同济大学工程数学线性代数第六版答案全.docx

1、同济大学工程数学线性代数第六版答案全第一章 行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式 21 04 312 0 1解 1 4 11 8 32 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 80 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1)24 8 16 4 4a b c(2) b c acaba b c解 b c acab acb bac cba bbb aaa ccc3abc a3 b3 c31 C21b21 C21b2bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2(a b)(b c)(c a)x y x y y x y xx y x yx y x y解 y x y xx y x yx(x

2、 y)y yx(x y) (x y)yx y (x y) x3xy(x y) y 3x2y x3 y3 x32(x3 y3)2按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数(1) 1 2 3 4解逆序数为0(2) 4 1 3 2解 逆序数为4 41 43 42 32(3)3 4 2 1解逆序数为3 1 4 2 4 1, 2 1(4)2 4 1 3解逆序数为(5)13 (2n逆序数为1) 2 4 n(n 1)2(2n)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6(2n 1)(2n 2) (n 1 个)(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2解逆序数为n(n 1)3 2(1 个)

3、5 2 5 4 (2 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个)4 2(1 个)6 2 6 4(2 个)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个)3写出四阶行列式中含有因子 ana23的项解含因子ana23的项的一般形式为(1)tana23a3ra4s其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42所以含因子ana23的项分别是t 1(1) ana23a32a44 ( 1) ana23a32a44 ana23a32a44(1)tana23a34a42 ( 1)2ana23a34a42 ana23a34a4

4、24计算下列各行列式34W2M42 0720 2112 5141 wo12341110 412 10202112 3041 wo5775 q42 0 7 2021 12 51 41100角024 di di 90仃 90仃 Q-C3 Q G o 24 di di 1 23 4 110112 2423611202 3150 2004 2341 1212 3120202423611202 3151122423611202 315角02004 2 3 0112 02310e eadaacdaefblbfabacaebce解bdcddeadfbcebfcfefbce111adfbced114abcde

5、f111nuold o 1 C1 a1oooo 1da1 C1 bab1oO1 oo aAoo 1dO1 C11b 1Oa1 oo角1)(1)21ab10dC2iab10ad ed 01)(1)3ab1adedabedabed ad5证明:a2(1)2faba1b22b(ab)3；证明a22a1aba b1b22b1C3 C1a22a1ab a2b a0b22ba22a 01)31abba2 b2 a2 a 2b 2a(b a)(ba)(a b)3ax by ay bz az bxx y zay bz az bx ax by(a3 b3)y z xaz bx ax by ay bzz x y证

6、明axbyaybzazaybzazbxaxazbxaxbyaybx by bzx ay bz az ay az bx axz ax by aybxbybzy ay bz az bxbz az bx ax byx ax by ay bzx ay bz zy z az bxy az bx xbz x ax byz ax by yx y ay bza2x y zy z xa3y z xb3z x yz x yx y zx y zx y za3y z xb3y z xz x yz x yxyzb3)y(a3abed/(%ccabedrl得C23C45 5552a2b2c2d3 3332 2 2 2x7

7、11112 2 2 2 abedabed2a2b2c2d2 2 2 2 x7 x7 11112 2 2 2 abed11112a2b2c2d2 2 2 2 abedaa)a1 2 *)d(dd2(d2o22 2222 221111 ab cd22 222 2 2 2 ab cd-2 4 1dd d 1 C2C4C 1bt)2b4-2 41 a a a111abcab2c2d 2a4b4c4d41 1 10 ba c a0 b(b a) c(c a)0 b2(b2 a2) c2(c2 a2)(b a)(c a)(d1 d b b)(d b a)1 1 1a) b c db2(b a) c2(c

8、a) d2(d a)(b a)(c a)(da)(c b)(d b)c(c1 1 b a) d(d b a)=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)anooToo Xa2O1 oxo oan6证明用数学归纳法证明当n 2时D2x 1a2 x a1x2 a1xa2命题成立假设对于(n 1)阶行列式命题成立Dn 1 xn 1 a1 xn 2 则Dn按第一列展开 有an 2Xan 1Dn xDn 1 an( 1丁 1xDn 1 an xn a1Xn 1因此对于n阶行列式命题成立an 1X an6设n阶行列式Ddet(aj),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依

