan
6设n阶行列式D
det（aj）,把D上下翻转、或逆时针旋转
90、或依副对角线翻转
an1
ann
a1n
ann
ann
ain
D2
D3
a11
aln
a11
an1
an1
al1
依次得
D1
n（n1）
证明D1D2
（1）丁DD3D
证明因为Ddet（aij）所以
an1
ann
（1）n1
a11
an1
ainann
a11
a1n
a21
a2n
D1
（1）12
同理可证
D2（
D3（
（1）n1（
D
n（n1）
1）2
ai1
aln
ann
n（n1）
1）丁dt
n（n1）
（1）丁D
n（n1）
1）丁D2
n（n1）
1）丁（
n（n1）
1）丁D
（1）n（n1）DD
7计算下列各行列式
（Dk为k阶行列式）
（1）Dn
其中对角线上元素都是a未写出的元素
都是0
a
0
0
1
0
a
0
0
Dn
0
0
a
0
（按第n
行展开）
0
0
0
a
0
1
0
0
0
a
0
1
a
0
（1）2na
a
（1）n1
0
0
0
0
0
a
0
（n1）（n1）
a
解
（n1）（n1）
1）n1（
1）n
ananan2an2（a21）
*52）（n2）
x
a
a
（2）Dn
a
x
a
a
a
x
解将第一行乘
（1）分别加到其余各行得
x
a
a
a
a
x
xa
0
0
Dn
a
x
0
xa
0
a
x
0
0
0xa
再将各列都加到第一列上
[x（n1）a]（xa）n1
aOO
X
O
aoo
X
a
aoo
X
a
nOOo
X
an（a1）n（an）n
（3）Dn1
an1（a1）n1（an）n1
aa1an
111
解根据第6题结果有
1
1
1
a
a1
an
an1
（a1）n1
（an）n1
an
（a1）n
（an）n
n（n1）
Dn1
（1）2
此行列式为范德蒙德行列式
n（n1）
Dn1（
1）2
[（a
i1）（a
j
1）]
n1
ij1
n（n1）
（
1）2
[（i
j）]
n1
ij1
n（n1）
n（n
1）1
（
1）2（
1）
2
（i
j）
n1i
j1
（ij）
n1ij1
⑷D2n
an
D2n
Cn
an
a1
q
di
a1
C1
d1
ai
q
dn
bn
dn
（按第1行展开）
dn1
0
0
dn
aibicidi
dn1
0
（1）2n1bn
Cn1
Cn
再按最后一行展开得递推公式
D2nandnD2n2bnCnD2n2即D2n（andnbnCn）D2n2
于是
而
所以
n
D2n佝dibc）D2
i2
D2?
badX
n
D2n©idibS
i1
（5）Ddet（aj）其中aj|ij|;解aj|ij|
1234
onnnn
4
3210
n
3
2101
n
2
1012
n
T—
0123
n
a-
et
d
T—
T—T—T—
T—T—T—
T—
oooo
n
5
0002n
2
4
0022
n
2
30222
2n
T—
T—T—T—T—
nqq9q
2n
T—
n
T—
T—
25—
ano
X—
an
T—
T—
n
a
T—
na
T—T—
T—
T—
T—
T—
T—
2
a
T—
a
T—T—
ooaaoooaaaaooa-Eooo
oo1ooo11oo
11Ooo
an
T—
an
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
00a/
00a21
00a31
01an1i
n
001ai
i1
8
用克莱姆法则解下歹
方程组
为4243445
（1）
为2x2Xj4x4
2
（l）
2为3x2x35x4
2
3为x22x311x4
0
解
因为
n
i1
隔an）（1
T—
T—
T—
42
14
T—
T—
T—
T—
284
4511
112
220
123
42
4511
112
T—T—T—
12
T—
231
T—
1123
D
220
42
5220
T—
12
T—
1123
426
T—
5220
12
T—
1123
2D
X4
3
D33D
X4
2
QD
X4
2D
X4
5
4
X—
X—
00065
00651
06510
10001
51000
o0065
10001
06510
65100
51000
X—
07
5
X—
03
2
X—
2
XX
XX
XX
2）
00065
00651
06510
65100
51000
00065
00651
00065
00651
1OoO1
00651
1145x703x395x212
665X3665X6654665
x2x30
x2x30有非
2x2x30
X1
X1
X1
06510
65100
10001
10001
65100
51000
06510
65100
51000
所以
X2
1507
665
Xi
取何值时齐次线性方程组
零解?
