1
一个公共点 B ,当 R 为何值时,|A B |取得最大值?
并求最大值.
111
一.圆锥曲线的定义：
椭圆：
平面内与两个定点
的距离之和等于定长（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点
数学语言：
叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距。
常数 2a=
常数 2a<
，轨迹是线段
，轨迹不存在；
；
双曲线：
平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F1F2）的点的轨迹叫做
双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
数学语言：
MF - MF= 2a
12
常数 2a=
，轨迹是两条射线；
常数 2a>
，轨迹不存在；
（
2a < F F
1 2 ）
常数 2a=0,轨迹是 F F 的中垂线。
12
抛物线
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛
物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．（注：
F 不在 l 上）
当 F 在 l 上时是过 F 点且垂直于 l 的一条直线。
定义中要重视“括号”内的限制条件
（1）定点 F （-3,0）, F （3,0） ，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中，是椭圆的是（
12
）
A． PF + PF
1
2
= 4 B． PF + PF
1
2
= 6
C． PF + PF = 10D． PF
12
1
2
+ PF
2
2
= 12
（2）方程 （ x - 6）2 + y 2 - （ x + 6）2 + y 2 = 8 表示的曲线是____
二、圆锥曲线的标准方程
椭圆：
焦点在 x 轴上时：
x 2 y 2 y 2 x 2
a 2 + b 2 = 1 焦点在 y 轴上时：
a 2 + b 2 = 1
注：
是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。
双曲线：
焦点在 x 轴上时：
x 2 y 2 y 2 x 2
- = 1 焦点在 y 轴上时：
-
a 2 b 2 a 2 b 2
= 1
注：
是根据项的正负来判断焦点所在的位置。
抛物线的标准方程：
图形标准方程焦点坐标准线方程
（ 1 ）
已 知
方 程
x 2 y 2
+ = 1
3 + k 2 - k
表 示
椭圆，
则 k
的 取
值 范
围 为
____
（ 2 ） 已知方程
x 2 y 2
- = 1
m + 2 m + 1
表示双曲线，求
m 取值范围。
x 2y 2
（3）已知方程+= 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ）
m - 12 - m
（4）抛物线 y2＝mx（m≠0）的焦准距 p 为------------，焦点坐标是-------------，准线方程是---------．
三、椭圆与双曲线的性质分析
分类椭圆
双曲线
定义
图形
平面内与两个F1，F2的距离之和等
于常数（大于||F1F2）的点的轨迹
y
x
平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值
等于常数（小于||F1F2）的点的轨迹
标准方程x 2= 1（a > b > 0）
a 2b2
x 2 y 2
- = 1（a > 0，b > 0）
a 2 b2
a、b、c关系
c 2 = a 2 - b2
c 2 = a 2 + b2
a、b、c的意义a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距a是实长半轴长，b是虚短半轴长，c是半焦距
范围- a ≤ x ≤ a，- b ≤ y ≤ bx ≤ -a，x ≥ ay ∈ R
分类椭圆
对称性关于x轴和y轴对称，
也关于原点对称
双曲线
关于x轴和y轴对称，
也关于原点对称
顶点A1 （-a,0）
B （0,-b）
1
A （a,0）
2
B （0, b）
2
A （-a,0）， A （a,0）
1 2
c
aa
焦点坐标
F （-c,0）， F （c,0） F （-c,0）， F （c,0）
1 2 1 2
渐近线
无 y =±
b
a
x
抛物线几何性质：
标准方程
yyyy
F
图象O
F x F O x
O
O x x
F
焦
坐
顶
坐
准
方
p
何
（1）椭圆若椭圆
x 2 y 2 10
5 m 5
，则 m 的值是__
（2）双曲线的渐近线方程是3x ± 2y = 0，则该双曲线的离心率等于______
（3）若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为__
（4）设双曲线
x 2 y 2
-
a b 2
= 1 （a>0,b>0）中，离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角 θ的
取值范围是________
（5）设 a ≠ 0, a ∈ R ，则抛物线 y = 4ax2 的焦点坐标为________
5x2y2
294
（7）设中心在坐标原点 O ，焦点 F 、 F 在坐标轴上，离心率 e =2 的双曲线 C 过点
12
P（4,- 10） ，则 C 的方程为_______
（8）已知抛物线方程为 y2 = 8x ，若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5，则它到抛物线
的焦点的距离等于____；
（9）抛物线 y2 = 2x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的
距离为______
四、点 P（ x , y ） 和椭圆
00
x 2 y 2
+
a b 2
= 1（ a > b > 0 ）的关系：
x 2
0 +
a 2
y 2
0 = 1 ⇒ p 点在椭圆上。
b 2
x 2y 2
0 +0 < 1 ⇒ p 点在椭圆内。
ab 2
x 2y 2
0 +0 > 1 ⇒ p 点在椭圆外。
a 2b 2
对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。
五、直线与圆锥曲线的位置关系：
（在这里我们把圆包括进来）
（1）.首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的
a.直线与圆：
一般用点到直线的距离跟圆的半径相比（几何法），也可以利用方程实
根的个数来判断（解析法）.