9、副对角线翻转an1anna1nannannainD2D3a11alna11an1an1al1依次得D1n(n 1)证明 D1 D2 ( 1)丁D D3 D证明因为D det(aij)所以an1ann(1)n1a11an1ain anna11a1na21a2nD1(1)12同理可证D2 (D3 (1)n1(Dn(n 1)1) 2ai1alnannn(n 1)1) 丁 dtn(n 1)(1) 丁 Dn(n 1)1) 丁 D2n(n 1)1)丁(n(n 1)1) 丁 D(1)n(n 1)D D7计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）(1)Dn,其中对角线上元素都是 a未写出的元素都是0a0010a00

10、Dn00a0（按第n行展开）000a01000a01a0(1)2n aa(1)n100000a0(n 1) (n 1)a解(n 1) (n 1)1)n1 (1)nan an an 2 an 2(a2 1)*5 2)(n 2)xaa(2) Dnaxaaax解 将第一行乘（1）分别加到其余各行 得xaaaaxx a00Dnax0x a0ax000 x a再将各列都加到第一列上x (n 1)a(x a)n 1a OOXOa o oXaa o oXan OO oXan (a 1)n (a n)n(3) Dn 1an 1 (a 1)n 1 (a n)n 1a a 1 an1 1 1解根据第6题结果 有1

11、11aa 1a nan1(a 1)n 1(a n)n1an(a 1)n(a n)nn(n 1)Dn1 ( 1) 2此行列式为范德蒙德行列式n(n 1)Dn1 (1) 2(ai 1) (aj1)n 1i j 1n(n 1)(1) 2(ij)n 1i j 1n(n 1)n (n1) 1(1) 2 (1)2(ij)n 1 ij 1(i j)n 1 i j 1D2nanD2nCnana1qdia1C1d1aiqdnbndn（按第1行展开）dn 100dnai bi ci didn 10(1)2n 1bnCn 1Cn再按最后一行展开得递推公式D2n andnD2n 2 bnCnD2n 2 即D 2n (

12、andn bnCn) D2n 2于是而所以nD2n 佝di bc)D2i 2D2 ? b ad XnD2n idi bSi 1(5) D det(aj)其中 aj |i j|; 解 aj |i j|1234o n n n n43210n32 101n21012nT0123na-etdTT T TT T TToooon50002 n240022n23 02222nTT T T Tn q q 9 q2 nTnTT25anoXanTTnaTn aTTTTTTT2aTaT To oaao o oaaaao o a- Eo o oo o 1 o o o 11 o o11O o oanTan0010000

13、1000 0 a/0 0 a210 0 a310 1 an1in0 0 1 aii 18用克莱姆法则解下歹方程组为 42 43 44 5（1）为 2x2 Xj 4x42(l)2为 3x2 x3 5x423为 x2 2x3 11x40解因为ni 1隔 an)(1TTT4214TTTT2844511112220123424511112T T T12T231T1123D220425 220T12T1 123426T5 22012T1 1232 DX43D33DX42Q DX42 DX454XX0006500651065101000151000o 006 5100010 65106 51005 100

14、0X075X032X2XXXXXX2)000650065106510651005100000065006510 006 50 06511O o O1006511145 x 703 x 395 x 212665 X3 665 X 665 4 665x2 x3 0x2 x3 0有非2 x2 x3 0X1X1X1065106510010001100016 51005 1000065106510051000所以X21507665Xi取何值时齐次线性方程组零解?解系数行列式为1D 11 2令DO得0或 1于是 当 0或1时该齐次线性方程组有非零解(1 )为 2x2 4x3 010问取何值时齐次线性方程组