解系数行列式为
1
D1
12
令DO得
0或1
于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解
（1）为2x24x30
10问取何值时齐次线性方程组2为（3）x2x30有
NX2
（1）X30
非零解？
解系数行列式为
1
24
1
3
4
D
2
31
2
1
1
1
11
1
0
1
（1
）3（3）4
（1）
2（1
）（3
）
（1
）32
（1）2
3
令D0
得
0
2或3
于是当
0
2或3时
该齐次线性方程组有非零解
第二章矩阵及其运算
1已知线性变换
N2y22223
X23y22523
X33y222323
求从变量X1X2
解由已知
X3到变量y22y3的线性变换
r122yyy153
212
233
123yyy
xxxxxx
153
212
233
77%33
人卷卷Xy2y2%%y3
2已知两个线性变换
3zz2
X
X2
X
2223
2y3y22y3
4y22523
22
23
2z
Z2
Z3
3z3
求从Z1
Z2
Z3至UX1X2
X3的线性变换
解
由已知
1
1
1
1
23
3
设A1
1
1
B1
24
求3AB
2A及AtB
1
1
1
0
51
1
11
1
23
11
1
解
3AB2A
31
11
1
24
2
11
1
1
11
0
51
11
1
0
5
8
111
2
13
22
30
5
62
11
1
2
17
20
2
9
0
111
4
29
2
1
11
12
3
0
5
8
ATb
1
11
12
4
0
5
6
1
11
05
1
2
9
0
4
计算下列
乘枳
431
7
f
（1）
123
2
570
1
43
1
7
47
3
21
1
35
解
12
3
2
17（
2）
23
1
6
57
0
1
57
7
20
1
49
013
X—
125
%yyyyKT勺％
125
031
224
X1X2X3
3916
41
NTNo
621
1
（2）（123）2
1
3
解
（123）2
1
（1
32
23
1）（10）
2
⑶
1
（1
2）
3
2
2（
1）2
2
2
4
解
1（
12）
1（
1）1
2
1
2
3
3（
1）3
2
3
6
1
3
1
（A\
2
1
400
1
2
（4）
1
1
341
3
1
4
0
2
13
1
解
2140
01
2
6
7
8
解
1
134
131
20
5
6
402
ai1ai2ai3X1
（5）（xix2X3）ai2a22a23X2
ai3a23a33X3
解
a11
ai2a13
X1
（X!
X2X3）印2
a22a23
X2
a13
a23a33
X3
X]a33X3）X2
X3
（aiixiai2X2ai3X3ai2Xia22X2a23X3ai3Xia23X2
5设A12B
（1）ABBA吗？
解ABBA
因为AB36
⑵（AB）2A22AB解（A
因为A
（A
A2
BA
B2吗？
B）2A22ABB2
B2
所以AB
BA
B）2
8
14
14
29
2AB
B2
8
11
6
812
1016
1527
所以（AB）2A22ABB2
⑶（AB）（AB）A2B2吗？
B）（AB）A2
B2
B2
解（A
因为A
B2
（A
A2
B）（A
B2
B）
38
411
故（AB）（AB）AB2
6举反列说明下列命题是错误的
（1）若A20则A0
解取A00则A20但A0
⑵若A2A贝UA0或AE
解取A00则A2A但A0且AE
⑶若AXAY且A0贝UXY
解取
则AXAY且A0但XY
7设A11求A2A3
Ak
解A21010
A3A2A
1010
Ak
10
8设A01求Ak
00
解首先观察
1
0
1
0
221
A2
1
1
022
0
00
002
3
32
3
A
A2
A
0
3
32
0
0
3
4
43
62
A4
A
A
0
4
43
0
0
4
5
54
103
A
A4
A
0
5
54
0
0
5
kkk1
k（k
1）k2
Ak
0k
2k
k1
00
k
用数学归纳法证明
当k2时显然成立
假设k时成立，则
k
1时，
k
kk1k（k
2
1）k2
10
Ak1AkA
0
kk
k1
01
0
0
k
00
k1（k
0
0
1）
k1
k1（k1）kk1
（k1）k1
k1
由数学归纳法原理知
k（k1）k2
Ak
2
kk1
k
9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BtAB也
是对称矩阵
证明因为ata所以
（BtAB）tBt（BtA）tbtatbbtab
从而btab是对称矩阵
10设aB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是abba
证明充分性因为atabtb且abba所以
（AB）t（BA）tatbtab
即ab是对称矩阵
必要性因为AtaBtB且（AB）tab所以
ab（AB）tbtatba
11求下列矩阵的逆矩阵
（1）
解A12|A|1故A存在因为
A1
cossin
52
-1a*
|A|A
sincos
Acossinsincos
Al10故A1存在因为
所以
AI1A21cossin
A2伦sincos
A11a*cossin
123
123
123
AAA
26m
41332
A*
丄内
137
213216
O1-21
|A|Asincos
（4）
（a1a2
0
an
解A
a1
a2
0
0
an
an0）
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