b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离
c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
12⎣121 2 ⎦
其中 k 为直线的斜率， （ x , y ）,（ x , y ） 是两交点坐标．
1122
b.求弦所在的直线方程
c.根据其它条件求圆锥曲线方程
（3）.已知一点 A 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点 P、Q，且中点为 A，求 P、Q 所在的
直线方程（点差法）
（4）.已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或
者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）
（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是
_______
（2）直线 y―kx―1=0 与椭圆
x2 y 2
+ = 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是______
5 m
（3）过双曲线
x 2 y 2
- = 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若│AB︱＝4，则这
1 2
样的直线有_____条.
（4）过双曲线
x 2 y 2
-
a b 2
＝1 外一点 P（ x , y ） 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如
0 0
下：
（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：
两条切线和一条平
行于对称轴的直线。
（6）过点 （2,4） 作直线与抛物线 y2 = 8x 只有一个公共点，这样的直线有__
x2y2
916
y 2
2
条件的直线 l 有__条
（9）对于抛物线 C：
y 2 = 4 x ，我们称满足 y
0
2
< 4 x 的点 M （x , y ） 在抛物线的内部，
0 0 0
若点 M （x , y ） 在抛物线的内部，则直线 l ：
y y = 2（ x + x ） 与抛物线 C 的位置关系是
0000
_______
（10）过抛物线 y2 = 4x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的
长分别是 p、 q ，则
1 1
+ = _______
p q
（11）求椭圆 7x 2 + 4 y 2 = 28上的点到直线 3x - 2y -16 = 0的最短距离
（12）直线 y = ax + 1 与双曲线 3x2 - y2 =1交于 A 、 B 两点。
①当 a 为何值时， A 、 B 分别在双曲线的两支上？
②当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？
1、求弦长问题：
：
（1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
若 x1+x2=6，那么|AB|等于_______
（2）过抛物线 y 2 = 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐
标原点，则 ΔABC 重心的横坐标为_______
2、圆锥曲线的中点弦问题：
（1）如果椭圆
x2 y 2
+ = 1 弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是
36 9
（2）已知直线 y=－x+1 与椭圆
x2 y 2
+
a 2 b2
= 1（a > b > 0） 相交于 A、B 两点，且线段
AB 的中点在直线 L：
x－2y=0 上，则此椭圆的离心率为_______
x 2y 2
（ 3 ） 试确定 m 的取值范围，使得椭圆+= 1 上有不同的两点关于直线
43
y = 4x + m 对称
特别提醒：
因为 ∆ > 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关
y
A
弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ∆ > 0 ！
3、直线恒过定点问题：
O
P
M
B
x
（1）A、B 是抛物线 y2＝2px（p＞0）上的两点，且 OA⊥OB（O 为坐标原点）
求证：
直线 AB 经过一个定点；
（2）抛物线 y2＝2px（p＞0）上有两个动点 A、B 及一定点 M（p， 2p），F 为焦点；若|AF|、
|MF|、|BF|成等差数列，求证：
线段 AB 的垂直平分线过定点。
4、焦点三角形问题：
（1）短轴长为5 ，离心率 e =
2
3
y
B
M
A
O
F x
例 3 图
的椭圆的两焦点为 F 、 F ，过 F 作直线交椭圆