15、 2为(3 )x2 x3 0有N X2 (1 )X3 0非零解？解系数行列式为12 4134D23 121111 1101(1)3 ( 3) 4(1 )2(1)(3)(1)3 2(1 )23令D 0得02或 3于是 当02或 3时该齐次线性方程组有非零解第二章矩阵及其运算1已知线性变换N 2y222 23X2 3y22 523X3 3y222 323求从变量X1 X2解由已知X3到变量y22 y3的线性变换r1 2 2 y y y 15 32 122 3 312 3 y y yxxxxxx15 32 122 3 377%33人卷卷 Xy2y2%y32已知两个线性变换3zz2XX2X22232y

16、3y2 2y34y22 52322232zZ2Z33z3求从Z1Z2Z3 至 U X1 X2X3的线性变换解由已知11112 33设A 111B 12 4求3AB2A 及 AtB11105 111 112 31 11解3AB 2A3 11 112 421 1111 105 11 110581 1 1213223 056 21 11217202901 1 1429211 11 23058ATb11 11 2405611 10 512904计算下列乘枳4 3 17f(1)1 2 325 7 014 3174 732 1135解1 2321 7 (2)2 3165 7015 772 01490 13

17、X12 5%yyyyKT 勺12 50 3 12 2 4X1X2X33 9164 1NT No6 2 11(2) (1 2 3) 213解(1 2 3) 21(13 22 31) (10)21(12)322 (1) 2224解1 (1 2)1 (1) 121233 (1) 3236131(A214 0 012(4)113 4 1314021 31解2 14 00 12678解11 3 41 3 120564 0 2ai1 ai2 ai3 X1(5) (xi x2 X3) ai2 a22 a23 X2ai3 a23 a33 X3解a11ai2 a13X1(X! X2 X3)印2a22 a23X2

18、a13a23 a33X3X a33X3)X2X3(aiixi ai2X2 ai3X3 ai2Xi a22X2 a23X3 ai3Xi a23X25 设 A 1 2 B(1)AB BA 吗？解 AB BA因为AB 3 6(A B)2 A2 2AB 解(A因为A(AA2BAB2吗？B)2 A2 2AB B2B 2所以ABBAB)281414292ABB281168 1210 1615 27所以(A B)2 A2 2AB B2(A B)(A B) A2 B2 吗？B)(A B) A2B 2B 2解(A因为AB2(AA2B)(AB2B)3 84 11故(A B)(A B) A B26举反列说明下列命题

19、是错误的(1)若 A2 0 则 A 0解取A 0 0 则A2 0 但A 0若A2 A贝U A 0或A E解取A 0 0 则A2 A但A 0且A E若AX AY且A 0贝U X Y解取则AX AY且A 0但X Y7 设 A 1 1 求 A2 A3Ak解 A2 1 0 1 0A3 A2A10 10Ak1 08设A 0 1 求Ak0 0解首先观察10102 2 1A2110 2 200 00 0 233 23AA2A033 200344 36 2A4AA044 300455 410 3AA4A055 4005k k k 1k(k1) k 2Ak0 k2 kk 10 0k用数学归纳法证明当k 2时显然

20、成立假设k时成立，则k1时，kk k 1 k(k21) k 21 0Ak 1 Ak A0k kk 10 100k0 0k 1 (k001)k 1k 1 (k 1)k k 1(k 1) k1k 1由数学归纳法原理知k(k 1) k2Ak2k k 1k9设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BtAB也是对称矩阵证明因为at a 所以(BtAB)t Bt(BtA)t btatb btab从而btab是对称矩阵10设a B都是n阶对称矩阵，证明 AB是对称矩阵的 充分必要条件是ab ba证明充分性因为at a bt b 且ab ba 所以(AB)t (BA)t atbt ab即ab是对称矩阵必要性 因为At a Bt B 且(AB)t ab 所以ab (AB)t btat ba11求下列矩阵的逆矩阵(1)解 A 1 2 |A| 1故A 存在因为A1cos sin5 2-1 a*|A|Asin cosA cos sin sin cosAl 1 0故A 1存在因为所以AI1 A21 cos sinA2 伦 sin cosA1 1 a* cos sin12 312 312 3AAA2 6m41332A*丄内13 7213216O1- 21|A|A sin cos(4)(a1a20an解 Aa1a200anan 0)由对角