1 2 1
于 A、B 两点，则 ∆ABF 的周长为________
2
（2）设 P 是等轴双曲线 x 2 - y 2 = a 2 （a > 0） 右支上一点， F1、F2 是左右焦点，若
PF2 ⋅ F1 F2 = 0 ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为
（3）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e＝6
2
，F1、F2 是它的左右焦点，若过 F1 的直
线与双曲线的左支交于 A、B 两点，且 AB 是 AF 与 BF 等差中项，则 AB ＝_______
22
（ 4） 已知双曲线的离心率为2 ， F1、 F2 是左右焦点， P 为双曲线上一点，且
∠F PF = 60 ， S
12
∆PF1F2 = 12 3 ．求该双曲线的标准方程。
5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
p
2
A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则
（1）y1y2＝－p
p2
1 2 4
（2）|AB|＝x1＋x2＋p；通径=2P
112
|AF||BF|p
（4） 过 A、B 两点作准线的垂线，垂足分别为 A/、B/，F 抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900；
（5） 以弦 AB 为直径的圆与准线相切。
（6） 设 A， B 是抛物线 y2＝2px 上的两点，O 为原点， 则 OA⊥OB 的充要条件是直线 AB
恒过定点（2p，0）
pp
证明：
（1）当直线过焦点且垂直于 x 轴时，A（2 ，p）、B（2 ，－p），因此 y1y2＝－p2
成立； 当直线过焦点且不与 x 轴垂直时，显然直线的斜率 k≠0，直线 AB 的方程为：
pypyp
2k2k2
ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线 y2＝2px（p＞0）上，
∴y12＝2px1，y22＝2px2；两式相乘得（y1y2）2＝2px1·2px2
∴p4＝4p2x1x2；
p2
从而 x1x2＝ 4
p
2
pp
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝x1＋＋x2＋2 ＝x1＋x2＋p
111
＋＝＋
x1＋2x2＋2
＝
x1x2＋2442 （x1＋x2）＋ 4
A
B
y
O
B
⑥题
A
F x
2
＝
2（x1＋x2＋p）
（4）过 A、B 两点分别作准线的垂线，垂足分别为 A/、B/，
由于点 A、B 是抛物线上的点，F 是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|＝
|AA/|，|BF|＝|BB/|
∴∠B/BF＝1800－2∠B/FB，∠A/AF＝1800－2∠A/FA
由∵AA/∥BB/∴∠B /BF＋∠A/AF＝1800
y
即：
1800－2∠B/FB＋1800－2∠A/FA＝1800
A/
∴∠B
N/
垂足分别为 A/、B/、N/，Fx
∵N 为线段 AB 的中点，则|NN/|＝
|AF|＋|BF||AB|
＝＝
2
B/
⑦题图
∴以 AB 为直径的圆与准线相切。
（6）设 A， B 是抛物线 y2＝2px 上的两点，O 为原点， 则 OA⊥OB 的充要条件是直
线 AB 恒过定点（2p，0）
六．你了解下列结论吗？
共渐近线的双曲线系：
（1）渐近线方程为：
y = ± n x即 x ± y = 0
mmn
x2y 2
m2n2
λ > 0时表示焦点在x轴上的双曲线；
λ < 0时表示焦点在y轴上的双曲线；
（2）与双曲线 x2 - y 2
a2b2
= 1有相同的渐近线的
x 2y 2
916
（2） 中心在原点，一个焦点为（3，0），一条渐近线方程 2x-3y=0 的双曲线方程是
--------
七、圆锥曲线中的最值问题
（1）如图所示，若 A（3，2），F 为抛物线 y2＝2x 的焦点，求|PF|＋|PA|
的最小值，以及取得最小值时点 P 的坐标。
L
y
变式：
若 A（3，5）呢？
（2）.定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y 2 = x 上移动，求 AB
N
N
O
F
P
P A
x
中点 M 到 y 轴距离的最小值，并求此时 AB 中点 M 的坐标。
（3）若 x, y ∈ R ，且 3x2 + 2 y2 = 6 ，则 x + y 的最大值是___， x2 + y 2
例 8 图
的最小值是
（4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的
最小值为__
八．动点轨迹方程问题：
1、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、
整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例 1．点 M 与定点 F （0,2） 的距离和它到定直线 y = 8 的距离的比是 1:
2 ，求点的轨
迹方程式，并说明轨迹是什么图形．
变式：
已知动点 P 到定点 F（1,0）和直线 x = 3 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程．
2、待定系数法：
已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。
例 2、 已知椭圆的焦点坐标为
和 ，且经过点 ，求椭圆的标
准方程。
变式：
抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135 0 的直线，被抛物
线截得的弦长为 8，试求抛物线的方程。
3、定义法：
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、
抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程
例 3、求与圆 （ x - 3） 2 + y 2 = 1 及 （ x + 3） 2 + y 2 = 9 都外切的动圆圆心的轨迹方程
解：
设动圆的半径为 r，则由动圆与定圆都外切得
MF = 3 + r, MF = 1 + r ，
12
又因为 MF - MF = （3 + r） - （1 + r） = 2 ，
12
由双曲线的定义可知，点 M 的轨迹是双曲线的一支
所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：
x 2 y 2
- = 1 （ x ≥ 1）
1 8
变式：
（1）、一动圆与圆 x2 + y2 + 6x + 5 = 0 外切，同时与圆 x2 + y2 - 6x - 91 = 0 内切，
求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
（ 2 、 已 知 ∆ABC 的 底 边 BC 长 为 12 ， 且 底 边 固 定 ， 顶 点 A 是 动 点 ， 使
1
sin B - sin C =sin A ，求点 A 的轨迹
2
分析：
首先建立坐标系，由于点 A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可
利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件
解：
以底边 BC 为 x 轴，底边 BC 的中点为原点建立 xoy 坐标系，这时
1
B（-6,0）, C （6,0） ，由 sin B - sin C =sin A 得
2
1
b - c =a = 6 ,即 | AC | - | AB |= 6所以，点 A 的轨迹是以 B（-6,0）, C （6,0） 为焦点，
2
2 a =6 的双曲线的左支 其方程为：
x 2 y 2
- = 1（ x < -3）
9 27
（3）．动点到点（3，0）的距离比它到直线 x＝－2 的距离大 1，则动点的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
解析：
由题意可知，动点到点（3，0）的距离等于它到直线 x＝－3 的距离，由抛物线定
义知动点的轨迹是抛物线．答案：
D
4、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点 P 的坐标 x, y 来表示，再代入
到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点 P 的轨迹方程，称之代入法，也
称相关点法、转移法.
例 4：
点 A 位于双曲线
x 2 y 2
-
a 2 b2
= 1（a > 0, b > 0） 上，F , F 是它的两个焦点，求 ∆AF F
1 2 1 2
的重心 G 的轨迹方程
分析：
要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行
求解注意限制条件
解：
设 ∆AF F 的重心 G 的坐标为 （ x, y） ，则点 A 的坐标为 （3x,3 y）
12
因为点 A 位于双曲线
x 2 y 2
a b2
= 1（a > 0, b > 0） 上，从而有
（3x） 2（3 y） 2
-
a 2b 2
= 1（ y ≠ 0） ，即
x 2 y 2
- = 1（ y ≠ 0）
a b
（ ） 2 （ ） 2
3 3
所以， ∆AF F 的重心 G 的轨迹方程为
12
x 2 y 2
- = 1（ y ≠ 0）
a b
（ ） 2 （ ） 2
3 3
变式：
如图，从双曲线 C :
x 2 - y 2 = 1 上一点 Q 引直线y
P
Q N
l :
x + y = 2 的垂线，垂
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